1、- 1 -太湖中学 2018-2019 学年高三第一次段考数学理科试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合 , 则 等于( )1,0,12xBxA或 BCARA B C D,012. 若命题 ： ；命题 ： 则 是 的（ ）p35,1(aq35,1aqpA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3 “每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是 1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过 天之后，你的数学水平 与 之间的函数关系式是（ ） xyxA. B. C.
2、D. xy05.1xy05.195.0xy95.04. 函数 的单调递增区间是（ ）fln)(A B C D,e),(e),(e),(e5. 函数 的图象大致形状是( )xy6.设 ，且 ， ， ，则 的大小关1a2log(1)amlog(1)anlog(2)apmnp， ，系是（ ）A B C Dnppn7. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池（如图 1） ，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米. 如果池四周围壁建造单价为 400 ，中间两道隔壁米元墙建造单价为 248 ，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计 . 设污水米元池的长为 米，总
3、造价为 (元), 则 的解析式为( )x)xQx- 2 -A 图 1160)324(80)(xxQ)62(xB )()( )1(C 1203480xx 6xD )()(Q)(8. 已知函数 （ ， 是自然对数的底数）在 处取2xfmeRe0x得极小值，则 的极大值是（ ）)(xA B C D24e24e2e2e9. 下列判断中,正确的是（ ）A “若 ，则 有实数根”的逆否命题是假命题0m02xB “ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件31)(y4)1(6yxC命题“ ”是真命题2,xRD当 时，命题“ ”是假命题t20t,20xR10. 若函数 满足:对于任意 都有 且)(xf1,0)(,
4、)(21xff成立,则称函数 为“正定函数”.则下列四个函数中，)(221xf为“正定函数”的是（ ）A. B. C. D. xf)(f)( )1(log)(2xf 12)(xf11.若函数 （ ）图象与函数 的图象关于原点对称, 且1logfay时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )1,0x mxf2)(2A. B. C. D. 0， 10， 10，12.定义在 上的函数 ，满足 ，且 .若R)(xf ,2)(xxf )()(xff，则函数 在 内的零点个数有（ ）xg2lo3)()Ffg0A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个- 3 -二、填空题(本大题共 4 小题
5、，每小题 5 分，共 20 分.)13设 ,若函数 在区间 内有一个零点，则化简Rt)(xf12t)2,(的结果是 5204t14曲线 在点 处的切线斜率是 . xfxf )0(sin31)(),(15向 名学生调查对 两事件的态度，有如下结果: 赞成 的人数是全体的五分之三，BA, A其余的不赞成；赞成 的比赞成 的多 人，其余的不赞成；另外，对 都不赞成的3B,学生数比对 都赞成的学生数的三分之一多 1 人. 则对 都赞成的学生有_人., ,16若不等式 有且仅有一个正整数解，则实数 的最大值是 .0)3(xea a三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤)17.（本小题满分 10 分）设 已知 p：函数 有零点， q： .,Rt1(2txf 21,txR()若 为真命题，求 的取值范围；() 若 为假命题，求 的取值范围.qtpt18 （本小题满分 12 分）定义在 上的函数 满足: 对于任意的实数 ，等式 =R)(xf nm,)(nf(mf)nf恒成立; 当 时, 且0,.2)1(f（）判断函数 在 上的奇偶性和单调性; )(xf（）求函数 在 上的值域4,19.（本小题满分 12 分）已知函数 .)1()axf ),Rx（）当 时，求 的单调区间与最值；2f（）若 在区间 内单调递减，求 的取值范围.)(f)0,(a20.（本小
7、题满分 12 分）我们常常称恒成立不等式 ，当且仅当 时等号成立）为“灵魂不等01lnx（ 1x- 4 -式” ，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.（）试证明这个不等式； （）设函数 ，且在定义域内恒有 求实数 的值.xaxfln)(2 ,0)(xfa21 （本小题满分 12 分）某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得 10 万元1000 万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随收益 （单位：万元）yx的增加而增加，且奖金总数不超过 9 万元，同时奖金总数不超过收益的 20%.（）若建立奖励方案函数模型 ，试确定这个函数的定义域、值域和 的范围；fx
8、 xy（）现有两个奖励函数模型： ； .试分析这两个函数模2150y4lg3yx型是否符合公司的要求？请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .2()4fx()()2xgef（）设两点 ， ，且 ，若函数 的图象分别在1,)Af2,Bf10()fx点 处的两条切线互相垂直，求 的最小值；、 2（）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.,x()fxkgk- 5 -太湖中学 2018-2019 学年高三第一次段考数学理科试题参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）二填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 14 15 163
9、t 2121231e三解答题17解析： () 为真命题的充要条件是 所以 或 .q,02ttt即 的取值范围是 . 4 分t,2,() 当 为假命题时， . 为假命题, 则 假 假.tqppq假时，有 所以 7 分p,042t 2与 取交集得， .t故 的取值范围是 . 10 分t )2,(18. 解析：（）设 .在 = 中,令2121,xRx)(nmf(f)nf，21,xnm则 .)()()()( 2121221 xfxffxfff 因为当 时， 所以由 得，0x,0x01,01即 , 因此 在 上是减函数.)()(2121fff ).(2ff)(fR3 分在 = 中,令 得 再令 得,nm
10、ffnf,m.fnm= = ,因此 在 上是奇函数. 6 分)0(),()(f)(x（） 函数 在 上的最大值为 、最小值为 . 8 分xf44f)4(f在 = 中, 令 得, 令 得,)(nf()nf1n;12)(f 2n故函数 在 上的值域是 12 分.812)4f)(xf8,19. 解析：（）当 时， ，其图象如图所示.a2f题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B B D B A A D D C B- 6 -因此函数 的单增区间是 和)(xf )41,2(单减区间是 和 .),(0),0最小值是 ，无最大值. 21(f5 分（）当 时， 在 内单减,
11、符合要求.0axf)()0(当 时， ， 在 内单减，符合要求。9 分 a2f),(当 时， 在 内单减，在 内单增，不符合要()fx1),a)21,(a求. 故 的取值范围是 . 12 分a0,20. 解析：（）法 1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线 和直线 ，发现它们均经xfln)(1xy过定点 ，且 ，即直线 是曲线 在定点 处的切线.)0,(1)(f 1xy )0,(故 ，当且仅当 时等号成立）. 6 分0lnx（法 2（导数法）：令 ，则 .显然 在)0(ln)(g xx1)(g)(g内单增，在 内单减， 因此 于是 .)1,0(,1(.1maxg0)(即 ,当且仅当 时等号成立.
12、 6 分)0lnx（）函数 的定义域是 . 因为 ，所以 等价(f),( )ln()xaxf)(xf于 ，即 . 8 分lxaaxln当 时， . 由对数型灵魂不等式 知， ，因此11 )1(ln1lx当 时， . 10.0xlx分由对数型灵魂不等式 知， ，因此 当 时，等)10(lnx1lnx.a1x号成立, .Ra- 7 -综上可知，实数 的值是 12 分a121.解析：（） ，值域是 ， .4 分 0)(，的 定 义 域 是xfy90， 20，xy（）当 时， 的最大值是 ， 不符合要求.2150215x153当 时， 在定义域上为增函数，最大值为 9.7 分4lg3yx令 ，则.2
13、xxg2.03l4)(01ln52)( xg所以 即 .故函数 符合公司要求.,01)(gxy4l3y12 分22. 解析：（）因为 ，所以 ，故 ，2()4fx()2fx12()fx即 ，且 ， . 2 分12(4)1x1040所以 2 21()()()()xx当且仅当 ，即 且 时，等号成立.所以函数124153的图象分别在点 处的两条切线互相垂直时， 的最小值为 1. ()fxAB、 21x 5 分（） ， .2()4fx()2(1)xge设函数 = = （ ） ，F()kf24k2x则 = = .()x2xe()xe由题设可知 0，即 .令 =0 得， = ， =2.01kF1lnk2
14、x 若 ，则2 0， ， 0， ，1kex(2,)x(F1(,)0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取()Fx()1,)1x1最小值 .而1= = 0，21()2()4xkex2114x1(2)x当 2 时， 0，即 恒成立. 8 分F()fkg- 8 -若 ，则 = ，当 2 时， 0，2ke()Fx22)()xeex()Fx 在(2,+)单调递增，而 =0，当 2 时， 0，)xF即 恒成立. 10 分fg若 ，则 = = 0，当 2 时， 2ke()F2ke2()kex()fx不可能恒成立.综上所述， 的取值范围为1, . 12()x 2分- 9 -太湖中学 2018-201
15、9 学年高三第一次段考数学理科试题答案（2018 年 10 月 8 日上午考试）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10. 若函数 满足:对于任意 都有 且)(xf ,0,21x,0)(,)(21xff成立,则称函数 为“正定函数”.则下列四个函数中，)(221f为“正定函数”的是（ ）A. B. C. D. xf)(xf)( )1(log)(2xf 12)(xf【答案】D【解析】对 A，有 ,A 不是正定函数；1对 B，有 ，B 不是正定函数；02)()( 112 xxx对 C，有 ，C 不是正定函数；43ff对
16、 D，有 D 是正定函数.,)(22111 xxx11.若函数 （ ）图象与函数 的图象关于原点对称, 且)(log)(fagy时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )1,0x mxf2(A. B. C. D. 10， 10， 10，11 【答案】D解析: 设 . 两点关于原点对称， 点的坐标为 .),(yxQP, P),(yx又点 在函数 的图象上，)1(log)(xfa ,1loga即 .1(log)(xxa在 上单增， 的最小值是 因此，即h)2f,0)(xh，)0(h， .故选 D.02m112.定义在 上的函数 ，满足 ，且 .若R)(xf 0,1,2)(xxf )1()(xf
17、f，则函数 在 内的零点个数有（ ）xg2lo3)()Ffg- 10 -A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个12.B.解析：由 )1()(xff知 的最小正周期是 2，画出函数 的部分图像，)(xf如图所示。从图中可知，选 B.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)15向 名学生调查对 两事件的态度，有如下结果: 赞成 的人数是全体的五分之三，50BA, A其余的不赞成；赞成 的比赞成 的多 人，其余的不赞成；另外，对 都不赞成的3B,学生数比对 都赞成的学生数的三分之一多 1 人. 则对 都赞成的学生有_人., ,解析: 赞成 的人数为 赞成 的人
18、数为 如图 2,记 名学生组A,05B3050成的集合为全集 赞成事件 的学生全体为集合 , 赞成事件 的学,UAB生全体为集合 .B设对事件 都赞成的学生人数为 ,则对, x都不赞成的学生人数为 ,赞成 而不A, 13赞成 的人数为 ,赞成 而不赞成 的人数x0A为 依题意得， .3x，解得50)()()( .21x16若不等式 有且仅有一个正整数解，则3xea实数 的最大值是 .解析 就是0)(x.3axe令 . ,eh3(axg- 11 -利用导数知识确定 的图象：xeh)(由 得， .01()xxh1. 图象如图所示. e(注意到直线 经过定点 ，显然 不合题意.3)(axg),0(0
19、a当 时， 是不等式 的唯一正整数解，因此有 ，即0a1)(xgh)2(1gh，解得 故选 A.321ae .231ea评注 这里不等式的正整数解问题，可以“一分为二”成两个函数 （定曲线，xeh)(利用导数确定）和 （动直线，过定点 ）的值的大小关系，则问题立即转3)(axg）（ 3,0化为定曲线与动直线的位置关系，再列出相应的不等式组即可，注意对参数 的分类讨论.整a个过程体现了“数 形 数”之间的对应.变式题 若不等式 恰有两个正整数解，则实数 的取值范围是 0)3(xea.解析 由上可知，两个正整数解是 ，因此有 ,即 ,2,1)3(21gh3332aeae解得， 故 a的取值范围是
20、12313ee 1,23e三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 10 分）设 已知 p：函数 有零点， q： .,Rt1(2txf 21,txR()若 为真命题，求 的取值范围；() 若 为假命题，求 的取值范围.qtpt17解析： () 为真命题的充要条件是 所以 或 .,02t2t- 12 -即 的取值范围是 . 4 分t,2,() 当 为假命题时， . 为假命题, 则 假 假.qtqppq假时，有 所以 7 分p,042t与 取交集得， .2t故 的取值范围是 . 10 分t )2,(18 （本小题满分 12 分）定义在
21、 上的函数 满足: 对于任意的实数 ，等式 =R)(xf nm,)(nf(mf)nf恒成立; 当 时, 且0,.2)1(f（）判断函数 在 上的奇偶性和单调性; )(xf（）求函数 在 上的值域4,18. 解析：（）设 .在 = 中,令2121,xRx)(nmf(f)nf，21,xnm则 .)()()()( 2121221 xfxffxfff 因为当 时， 所以由 得，0x,0x01,01即 , 因此 在 上是减函数.)()(2121fff ).(2ff)(fR3 分在 = 中,令 得 再令 得,nmffnf,m.fnm= = ,因此 在 上是奇函数. 6 分)0(),()(f)(x（） 函数
22、 在 上的最大值为 、最小值为 . 8 分xf44f)4(f在 = 中, 令 得, 令 得,)(nf()nf1n;12)(f 2n故函数 在 上的值域是 12 分.812)4f)(xf8,19.（本小题满分 12 分）已知函数 .)()axf ,R（）当 时，求 的单调区间与最值；2f（）若 在区间 内单调递减，求 的取值范围.)(f)0,(a- 13 -19. 解析：（）当 时， ，其图象如图所示.2a)12()xf因此函数 的单增区间是 和 单减区间是 和 .)(xf 4,0)21,()0,4(最小值是 ，无最大值. 5 分0210（）当 时， 在 内单减, 符合要求.0axf)()0(当
23、 时， ， 在 内单减，符合要求。9 分 a2f),(当 时， 在 内单减，在 内单增，不符合要()fx1),a)21,(a求. 故 的取值范围是 . 12 分a0,20.（本小题满分 12 分）我们常常称恒成立不等式 ，当且仅当 时等号成立）为“灵魂不等01lnx（ 1x式” ，它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.（）试证明这个不等式； （）设函数 ，且在定义域内恒有 求实数 的值.xaxfln)(2 ,0)(xfa20. 解析：（）法 1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线 和直线 ，发现它们均经fln)(1y过定点 ，且 ，即直线 是曲线 在定点 处的切线.)0,(1)(f 1xyx)
24、0,(故 ，当且仅当 时等号成立）. 6 分0lnx（法 2（导数法）：令 ，则 .显然 在)0(ln)(g x1)(g)(g内单增，在 内单减， 因此 于是 .)1,0(,1(.1maxg0)(即 ,当且仅当 时等号成立. 6 分)0lnx- 14 -（）函数 的定义域是 . 因为 ，所以 等价)(xf),0()ln()xaxf0)(xf于 ，即 . 8 分0lnaxaxl当 时， . 由对数型灵魂不等式 知， ，因此11 )1(ln1lx当 时， . 10.xlnx分由对数型灵魂不等式 知， ，因此 当 时，等)10(lx1lnx.a1x号成立, .Ra综上可知，实数 的值是 12 分12
25、1 （本小题满分 12 分）某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得 10 万元1000 万元的收益现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随收益 （单位：万元）yx的增加而增加，且奖金总数不超过 9 万元，同时奖金总数不超过收益的 20%.（）若建立奖励方案函数模型 ，试确定这个函数的定义域、值域和 的范围；fx xy（）现有两个奖励函数模型： ； .试分析这两个函数模2150y4lg3yx型是否符合公司的要求？请说明理由.21.解析：（） ，值域是 ， .4 分 )(，的 定 义 域 是xfy9， 20，x（）当 时， 的最大值是 ， 不符合要求.21501250x
26、1503当 时， 在定义域上为增函数，最大值为 9.7 分4lg3yx令 ，则.2 xxg2.3l4)(01ln52)( xg所以 即 .故函数 符合公司要求.,01)(gxy4l3y12 分22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .2()4fx()()2xgef（）设两点 ， ，且 ，若函数 的图象分别在1,)Af2,Bf10()fx- 15 -点 处的两条切线互相垂直，求 的最小值；AB、 21x（）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.,2x()fkgk22. 解析：（）因为 ，所以 ，故 ，()4f()4f12()fx即 ，且 ， . 2 分12(4)1x 10x20x所以 2
27、 1()()()()x当且仅当 ，即 且 时，等号成立.所以函数124152x3的图象分别在点 处的两条切线互相垂直时， 的最小值为 1. ()fxAB、 21x 5 分（） ， .2()4fx()2(1)xge设函数 = = （ ） ，F()kf24k2x则 = = .()x2xe()xe由题设可知 0，即 .令 =0 得， = ， =2.01kF1lnk2x 若 ，则2 0， ， 0， ，1kex(2,)x(F1(,)0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取()Fx()1,)1x1最小值 .而1= = 0，21()2()4xkex2114x1(2)x当 2 时， 0，即 恒成立.
28、 8 分F()fkg若 ，则 = ，当 2 时， 0，()22xee()F 在(2,+)单调递增，而 =0，当 2 时， 0，)x()xx即 恒成立. 10 分fkg若 ，则 = = 0，当 2 时， 2e()F2ke2()ke ()f不可能恒成立.综上所述， 的取值范围为1, . 12()kx 2分灵魂不等式及其应用- 16 -我们常常称恒成立不等式 ，当且仅当 时等号成立）和恒成立不等Rxex（10x式 ，当且仅当 时等号成立）为“灵魂不等式” ，指数型与对数型成对01lnx（ 出现.1. 和 型aexal例 1（2017 济南市模考卷）已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取axe2Rx
29、a值范围是（ ） A. B. C. D. 2e121例 2（2017 合肥市模考卷）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取0xbx0lnb值范围是（ ） A. B. C. D. 1b1bee2. 和 型1axe)(lna例 3 （2018 安庆市模考卷） 设函数 ，其中 .若函数 恰有1)(axef 0fx一个零点，求 的值.a例 4（2017 课标卷）已知函数 ，且 求实数 的值.xxfln)(2,)(fa3. 和 型1xae1lnxa例 5（2018 南通市模考卷）若函数 在 上有零点，则实数 的取xmexf4)(Rm值范围是 .例 6.（2017 课标卷）已知函数 ，且 求实数 a 的值
30、.1lnfxax,0)(f4. 和 型1)()(xfef )(lngx例 7（2018 广州市模考卷）若对任意实数 ，不等式 恒成立, 求0xxex21lnt实数 的取值范围.t- 17 -例 8（2017 黄冈市模考卷）方程 在 内有唯一实数根的充要条件bx）（ 2ln),2(是（ ）A. B. C. D. 3b3b33b5. 混合型 2)()(ln)( xgfxgexf例 9（2013 课标卷）设函数 ，若 ，证明：)ln(me2 .0)(xf例 10（2016 杭州模考卷）若曲线 与曲线 有唯一公共4 2)(xef 1)2ln()xg点,求实数 的值.以上从一道高考题出发， 从分析、解答、结论、证明对其全方位透视，并获得两个灵魂不等式.再通过两个灵魂不等式的变式应用，将高考或模考中的恒成立不等式、能成立不等式、函数零点、方程的实根、不等式的证明等问题融为一体. 这给我们启示是：好的高考题或模考题往往具有针对性、示范性和拓展性，如果教师讲解前认真思考、认真发掘、认真研究, 通过发现其联系、发现其差异、发现其规律、发现其本质等等，让其发挥复习功能，起到以点带面、以一当十、举一反三、融会贯通的作用，促使学生的思维水平和解题能力达到一个新的高度. 这不失为高考备考复习一种良好的教学模式.
