1、1河北武邑中学 2018-2019学年上学期高二开学摸底考试数学试题第卷选择题：(本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则 故选2.ABC 中， 则ABC 的形状是（ ）A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得 故选 B.考点：余弦定理的应用3.在 ABC中， B135， C15， a5，则此三角形的最大边长为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得 ABC的最大边为 ，根据三
2、角形内角和定理求出 A30后再根据正弦定理求出即可【详解】由题意得 B C， B A， ABC的最大边为 又 ，2由正弦定理得 ， ，即三角形的最大边长为 故选 A【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形中边角间的关系，考查计算能力，属于基础题4.已知两个等差数列a n和b n的前 n项和分别为 An和 Bn，且 = ，则使得 为整数的正整数 n的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前 n项和公式可得 ，于是将 表示为 n的关系式，分离常数后再进行讨论，最后可得所求【详解】由等差数列的前 n项和公式可得，所以当 时， 为整数，即 为整数，因此使
3、得 为整数的正整数 n共有 5个故选 D【点睛】本题考查等差数列的和与项的关系和推理论证能力，解题时要结合求和公式进行变形，然后再根据变形后的式子进行分析，本题具有一定的综合性和难度，能较好地考查学生的综合素质5.下列事件是随机事件的是（ ）3当 时， ； 当 有解当 关于 x的方程 在实数集内有解；当 时，A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据随机事件的概念对四个事件分别进行分析即可得到结论【详解】对于，由于 时， 成立，故事件为必然事件；对于，由于 无实数根，故事件为不可能事件；对于，当 关于 x的方程 在实数集内可能有解、也可能无解，故事件为随机事件；对于，当 时， 可能
4、成立，也可能不成立，故事件为随机事件综上，事件为随机事件故选 C【点睛】本题考查随机事件的概念和判断，解题时根据随机事件的概念求解即可，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题， 6.二次函数 的最大值为 0，则 （ ）A. 1 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到 ，然后再根据二次函数的最大值可求出的值【详解】因为二次函数有最大值，所以 又二次函数 的最大值为 ，由题意得 ，4解得 故选 B【点睛】解题时要先根据二次函数的最值情况判断出的符号，然后再根据最值情况求得的值即可，考查理解判断和计算能力7.容量为 100的样本，其数据分布在 ，将样本数据分为 4组： ， ，
5、，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A. 样本数据分布在 的频率为 0.32B. 样本数据分布在 的频数为 40C. 样本数据分布在 的频数为 40D. 估计总体数据大约有 10%分布在【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果【详解】对于 A，由图可得样本数据分布在 的频率为 ，所以 A正确对于 B，由图可得样本数据分布在 的频数为 ，所以 B正确对于 C，由图可得样本数据分布在 的频数为 ，所以 C正确.对于 D，由图可估计总体数据分布在 的比例为 ，故 D不正确故选 D【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的
6、能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点8.甲、乙、丙三名运动员在某次比赛中各射击 20次，三人成绩如下表环数 6 7 8 9 10甲 4 4 4 4 45乙 3 16 1 0 0丙 8 4 8 0 0用 分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的标准差，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中数据求出甲、乙、丙三名运动员的比赛成绩的平均数和方差后比较即可得到结论【详解】用 分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的平均数，由题意得：，所以,，故 ，所以 故选 B【点睛】本题考查样本平均数、方差的计算，由于解题时涉及到大量的计算
7、，因此本题中容易出现的问题是计算中的错误，要求平时要做好这方面的训练69.ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA,sinB，sinC 成等比数列，且 c=2a，则 cosB的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 sinA,sinB,sinC成等比数列得到 ，再结合 和余弦定理可得 的值【详解】sinA,sinB,sinC 成等比数列， ，由正弦定理得 又 ，故在ABC 中，由余弦定理的推论得 故选 B【点睛】本题考查用余弦定理解三角形，其中解题的关键是根据题意得到三角形中三边的关系，考查计算能力和转化能力，属于基础题10.数列 满足 ， ，
8、 ，则 等于( )A. 15 B. 10 C. .9 D. 5【答案】A【解析】【分析】先由题意计算得到的值，然后再根据 的值求出 即可【详解】由题意得 ，即 ，解得 ， ，7 故选 A【点睛】解答本题的关键是求出 ，进而得到数列的递推关系，然后再结合题意求解，考查推理和计算能力，属于基础题11.下列命题中错误的是( )A. 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面B. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面C. 如果平面 平面，平面 平面， ，那么平面D. 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析】A. 如图，平面 平面 ， =l
9、， l ， l不垂直于平面 ，所以不正确；B. 如 A中的图,平面 平面 , =l,a ,若 a l,则 a ，所以正确；C. 如图，设 =a， =b，在 内直线 a、 b外任取一点 O，作 OA a，交点为 A，因为平面 平面 ，所以 OA ，所以 OA l，作 OB b，交点为 B，因为平面 平面 ，所以 OB ，所以 OB l，又 OA OB=O，所以 l .所以正确。D. 若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，正确；8故选：A.12.函数 的部分图像
10、如图，则 （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】由函数图像可知周期 ，所以 ，观察图像可知 ，所以，故选择 B. 第卷二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分 ）13. =_【答案】 【解析】试题分析：根据二倍角正弦公式的变形可知：考点：二倍角正弦公式14.某单位收集了甲、乙两人最近五年年度体检的血压值数据，绘制了下面的折线图根据图表对比，可以看出甲、乙两人这五年年度体检的血压值的方差_（填甲或乙）更大9【答案】乙【解析】由图可知，乙的数据波动更大，所以方差更大的是乙。15.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 个社团中随机选择 个，则数学建模社团被选中的概率为
11、_【答案】【解析】从 个社团中随机选择 个，有 6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有 3种选法，所以概率为 16.在 ABC中，E,F 分别是 AC,AB的中点，且 3AB=2AC，若 恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】要求的最小值，即要求 BE与 CF比值的最大值，由 AB与 AC的关系，用 AB表示出 AC，在ABE 中，由余弦定理表示 BE2，在ACF 中，利用余弦定理表示出 CF2，然后可得 BE与 CF的平方比，分离常数变形后，由 A为三角形的内角得到 A的范围，求出比值的范围，进而可得到的取值范围【详解】根据题意画出图形，如图所示： ，10 ，又 E,F分别是 AC
12、,AB的中点， 在 中，由余弦定理得，在 中，由余弦定理得， ， 令 ，则 在 上单调递减， ，即 .又 恒成立， ，实数的最小值为 故答案为 【点睛】本题涉及的知识点较多、难度较大，以考查最值为载体考查了解三角形的知识，通过余弦定理得到所求的两线段的比值，然后再转化成三角函数的最值的问题处理解题时要注意，为了应用余弦定理，首先要将条件进行整合，转化到同一三角形中，再利用解11三角形的知识求解三、解答题：（第 17题 10分，第 18题-22 题，每个试题 12分）解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17.在ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，设 a=4，c=3，cos
13、B= （1）求 b的值；（2）求ABC 的面积【答案】(1) ;(2) 【解析】【分析】（1）由余弦定理直接求 b的值即可 （2）先由 求出 ，再根据三角形的面积公式求解【详解】 （1）a=4，c=3，cosB= 由余弦定理可得 b= = = 故 b的值 （2）cosB= ，B 为三角形的内角，sinB= = = ，又 a=4，c=3，S ABC = acsinB= = 【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误18. 的角 的对边分别为 ，已知(1)求角 ；(2)若 ，三角形的面积 ，求 的值【答案
14、】 （1）60；（2） 【解析】12【分析】（1）根据正弦定理将所给的条件转化成边，然后再利用余弦定理的推论求解可得角 C的大小 （2）由三角形的面积得到 ，再由余弦定理可得 【详解】 （1）由 及正弦定理得由余弦定理的推论得 ， ， （2）由题意得 ， ，由余弦定理得 ， 【点睛】解题时注意两点：（1）利用余弦定理求三角形的内角时，不要忘了注明所求角的范围，这是解题时常出现的错误（2）余弦定理和三角形的面积常结合在一起考查，解题时注意整体思想的运用，常用的方法是把 和 分别作为一个整体进行求解19.如图，在平行四边形 中，点 （ ）求 所在直线的斜率（ ）过点 做 于点 ，求 所在直线的方程
15、【答案】 （ ） （ ）【解析】13试题分析：(1) 点 O（0，0） ，点 C（1，3） ，OC所在直线的斜率为 .（2）在 中， ,CDAB，CDOC.CD所在直线的斜率为 .CD所在直线方程为 考点：求直线斜率与直线方程点评：由两点 求直线 斜率 ，当 时斜率不存在，两直线垂直，则斜率乘积为20.已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根.（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.【答案】 （1） ；（2） 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得等差数列的首项和公差，然后可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到数列 的通项公式，然后根据错位相减法求和【详解】 （1
16、）设等差数列 的公差为 ， ， 是方程 的根， ，14 ，解得 ， （2）由（1）得 设数列 的前 项和为 ，则 ， ， ，得， ，数列 的前 项和为 【点睛】运用错位相减法求和时要根据所给数列的形式进行判定，只有给出的数列是等差乘以等比的形式时才可利用错位相减法求和错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养21.设函数 y= 是定义在 上的减函数，并且满足 = + , 。（1）求 的值；15（2）若存在实数 ，使得 ，求 的值；（3）若 ，求 的取值范围。【答案】 （1）0；（2） ；（3）【解析】【分析】（1
17、）令 = =1，利用赋值法可得所求的函数值 （2）根据条件可得 ，又函数y= 为减函数，故可得 （3）由题意得不等式 ，然后根据函数的单调性可得所求范围【详解】 （1）令 = =1，则 = + ， =0（2） =1， 2，又 ， ，函数 y= 为减函数， （3）由题意得 ，函数 y= 是定义在 上的减函数， ，解得 ， 的取值范围为 【点睛】解答与抽象函数有关的问题时要注意以下两点：一是利用赋值法求解相关的函数值，即通过选取合适的自变量的取值达到求解的目的；二是充分利用所给的函数的性质进行求解22.已知 ， ，且 16(1)将 表示为 的函数 ，并求 的单调递增区间；(2)已知 分别为 的三个
18、内角 的对边，若 ，且 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）由向量的数量积为 0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求 （2）由（1）及题意可得 ，然后由余弦定理和 可求得 ，最后根据三角形的面积公式可得所求【详解】 （1） ， ，由 ，得 ，函数的递增区间为 （2）由（1）得 ， ， 17在 中，由余弦定理得 ， ， 【点睛】将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用 ，将 和 作为整体求解，可提高解题的效率
