1、天津市部分区 2018 年高三质量调查（二）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据交集与补集的定义计算即可详解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，集合 M=2，3，4，5，集合 N=4，5，6，MN=4，5，集合 U（MN）=1，2，3，6，7故选：D点睛：本题考查集合的交并补运算，属于基础题.2. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D
2、. 2【答案】C【解析】分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案详解：由变量 x、y 满足约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知，当直线 y=2x+z 过 A（1，1）时直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，为21+1=3故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得
3、.3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 值为（ ）A. 15 B. 37 C. 83 D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量 i 的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出 ；故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意
4、区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由双曲线的一条渐近线方程得 ，求出抛物线 y2=24x 的准线l：x=6，得到双曲线的半焦距 c=6，由此利用双曲线的简单性质能求出双曲线的方程详解：双曲线 =1（a0 ，b0）的一条渐近线方程是 y= x，它的一个焦点在抛物线 y2=24
5、x 的准线 l：x=6 上， ，解得 a=3，b=3 ，双曲线方程为 故选：C点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线方程，属于基础题.5. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：“|x5| 4” 4x54 1x9，即可判断出结论详解：“|x 5|4”4x54 1x9，“x1”是“|x 5|4”的必要不充分条件故选：B点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ，
6、 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6. 已知向量 与 的夹角为 ， ，若 ，且 ，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B详解： ， ， ； =255（1）+4=6；解得 故选：B点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7. 将函数 的图象向右平移 （ ）个单位长度后得到函数 的图象， 若
7、在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据平移关系求出 g（x）的解析式，结合函数的单调性建立不等式关系进行求解即可详解：将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则 g（x）=sin2（x ）=sin（2x2 ），若 g（x）在区间0， 上单调递增，则 2k 2x2 2k+ ，kZ，得 2k +2 2x2k+ +2 ，kZ，即 k + xk+ + ，kZ，即函数的单调递增区间为k + ，k+ + ，kZ，若 g（ x）在区间0， 上单调递增，满足 ，即 ，则k k+ ，kZ，当 k=0
8、时， ，又因为：0 所以 的取值范围是（0， ，故选：D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 由求增区间;由 求减区间.8. 设函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .记 ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据 x0 时 f（x）解析式即可知 f（x）在（0，+）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出 ，然后比较 的大小关系，根据 f（x）在（0，+ ）上单调递增即可比较出 a，b，c 的大小关系详解：x0 时，f（x）=lnx；
9、f（ x）在（ 0，+ ）上单调递增；f（ x）是定义在 R 上的奇函数；= ；， ； ； ；abc；即 cba故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）9. 已知为虚数单位，复数 ，则的虚部为_.【答案】【解析】分析：把已知等式变形，再直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案详解：由 z（
10、1+i）=2 3i，得 ，则 z 的虚部为 故答案为： 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设 ，则 ，.10. 已知函数 ， 为 的导函数，则 _.【答案】【解析】分析：根据商的导数的计算公式求出 f（x） ，然后便可得出 f（1）的值详解： ； 故答案为： 点睛：考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法11. 已知直线 恒过定点 ，且以 为圆心，5 为半径的圆与直线相交于 两点，则弦 的长为_.【答案】【解析】分析：求出直线过的定点坐标 C，以及圆心到直线的距离 d，根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可详解：由 得 ，即直线恒过定点 C（1，2） ，以 C 为圆心，5 为
11、半径的圆的标准方程为（x+1） 2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离 d= = ，则 AB 的长度为|AB|=2 =2 =2 ，故答案为：2点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.12. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为_ .【答案】【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可详解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为 2，底面矩形的宽为 2，长为 4，圆柱的高为 4，底面半径为
12、1，该组合体的体积为 故答案为 点睛：本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目13. 已知函数 的图象过点 ，则 的最小值为_.【答案】9【解析】分析：由函数 y=alog2xb（a0，b0）的图象图象过点（ ），2a+b=1，可得=（2a+b）（ ）=4+ +1+ ，即可详解：函数 y=alog2xb（a0， b0）的图象过点（ ），alog2 b=12a+b=1， =（2a+b）（ ）=4+ +1+ ， （当且仅当 ，即 a=b 时取等号）故答案为：9点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和
13、或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 已知函数 ，若函数 在区间 内有 3 个零点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：作出函数 y=f（x）和 y= x+b 的图象利用两个图象的交点个数问题确定b 的取值范围详解：若 0x2，则2x20，f（x）=f（x2）=1|x2+1|=1|x1|，0x2若 2x4，则 0x22，f（x）=f（x2）=1|x21|=1|x3|，2x4若 4x6，则 2x24，f（x）=f（x2）=1|x23|=1|x5|，4x6f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，f（5）=1，设 y=f（x）和 y= x+b，则方程 f（x
14、）= x+b 在区间 2，6内有 3 个不等实根，等价为函数 y=f（x）和 y= x+b 在区间 2，6内有 3 个不同的零点作出函数 f（x）和 y= x+b 的图象，如图：当直线经过点 F（4，0）时，两个图象有 2 个交点，此时直线 y= x+b 为 y= x ，当直线经过点 D（5，1） ，E（2，0）时，两个图象有 3 个交点；当直线经过点 O（0，0）和 C（3，1）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y= x+b 为y= x，当直线经过点 B（1，1）和 A（2，0）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y= x+b 为 y=x+ ，要使方程 f（x）= x+b，两个图象有
15、3 个交点，在区间 2，6内有 3 个不等实根，则 b（ ，故答案为：（ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15. 已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .（1）求和 的值；（2）求 的值.【答案】(1) ， (2) 【解析】分析：（1）根据题意，利用余弦定理和正弦
16、定理，即可求得 c 和 sinA 的值；（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可详解：（1）由余弦定理 ，得 ，又 ，所以 ，解得在 中， ，由正弦定理得 ，所以 ， .（2）因为 ，则 为锐角，所以 ， ，.所以 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16. 某区的区人大代表有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁
17、四个学校，其中甲校教师记为 ，乙校教师记为 ，丙校教师记为 ，丁校教师记为 .现从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出 1 名.（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（2）求教师 被选中的概率；（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.【答案】(1)见解析(2) (3) 【解析】分析：（1）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A1，A2，乙校教师记为 B1，B2，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D从这6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出组成
18、人员的全部可能结果（2）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出 A1 被选中的结果有 5 种，由此能求出教师 A1 被选中的概率（3）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有 2 种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率详解：（1）从 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有 12 种不同可能结果.（2）组成人员的全部可能结果中， 被选中的结果有 ， ， ， ， 共有 5 种，所以所求概率 .（3）宣讲团没有乙校代表的结果有： ， 共 2 种结果，所以所求概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(
19、1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.17. 在等腰梯形 中， ，直线 平面 ， ，点 为 的中点，且， .（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 ；（3）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)见解析（3） 【解析】分析：（1）取 FC 中点 N，连接 EN，推导出四边形 EDCN 是平行四边形，从而EN DC，连接 NG，推导出四
20、边形 EAGN 是平行四边形，从而 EANG，由此能证明 AE平面GCF（2）由 DC AG，得四边形 AGCD 为平行四边形，从而 AD=GC，推导出 ACBC，ACCF，从而AC平面 BCF，由此能证明平面 ACF平面 BCF（3）推导出 ED平面 GCF，AE平面 GCF，从而平面 ADE平面 GCF，进而直线 FB 与平面 ADE所成角也为直线 FB 与平面 GCF 所成角由此能求出直线 FB 与平面 ADF 所成角正弦值详解：（1）证明：取 中点 ，连接 ，因为 ， ，所以 平行且等于 ，所以四边形 是平行四边形，所以 平行且等于 ，连接 平行且等于 ，又 平行且等于 ，所以 平行且
21、等于 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2） 平行且等于 ，四边形 为平行四边形， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，由余弦定理得，所以 即 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（3）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，由（1）知 平面 ，且 ，所以平面 平面 ，所以直线 与平面 所成角也为直线 与平面 所成角.由（2）知 ，设 为 中点，连接 ,所以 .因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，因为 ，在直角 中， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .点睛：用几何法求求空间角的步
22、骤：作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；证：证明作出的角为所求角；求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；作出结论，将问题转化为几何问题18. 已知数列 为等比数列，数列 为等差数列，且 ， ， .（1）求数列 ， 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）设数列a n的公比为 q，数列b n的公差为 d，由题意得：1+d=1+q，q2=2（1+2d）6，解得：d=q=2，即可（2）证明：因为 cn= = = ，Tn= 即可得 详解：（1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为由题意得 ，解得 ，所以（2）证明：因为
23、 所以，因为 ，所以又因 在 单调递增，所以当 时， 取最小值 ，所以 .点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：19. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为 2.（1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 与椭圆 交于 两点，且与 轴， 轴交于 两点.（i）若 ，求 的值；（ii）若点 的坐标为 ，求证： 为定值.【答案】(1) (2) （i） （ii）见解析【解析】分析：（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出 a2=4，b2=2，则椭圆方程可得，（2） （i）根据根
24、与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出详解：（1）因为 满足 ，由离心率为 ，所以 ，即 ，代入 得 .又椭圆 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2，即 ，即 ， ，以上各式联立解得 ，则椭圆方程为（2）（i）直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，联立 消去 得 ，设 ，则又 ，由 得解得 ，由 得（ii）由（i）知 ，所以 ，为定值所以 为定值.点睛：求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20. 设函数 .（1）求曲线 在点 处的切线方程；（
25、2）若函数 在 上恰有 2 个零点，求的取值范围；（3）当 时，若 对任意的正整数 在区间 上始终存在 个整数使得 成立，试问：正整数 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) (3) 【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算 f（1） ，f（1）的值，求出切线方程即可；（2）得到 = ，令 p（x）= ，结合函数的单调性求出 a 的范围即可；（3）求出 h（x）的导数，根据函数的单调性求出 h（x）的最值，从而求出 m 的范围即可详解：（1）函数 的定义域为 ，所以所以 且由导数几何意义知 在点 处的切线方程为 ，即（2）由 ，令 ，所以 ，所以 在
26、 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 取得极大值，也是最大值.因为 ， ，且 时， ，故 ，所以（3）由题意 ， ，因为 ，所以所以 在 上单调递增， ，由题意， 恒成立令 ，且 在 上单调递增，因此 ，而 是正整数，故 ，所以 时，存在 ， 时，对所有 满足题意， .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
