1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.奇(偶)函数的性质 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.,-4-,知识梳理
2、,双基自测,2,3,4,1,3.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小正数,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.函数周期性的常用结论 对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.(4)若f(x)是
3、偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a. (5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a. (6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|. (7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|. (8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x
4、)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ( ) (4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-,0)上是减函数,则f(x)在(0,+)上是增函数. ( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是( ),答案,解析,-8-,知
5、识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.(2017河北武邑中学模拟)在下列函数中,既是偶函数,又在区间0,1上单调递增的函数是( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.(2017河北百校联考)已知f(x)满足对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ) A.4 B.-4 C.6 D.-6,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)= .,答案,解析,-11
6、-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x;思考判断函数的奇偶性要注意什么?,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得判断函数的奇偶性要注意两点: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提. (2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. (2)函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x
7、)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为( ) A.1,3 B.-3,-1,1,3,(4)已知函数g(x)是定义在区间-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)g(m),求m的取值范围. 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?,答案,-18-,考点1,考点2,考
8、点3,考点4,经检验,a=1时,f(x)为偶函数,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数奇偶性的应用主要有:利用函数奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单,(3)(2017贵州贵阳适应性检测
9、)若f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0= ( ) A.x|-22 B.x|04 C.x|x2,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,(4)设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为 .,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1). 又f(x)-g(x)=x3+x2+1, 故可令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1, 即f(1)+g(1)=1.故选
10、C.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-22,即04时,有f(x-2)0,故选B.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,(4)f(x)在(-b,b)上是奇函数,例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 ( ) A.336 B.337 C.1 678 D.2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-
11、 ,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= . 思考函数的周期性主要的应用是什么?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)f(x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1.,又f(2 017)=f(1)=1,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337.,-28-,考点1
12、,考点2,考点3,考点4,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5) =f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(2 018)= .,答案,(2)(2017山西晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)
13、成立,则f(2 017)= .,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)因为f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x), 所以函数f(x)的周期为4, 所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2). 又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2.,(2)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=
14、2.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在区间-1,0上是减函数,则f(x)在区间1,3上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数,A.(-,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?,答案,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1
15、=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.,由图象可以观察出,f(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选D.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问
16、题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为( ) A.2 B.0 C.-2 D.2,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1), f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数, f(2 018)=f(2)=2.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5), f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0, 又函数f(x)是周期为3的周期函数, 函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个, 故选D.,
