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【KS5U解析】湖北省荆州中学2018届高三全真模拟考试(一)数学(理)试题 Word版含解析.doc

上传人:weiwoduzun 文档编号:3910669 上传时间:2018-11-27 格式:DOC 页数:23 大小:1.66MB
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资源描述

1、荆州中学 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合 , ,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题。2. 欧拉公式 ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥” 。根据欧拉公式可知, 表示的复数位于复平面中的A. 第一象限 B. 第二象

2、限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由欧拉公式 ( 为虚数单位)可得: ,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式 ( 为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为 ,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。3. 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象A. 向左平移 个周期 B. 向右平移 个周期C. 向左平移 个周期 D. 向右平移 个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数 的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数 的图象向右平移 个单位,可得 的图象,即

3、向右平移 个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。4. 某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是 ,连续两天为优良的概率是 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:记 “一天的空气质量为优良” , “第二天空气质量也为优良” ,由题意可知,所以 ,故选 A.考点:条件概率视频5. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析

4、】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥 ,底面是边长为 3 的正方形,侧棱 底面ABCD,四个侧面均为直角三角形,则此几何体各面中直角三角形的个数是 4 个,选 C. 6. 等比数列 的前 项和为 ,下列结论一定成立的是A. 若 ,则B. 若 ,则C. 若 ,则D. 若 ,则【答案】C【解析】试题分析:设 ,因为 ,所以 A,B 不成立;对于 C,当 时, ,因为 与 同号,所以 ,故 C 正确;对于 D,取数列:-1,1,-1,1,不满足条件,故 D 错,故选 C.考点:1、等比数列的性质;2、等比数列的前 项和公式.7. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值,如下程序框图表示其基本步骤(函数

5、RAND 是产生随机数的函数,它能随机产生 内的任何一个实数) ,若输出的结果为 527,则由此可估计 的近似值A. 126 B. 3.132 C. 3.151 D. 3.162【答案】D【解析】分析:由 想到球的八分之一。 由程序框图得到 发生的概率的两种表示方式: 、 ,由它们相等可求得 。进而求得 。详解:由程序框图可得 发生的概率为 ,当输出的结果为 527时, 发生的概率为 。所以 。解得 。故选 D。 点睛:高考有关程序框图的题,基本都是和循环结构有关,应先执行几次循环体,找到规律,注意条件得运用。本题考查学生程序框图的读图能力及运算能力。8. 函数 的部分图像为A. B. C.

6、D. 【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性、单调性判别函数图像【详解】已知函数 ,定义域为 ,函数为偶函数,故排除 、 ,当 时, ,此时 ,故排除 ,综上正确答案选【点睛】本题考查了函数图像的识别,解答此类问题先考虑其定义域,然后判定函数的奇偶性、单调性,或者运用特殊值代入求出函数的图像大致趋势。9. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, , ,若三棱锥体积的最大值为 2,则球 的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径,从而得出外接球的表面积详解:因为 ,所以 ,过 的中点 作平面 的垂下 ,则球心 在 上,设 ,球的半径为 ,

7、则棱锥的高的最大值为 ,因为 ,所以 ,由勾股定理得 ,解得 ,所以球的表面积为 ,故选 D点睛:本题考查了有关球的组合体问题,以及三棱锥的体积的求法,解答时要认真审题,注意球的性质的合理运用,求解球的组合体问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)利用球的截面的性质,根据勾股定理列出方程求解球的半径10. 已知双曲线 ( )的左、右焦点分别为 , , 是 右支上的一点, 与 轴交于点 , 的内切圆在边 上的切点为 若 ,则 的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:已知 可得 ,故要求离心率只需求 。设

8、的内切圆在边 上的切点分别为 M、N。由内切圆的切线长线段可得 。由双曲线的对称性可得 。由双曲线的定义可得 ,根据以上结论可得。进而可求离心率。详解:设 的内切圆在边 上的切点分别为 M、N。则。由双曲线的对称性可得 。由双曲线的定义可得。所以 。因为 ,所以 。所以离心率 。故选 A。 点睛:求圆锥曲线的离心率,应从条件得到关于 的关系式。解题过程注意 的关系。(1)直接根据题意建立 的等式求解;(2)借助平面几何关系建立 的等式求解;(3)利用圆锥曲线的相关细则建立 的等式求解;(4)运用数形结合建立 的等式求解;11. 向量 , ,对 , ,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】

9、【分析】将 平方可得关于 的一元二次不等式 ,为使得不等式恒成立,则一定有 ,解出即可得到结果【详解】将 平方可得:,即对 ,该式恒成立即整理可得: ,即 ,则故选【点睛】本题主要考查的是平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系,对于本题直接运用判别式来解答,属于中档题。12. 函数 有三个零点,则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】问题转化为求 与 的交点问题,结合函数的图像求出 的取值范围【详解】 函数 有三个零点,方程 有三个根也就是 与 的图像有三个不同的交点由 可得: ,当 时, , 在 上单调递减,当 时, , 在 上单调递增有极小值为在 上

10、是单调增函数,其图像如图所示而直线 过定点 ,且函数 在 处的切线的斜率为:,则要使 与 的图像有三个不同的交点,实数 的取值范围是故选【点睛】本题主要考查的是函数的图像及函数零点的判定定理,考查了学生的转化能力和数形结合思想,计算能力,综合性较强,有一定难度。二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。13. 展开式中的常数项为_【答案】4【解析】,据此可得,展开式中的常数项为: .14. 甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下:已知五张纸牌上分别写有 ( )五个数字,现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大 甲看了看自己手中的数,想了想说:我不知道谁手中的数

11、更大;乙听了甲的判断后,思索了一下说:我也不知道谁手中的数更大假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中的数是_.【答案】【解析】分析:先分析甲手里的数,再推理出乙手中的数字.详解:由题得卡片上的 5 个数字是因为甲说,我不知道谁手中的数更大,所以甲的数可能为乙听了甲的判断后说,我也不知道谁手中的数更大,说明他手中的数不可能是 只能是 故答案为:点睛:本题主要考查推理论证,意在考查学生推理论证的能力和分析能力.15. 不等式组 的解集记作 ,实数 满足如下两个条件: ; . 则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】分析:线性规划问题应先画出不等式组对应的平面区域,根据直线方程求出直线的交点坐

12、标。对于 由图可知当 0 时,恒成立;当 0 时,暂且过点 A(2,2)时斜率最大,代入点 A(2,2)坐标,可得 ,可得 的范围为 1。对于 ,由平面区域可知直线 一定在点 B(1,3)的下方或过点 B。点 B(1,3)的坐标代入 可得。综上所述 的范围为 。详解: 作出不等式组对应的平面区域如图,即 D。由直线方程联立可求得 。(x,y)D, 当 0 时,恒成立,当 0 时,暂且过点 A(2,2)时斜率最大,即 22 , 综上所述 的范围为 1,(x,y)D, 直线 一定在点 B(1,3)的下方或过点 B。 综上所述 的范围为 ,故答案为:2,1点睛: (1)解决线性规划有关的问题,应准确

13、画出不等式组表示的平面区域;(2)目标函数为 时,应平移直线,求其最值;(3)目标函数为 形式时,转化为两点连线的斜率来求;(4)目标函数为 形式时,转化为两点间距离来求。 16. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为: ,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列 为“斐波那契”数列, 为数列 的前 项和,若,则 _ (用 表示)【答案】【解析】【分析】利用迭代法可得: ,可得 ,代值计算即可得到结果【详解】 数列为: ,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和则故答案为【点睛】本题主要考

14、查了数列的求和,结合“斐波那契”数列,运用递推方法探究出数列的规律,继而得出结果,有一定难度。三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 的内角 的对边分别为 ,且 ()求 ;()若 , ,求 的面积【答案】 (1) (2)2【解析】分析:(1)在 中,由正弦定理的推论可把 边化成角得,用诱导公式变形为 ,再用两角和的正弦公式变形化简可得 ,化简可得 ,进而求得 。 (2)由(1)的结论 和条件 ,要求三角形的面积,应先求一条边。所以应由正弦定理求一条边。先由 , ,求得 。再由和两角和的正弦公式求得。再由正弦定理可得。进而用三角形的面积公式可得 。详解:(1)在 中,因为 ,

15、所以 。所以 ,化简可得 。因为 ,所以 。因为 ,所以 。(2)因为 , ,所以 。因为所以 在 中,由正弦定理可得 。所以 的面积为 2.点睛:(1)有关求三角形面积或其最值的问题,应由三角形的面积公式求得面积;(2)知 的边和角,求其它的边和角,注意正弦定理、余弦定理的运用,知对角对边,可用余弦定理;若知边的平方关系,应想到余弦定理;18. 如图,多面体 中,面 为正方形, , , ,二面角的余弦值为 ,且 ()证明:平面 平面 ;()求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【答案】 (1)见解析(2)【解析】分析:(1)通过证明 ADDE, ,推出 平面 ,得到平面 平面 ;(2)由(1)

16、知, 是二面角 的平面角以 为坐标原点, 所在直线为 轴建立直角坐标系 ,分别求出平面 与平面 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值详解:(1)证明: ,由勾股定理得:又正方形 中 ,且 平面 ,又 面 ,平面 平面(2)由(1)知 是二面角 的平面角作 于 ,则且由平面 平面 ,平面 平面 , 面所以, 面取 中点 ,连结 ,则 ,如图,建立空间直角坐标系,则又 ,知 的一个方向向量设面 法向量 ,则取 ,得又面 一个法向量为 :设平面 与平面 所成锐二面角为 ,则点睛:本题考查直线与平面垂直的判断,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理能

17、力计算能力19. 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 与尺寸 x( mm)之间近似满足关系式 ( b、 c 为大于 0 的常数) 按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品现随机抽取 6 件合格产品,测得数据如下:尺寸 x( mm) 38 48 58 68 78 88质量 y (g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290()现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,记 为取到优等品的件数,试求随机变量 的分布列和期望;()根据测得数据作了初步处理,得

18、相关统计量的值如下表:75.3 24.6 18.3 101.4()根据所给统计量,求 y 关于 x 的回归方程;()已知优等品的收益 (单位:千元)与 的关系为 ,则当优等品的尺寸 x为何值时,收益 的预报值最大?(精确到 0.1)附:对于样本 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: , , .【答案】 (1)见解析(2) ,x=72.3【解析】【分析】由题意,首先确定 的取值,然后求解相应的分布列和数学期望即可结合题中所给的数据计算回归方程即可结合计算求得的回归方程得到收益函数,讨论函数的最值即可求得最终结果【详解】 (1)解:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间 内,即则随机

19、抽取的 6 件合格产品中,有 3 件为优等品,3 件为非优等品 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,则取到优等品的件数, , 的分布列为(2)解:对 ( )两边取自然对数得 ,令 ,得 ,且 , ()根据所给统计量及最小二乘估计公式有,- ,得 ,故 所求 y 关于 x 的回归方程为 ()由()可知, ,则由优等品质量与尺寸的比 ,即 令 ,当 时, 取最大值 - 即优等品的尺寸 ( mm) ,收益 的预报值最大.【点睛】本题考查了线性回归方程的实际运用,依据已知条件计算出随机变量 的分布列和期望;通过公式计算求得线性回归方程,本题为常考题型,注意解题方法。20. 已知椭圆 的上顶点为

20、 ,点 , 是 上且不在 轴上的点,直线 与 交于另一点 .若 的离心率为 , 的最大面积等于 .()求 的方程;()若直线 分别与 轴交于点 ,试判断 是否为定值.【答案】 (1) (2)【解析】分析:()求椭圆 的方程应先从条件中求 的值,由椭圆 的上顶点为 ,点 ,可得 。当点 P 为椭圆的长轴端点时, 的面积最大。故由的最大面积等于 可得 ,整理可得 。由离心率为 ,得 。再结合 ,可求得 。进而可写出椭圆的方程 。 ()要判断是否为定值,应求 ,看其是否为常数。要求 的值,可先求点M、N 的坐标,因为点 M、N 与点 P、Q 有关,故设 ,进而可得直线 的方程为,可求 ,同理可得直线

21、 的方程为 ,求得 ,进而得 。要求值应找 坐标之间的关系。因为 是直线 DP 与椭圆的交点,故设直线 的方程为 并与椭圆的方程联立可得方程组 ,消去,得 变形可得 ,由韦达定理,得将 变形即可求值,。可得结论。详解:(1)由题意。可得 的最大面积为 即 又 .联立,解得故 的方程()设直线 的方程为联立方程组 消去 ,得整理,得由韦达定理,得又直线 的方程为 所以 ,直线 的方程为 所以所以,则 为定值点睛:(1)求椭圆或双曲线的方程,就是求 的值,求值时注意的运用;(2)解决解析几何中的定值问题,应在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题

22、设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少。21. 已知函数 , 曲线 与 在原点处的切线相同.()求函数 单调区间;()当 时, ,求实数 的取值范围【答案】 (1)减区间 ,增区间 (2)【解析】试题分析:(1)借助条件确定 的表达式,然后求导,解不等式得单调区间;(2)构建新函数,借助最值建立关于 的不等关系.试题解析:解:(1) ( ) , ,依题意, ,解得 , ,当 时, ;当 时, ,故 的单调递减区间为 ,单

23、调递增区间为 (2)令 ,由(1)知: , ,即 , (i)若 ,则 在 上是增函数, , 成立(ii)若 ,由(1)知 ,则 ,由(i)知: , 成立(iii)若 ,则 ,则 ,显然 在 上单调递增,又 , , 在 上存在唯一零点 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,从而 ,即 , 在 上单调递减,从而当 时, ,即 ,不合题意综上,实数 的取值范围为 考点:1、切线问题;2、单调性;3、恒成立问题.【思路点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题第一问确定函数的单调区间,实质就是解不等式,注意定义域的限制;第二问不等式恒

24、成立问题,难点是新函数结构比较复杂,即含指数函数,又含对数函数,在处理上比较有技巧,往往利用重要不等式把一部分简化,注意不等式的方向.22. 在平面直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的极坐标方程为 , 为曲线 上异于极点的动点,点 在射线 上,且成等比数列()求点 的轨迹 的直角坐标方程;()已知 , 是曲线 上的一点且横坐标为 ,直线 与 交于 两点,试求的值【答案】 (1) (2)【解析】分析:(1)因为 为曲线 上异于极点的动点,点 在射线 上,所以点 P 与点 有关。所以设 ,由 成等比数列,可得 进而得到极径之间的关系 。因为 为曲线 上异于极点的

25、动点,所以 ,进而得到 ,变形得 ,转化为直角坐标方程可得 。 (2)要求|AD|-|AE|的值,可利用直线的参数方程中的参数几何意义求解。故应先求直线的参数方程,把点 A(0,3)看成是直线经过的定点,根据题意可得 ,进而求直线 的斜率 ,可求得直线 倾斜角为 。进而求得直线 的参数方程为 ,然后代入圆的直角坐标方程 ,整理可得 ,由根与系数的关系可得 。所以 同号, 所以详解:(1)解:(1)设则由 成等比数列,可得即又 满足 即化为直角坐标方程为(2)依题意可得 故 即直线 倾斜角为直线 的参数方程为代入圆的直角坐标方程 得故点睛:1、求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,

26、设 P(,)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程。2、有关直线与曲线相交,求距离的和、差时,注意直线的参数方程中参数几何意义的运用。23. 已知 ,()若 ,求不等式 的解集;()若 时, 的解集为空集,求 的取值范围【答案】 (1) 或 (2)【解析】试题分析:() 时即求解 ,分段讨论去绝对值求解即可;()由题意可知,即为 时, 恒成立,分段求解析式,当 时,; 时, 即可.试题解析:(1)当 时, 化为 , 当 ,不等式化为 ,解得 或 ,故 ; 当 时,不等式化为 ,解得 或 ,故 ; 当 ,不等式化为 ,解得 或故 ;所以 解集为 或 (2) 由题意可知,即为 时, 恒成立 当 时, ,得 ; 当 时, ,得 ,综上,

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