1、芜湖市 2017-2018 学年度第二学期高三模考试题文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则集合 的真子集个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：化简集合 A=0，1，由此能求出集合 A 的真子集的个数详解：集合 A=xN|x 2+2x30=xN|3x1=0，1，集合 A 的真子集个数为 221=3故选：C点睛：本题考查了集合的描述法的理解，真子集的概念，属于基础题.2. 若复数 的实部为 1，则其虚部为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘
2、除运算化简复数 z，结合已知条件求出 a 的值即可详解：z=（2ai） （1+i）=2+a+（2a）i 的实部为 1，2+a=1，即 a=1其虚部为 3故选：A点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类项，不含 的看作另一类同类项，分别合并即可（2）复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式（3）利用复数相等求参数 3. 设实数 ， ， ，则有A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用指数函数、对数函数的单调性及中间量比较大小.详解：a=log 23log
3、 22=1，0b= （ ） 0=1，c= =0，abc故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小4. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 sin2 的值详解：cos（ ）= ，sin2 =cos（2 + ）=2 1=（2 1）= ，故选：B点睛：本题重点考查了利用“配角法”求值问题，也
4、可以利用“三姊妹关系” ，即利用两角和余弦公式展开条件，然后平方即可得到结果.5. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 等于A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止
5、出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.6. 如图， 为圆 的一条弦，且 ，则 A. 4 B. -4 C. 8 D. -8【答案】D【解析】分析：设 AB 的中点为 M，连接 OM，运用圆的垂径定理，可得 OMAB，运用向量的数量积的定义和解直角三角形的知识，即可得到详解：设 AB 的中点为 M，连接 OM，则 OMAB，则 =2 =2| | |cos =-22| |cos=-4| |=-8故选：D点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用
6、平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7. 以下命题正确的个数是 函数 在 处导数存在，若 ； 是 的极值点，则 是 的必要不充分条件实数 为实数 ， 的等比中项，则两个非零向量 与 ，若 ，则 与 的夹角为钝角平面内到一个定点 和一条定直线 距离相等的点的轨迹叫抛物线A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据极值点的性质，等比中项的定义，向量夹角，抛物线的定义逐一分析给定四个结论的真假，可得答案详解：若 f（x 0）=0，则 x=x0不一定是 f（x）的极值点，若 x=x0是 f（x）的极值点，则 f（x 0）=0，故 p 是 q 的必要不充分条件，故正确；实数 G 为实数 a
7、，b 的等比中项，则 G= ，故正确；两个非零向量 与 ，若夹角 0，则 与 的夹角为钝角或夹角，故错误；平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹，当点不在直线上时叫抛物线，当点在直线上时，为直线，故错误；故选：B点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了向量，数列，极值点，圆锥曲线的相关概念，难度中档8. 右图为函数 的图象，则该函数可能为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据图象的特征，选择适合题意得函数.详解：由图可知， 时， ，而 A，C ,D , ,故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降
8、)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题9. 已知 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ，且 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意，由余弦定理，将 = 变形可得 + = ，整理变形可得答案详解：根据题意，ABC 中， = ，则有 + = ，即 = 变形可得：cosA= ；故选：A点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还
9、要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意10. 已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：说明 S 在底面上的射影是 AB 的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积详解：由题意，点 S 在底面上的射影 D 是 AB 的中点，是三角形 ABC 的外心，令球心为 O，如图在直角三角形 ODC 中，由于 AD=1，SD= = ，则（ R） 2+12=R2，解得 R= ，则 S 球 =4R 2=故选：A.11. 圆 的圆心在抛物线 上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到
10、直线 距离最小值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：设圆 C 为（a，4a 2） ，半径为 r，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和圆上的点到直线的距离的最小值为 dr，计算即可得到所求值详解：设圆 C 为（a，4a 2） ，半径为 r，由抛物线的焦点为（0， ） ，准线方程为 y= ，可得 r=4a2+ ，由圆上的点到直线 y=6 的距离的最小值为：4a2+64a 2 = ，故选：A点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线
11、定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化12. 函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时， ，若函数恰有一个零点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可详解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x1）为偶函数，f（x1）=f（x1）=f（x+1） ，即 f（x）=f（x+2） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）的周期是 4，f（x1）为偶函数，f（x1）
12、关于 x=0 对称，则 f（x）关于 x=1 对称，同时也关于 x=1 对称，若 x1，0，则x0，1，此时 f（x）= =f（x） ，则 f（x）= ，x1，0，若 x2，1，x+20，1，则 f（x）=f（x+2）= ，x2，1，若 x1，2，x21，0，则 f（x）=f（x2）= = ，x1，2，作出函数 f（x）的图象如图：由数 g（x）=f（x）xb=0 得 f（x）=x+b，由图象知当 x1，0时，由 =x+b，平方得 x2+（2b+1）x+b 2=0，由判别式=（2b+1） 24b 2=0 得 4b+1=0，得 b= ，此时 f（x）=x+b 有两个交点，当 x4，5，x40，1
13、，则 f（x）=f（x4）= ，由 =x+b，平方得 x2+（2b1）x+4+b 2=0，由判别式=（2b1） 2164b 2=0 得 4b=15，得 b= ，此时 f（x）=x+b 有两个交点，则要使此时 f（x）=x+b 有一个交点，则在0，4内，b 满足 b ，即实数 b 的取值集合是 4n b4n ，即 4（n1）+ b4（n1）+ ，令 k=n1，则 4k+ b4k+ ，故选：D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法
14、：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题:本大题共 4 小题，共 20 分.13. 某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9 位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 ，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字 _.【答案】1【解析】分析：根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下 7 个数字的平均数，求出 x 的值详解：由题意知去掉一个最低分 88，若最高分为 94 时，去掉最高分 94，余下的 7 个分数平均值是 91，即 （89+89+92+93+90+x+9
15、1）=91，解得 x=1；若最高分为（90+x）分，去掉最高分 90+x，则余下的 7 个分数平均值是：（89+89+92+93+91+94）91，不满足题意故答案为：1点睛：画茎叶图时的注意事项（2）将茎上的数字按大小次序排成一列。（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧。（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较。14. 有一个焦点为 且与双曲线 有相同渐进线的双曲线方程是_.【答案】【解析】由 ，得双曲线的渐近线为 .设双曲线方程为 ， . 2 36， 12.故双曲线方程为答案：15. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
16、_【答案】8【解析】试题分析：要求目标函数的最大值，即求 的最小值首先画出可行域，由图知在直线 和直线 的交点 处取得最小值，即，所以 的最大值为 考点：线性规划；16. 已知函数 ，若 在区间 内没有极值点，则 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：函数 f（x）= sin（x ） ， 由 =0，可得=0，解得 x= （，2） ，即可得出详解：f（x）=sin 2 + sinx = （1cosx）+ sinx = sin（x ） ， =0，可得 =0，解得 x= （，2） ，（ . ）（ ， ）（ ， ）=（ . ） （ ，+） ，f（x）在区间（，2）内没有零点，故答案为：点睛：本题考查了
17、三角函数的图象与性质、不等式的解法，函数的极值点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知数列 的前 项和为 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：(1)由 ，分类讨论得到数列 的通项公式；(2) 由题意， ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 .详解：(1) ，；当 时， ；- ， 当 时， ， (2)由题意， 当 时，当 时,点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式
18、子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某工厂每日生产一种产品 吨,每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了 ， 的一组统计数据如下表：（1）请判断 与 中，哪个模型更适合刻画 ， 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出 关于 的回归方程，并估计当日产量 时，日销售额是多少？， ， ， .线性回归方程 中， ， .【答案】 （1）见解析；（2）23【解析】分析：(1)
19、根据表格数据推断出 更适合；（2）令 , 计算知 ，进而求出 从而得到所求的回归方程，代入 ，估计日销售额.详解：(1) 更适合刻画 ， 之间的关系, 理由如下： 值每增加 1，函数值的增加量分别为 7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故 更适合刻画 ，之间的关系(2)令 , 计算知所以 ， ,所以所求的回归方程为 当 时，销售额为 (万元)点睛：求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数 ：公式有两种形式，即 。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确
20、定选用公式的哪种形式求 ；（3）求 ： ；（4）写出回归直线方程 19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点，是 的中点，点 在线段 上，且 （1）证明： 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1） ）取 中点，记为点 ，连结 ，由三角形中位线定理积比例性质，结合面面平行的判定定理可得平面 /平面 ，从而可证明 平面 ；（2）利用 点到平面 的距离 为 点到平面 的距离的 求出棱锥的高，利用三棱锥的体积公式求三棱锥 的体积.试题解析：（1）取 中点，记为点 ，连结 为 中点， 为 中点又 ,又平面 平面又 平面 平面（2）方法一：由于
21、 为 中点，故 两点到平面 的距离相等又 点到平面 的距离 为 点到平面 的距离的 ，即 ，方法二： 20. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上一点，若， , 的面积为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若 , 分别为椭圆上的两点，且 ,求证： 为定值，并求出该定值.【答案】 （1） ；（2）定值【解析】分析：（1）由题意布列关于 a,b 的方程组，从而得到椭圆 的方程；（2）(i)当 , 是椭圆顶点时， ，(ii)当 , 不是椭圆顶点时，设 ，分别与椭圆方程联立，求出 ， 从而得到 为定值.详解：（1）由已知， 又 ， ， , ，椭圆 的方程为： （2）(i)当 , 是椭圆顶点时，
22、 ，(ii)当 , 不是椭圆顶点时，设 ， ，由 得 ， ,同理 , ,.综上， 为定值.点睛：求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知函数 （1）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值；（2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析： 在 上为减函数，等价于 在 上恒成立，进而转化为 ，根据二次函数的性质可得命题“若存在 , ，使 成立” 等价于“当 时，有 ”， 由 易求 ，从而问题等价于“当时，有 ”，分 , 两种情况讨论:当 是易求 ，当 时可求得 的
23、值域为 ，再按两种情况讨论即可解析：（1）由已知得 ，因 在 上为减函数，故 在 上恒成立。所以当 时 。又 ， 故当 时，即 时， .所以 ，于是 ，故 的最小值为 . （2）命题“若存在 , ，使 成立”等价于“当 时， ” ”， 由（1） ，当 时， ， .问题等价于：“当 时，有 ”. 当 ，由（1） ， 在 为减函数，则 ，故 . 当 时，由于 在 上的值域为（i） ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数，于是， ，矛盾。 （ii） ，即 ，由 的单调性和值域知，存在唯一 ，使 ，且满足：当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；所以， ， 所以， ，与 矛盾。综上得 点睛：
24、遇到“若存在 , ，使 成立” ”的条件是要进行转化，转化为最值之间的不等关系，利用导数性质结合分类讨论，求出结果。题目可以改编“若任意，使 成立”则等价于“ ”22. 在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数，） ，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知曲线 和曲线 交于 两点（ 在 之间） ，且 ，求实数 的值【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）利用代入消参法，把曲线 的参数方程化为普通方程，根据，把曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）将曲线 的参数方程代
25、入曲线 得 ， 设 对应的参数为，由题意得 且 在 之间，则 ，结合韦达定理可得实数 的值详解：（1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ，的极坐标方程为 两边同乘 得 即 （2）将曲线 的参数方程代入曲线 得 ， 设 对应的参数为，由题意得 且 在 之间，则 ，解得点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 ，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ； (4) 23. 已知函数 .（1）解关于 的不等式 ；（2）记 的最小值为 ，已知实数 ， ， 都是正实数，且 ，求证： 【答案】 （1） 或 ；（2）9【解析】分析：（1）对 进行分类讨论，可解关于 的不等式；（2）利用绝对值不等式的性质 可求出 ，再利用 结合均值定理求解.详解：（1）或 或 ，解得 或 综上所述，不等式 的解集为 （2）由 （ 时取等号）.即 ，从而 ，点睛：本题第一问可以利用分类讨论或者绝对值的几何意义进行求解，解决第二问的核心是利用等式 构造均值定理的形式进行求解 .
