1、1第 10 讲 线段的垂直平分线姓名：_一、知识点1.垂直平分线的定义：把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线如图所示：直线 CD 既垂直于线段 AB，又平分线段 AB，因此直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线注意：（1）直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，则 CDAB，OA=OB；（2）若 CDAB，OA=OB，那么直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线. 2.线段的垂直平分线的性质与判定：（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.如图所示：若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则 PA=PB；反过来，
2、若 PA=PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线的作法如图，已知线段 AB，作线段 AB 的垂直平分线.作法：（1） 分别以 A 点和 B 点为圆心，以大于 的长为半径画弧，12AB两弧相交于点 C 和点 D；.（2）作直线 CD，直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.二、典型例题【例 1】如图，在ABC 中，已知 AC=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，BCE 的周长等于 50，求 BC 的长.变式练习：如图，DE 是ABC 中 AC 边上的垂直平分线，如果 BC=9cm，AB=11cm，求EBC 的周长.【例 2】如图，在AB
3、C 中，AB=AC, BC=12,BAC =120,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交BC 边于点 N.(1) 求EAN 的度数.(2) 求AEN 的周长.(3) 判断AEN 的形状.变式练习：1. 在 ABC 中， AB=AC， BAC=120， AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交 AB 于 E， AC 的垂直平分线交BC 于 N，交 AC 于 F，求证： BM=MN=NC2. 如图，ABC 中, BAC =70, BC=12,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N.求:EAN 的度数.【例 3】如图，在ABC 中，A
4、B=AC，A=40，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，求DBC 度数变式练习：如图，等腰ABC 中，AB=AC， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，DBC=15，则A的度数是 度E DOCBADCOBAPDCOBADCBAB CAEDAB CDEMNN EMDAB C2三、课堂练习1. 在联谊会上，有 A、B、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A三边中线的交点 B三条角平分线的交点C三边垂直平分线的交点 D三边上高的交点2在ABC 中，AB
5、=AC，A=36，DE 是 AB 的垂直平分线，DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE下列结论BE 平分ABC；AE=BE=BC；BEC 周长等于 AC+BC；E 点是 AC 的中点其中正确的结论有 （填序号）3.在ABC 中，AB=AC，AHBC 于点 H，M 是 AH 上一点，CDBM 的延长线于点 D，比较 BM和 CD 的大小关系.4.如图所示，长方形纸片 ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上的点 F 处，若ACB=30，求 AC 的长.5.如图，四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 CD 的
6、中点，AEBC，AFCD，求证：AB=AD.6.如图所示，1=2，DEAC，EFAD 交 BC 的延长线于点 F，求证：3=B.7.如图所示，已知点 P 是AOB 内一点，点 P 关于 OA，OB 的对称点分别为 P1，P 2，连接， P1P2，分别交 OA、OB 于点 M 和 N，若 ， P1P2=5cm，求PMN 的周长.8.如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 边于点 M，AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N，若 MN=4，AMN 的周长为 16，求 BC 的长.9如图所示，在ABC 中，AC=5，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上的任一点，则 AP+BP 的最小值是 四、课外作业1如图，在ABC 中，AB=AC，A=40，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，则DBC= 度2如图，DE 是ABC 中 AC 边上的垂直平分线，如果 BC=9cm，AB=11cm，求EBC 的周长.3.如图，ABC 中，AB=AC，BAC=54，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将C 沿 EF（E 在BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，求OEC 大小.MHDCBAFE DCBAFE DCBA321FEDCB AP2P1 PBOANMED CB A
