1、南阳一中 2018 届高三第九次考试理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 为实数，若复数 ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于 为实数，复数 ，那么可知，1+2i=a-b+(a+b)i,可知 a+b=2,a-b=1,解得 ,故选 D.考点：复数的除法运算点评：主要是考查了复数的运算以及复数相等的运用。属于基础题。2. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合集合集合故选 A.3. 已知 ，则 ( )A. B
2、. C. D. 【答案】C.结合两式得到 .故答案为：C。4. 已知 的一个内角为 ，且三边长构成公差为 2 的等差数列，则 的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设三角形三边分别为 ，则 所对的边为 .根据余弦定理可得三角形面积故选 A.5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图为：多面体： ，几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为 ，高为 ，上底边长为 ，如图所示：几何体的体积为故选 C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.观察三视图并将其“翻
3、译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 若 ，则下列不等式中一定不成立的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， 不正确； 正确；正确； 时， 成立，故选 A.7. 曲线 在点 处的切线方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ， ，曲线 在点 处的切线方程为化为 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线在 处的切线与 轴平行时，在 处导
4、数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .8. 已知函数 ，将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移 个单位长度，所得的图象关于原点对称，则 的一个值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】将 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得 的图像，再把所得的图象向右平移 个单位长度，可得 的图像.所得的图像关于原点对称当 时， .故选 D.9. 当 时，执行下图所示的程序框图，输出的 值为( )A. 20 B. 42 C. 60 D. 180【答案】C【解析】结合流程图可知，该程序运行过程如下：首先初始化数据： ,第
5、一次循环：不满足 ，执行： ；第二次循环：不满足 ，执行： ；第三次循环：不满足 ，执行： ；第四次循环：满足 ，程序跳出循环，输出 的值为 .本题选择 C 选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节10. 已知 的外接圆的圆心为 ，半径 ，如果 ，且 ，则向量 和 方向上的投影为( )A. 6 B. C. D. 【答案】B【解析】由 0 得， DO 经过边 EF 的中点， DO EF.连接 OF，| | | |4， DOF 为等边三角形， ODF
6、60. DFE30，且 EF4sin 6024 .向量 在 方向上的投影为| |cos , 4 cos 1506，故选 B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ， 的长度大于 1 米，且 比 长 米，为了稳定广告牌，要求 越短越好，则 最短为( )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】D【解析】由题意设 米，
7、米，依题设 米，在 中，由余弦定理得： ，即 ，化简并整理得：，即 ，因 ，故 （当且仅当时取等号） ，此时 取最小值 ，应选答案 D。12. 已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则( )A. B. C. 为减函数 D. 为增函数【答案】A【解析】令 ，则 .当 时， ，当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数当 时， ，则 ；当 时， ，则 .综上，故选 A.点睛：本题考查利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数的单调性，而对应函数需要构造，再求导进行求解，如本题中的关键是利用 构造函数.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， 的展开式
8、中 的系数为 1，则 的值为_.【答案】【解析】展开式中 的系数为 或故答案为 .14. 设袋子中装有 3 个红球、2 个黄球、1 个蓝球，规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此 2 球所得分数之和为 3 分的概率为_.【答案】【解析】得分数之和为 3 分，可能是先取出一个红球，再取出一个黄球，或者先取出一个黄球再取出一个红球，由条件知取出红球的概率为 ，取出黄球的概率为 ，故得三分的概率为故答案为： .15. 在底面是边长为 6 的正方形的四棱锥 中，点 在底面的射影 为正方形 的中心，异
9、面直线 与 所成角的正切值为 ，则四棱锥 的内切球与外接球的半径之比为_.【答案】【解析】由题意，四棱锥 为正四棱锥， ，如图所示：因为 ，所以异面直线 所成的角为 ，取 中点 ，则 .四棱锥的表面积 ，四棱锥的体积为四棱锥的内切球半径设四棱锥外接球的球心为 ，外接球的半径为 ，则故答案为 .点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解决的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.16. 双曲线 的左、右
10、焦点分别为 ，焦距为 ，以右顶点 为圆心，半径为 的圆与过 的直线 相切于点 ，设 与 的交点为 ， ，若 ，则双曲线 的离心率为_.【答案】2【解析】因为以右顶点 为圆心，半径为 的圆过 的直线 相切与点 ，A = ，故可知直线的倾斜角为 ，设直线方程为 设点 P ，根据条件 知 N 点是 PQ 的中点，故得到 ，因为，故得到 故答案为：2.点睛：这个题目考查的是双曲线的离心率的求法；圆锥曲线中求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解
11、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列 满足 .(1)若数列 为公差大于 0 的等差数列，求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意得 ， ，从而得到 ，设出等差数列 的公差 ，解方程组可得 ，从而得到 （2）由条件 ，可得，两式相减得 )，又 ，故，所以 ，然后根据 可求得 试题解析：（1）由已知得当 时， ，即当 时， -，得 ；即设等差数列 的公差为 ，则解得 或 ， （2） )-得 )，即 )，又 ， ， ， 点睛：解答本题时注意以下几点（1）由递推关系解决数列的有关问题时，要注意数列中项的下标的限制（2）求
12、数列的前 n 项和时，要根据数列通项的特点选择合适的方法常用的求和方法有列项相消法、错位相减法、公式法、分组求和法等，对于通项中含有 或 等形式的数列的求和问题常选择分组求和法求解18. 如图，直角梯形 中， ， ， ，等腰梯形 中， ， ，且平面 平面 .(1)证明： 平面 ；(2)若 与面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设 ，计算后可证 OF/BE，从而由已知可证 OF平面 ABCD，因此可以OA，OB，OF 为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角试题解析：（1）平面 平面 ， ，平面 平
13、面 ，又 平面 ， 平面 ；（2）设 ，四边形 为等腰梯形， ， ， ，四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 为 与平面 所成的角， ，又 ， ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， 平面 ，平面 的法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ，由 得 ，令 得， ，二面角 的余弦值为 点睛：立体几何中求“空间角” ，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角” ，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过
14、程，只要计算过关，一般都能求得正确结论19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨)标准煤的几组对照数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；(2)已知该厂技改前，100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？，参考数值： .【答案】(1) (2)19.65 顿试题解析：(1)由对照数据，计算得 ， ， ，故 ， ，故 .(2)将 代入方程，得 吨.预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 (吨)20. 如图
15、，设椭圆 ，长轴的右端点与抛物线 的焦点 重合，且椭圆 的离心率为 .(1)求椭圆 的标准方程；(2)过 作直线 交抛物线 于 两点，过 且与直线 垂直的直线交椭圆 于另一点 ，求面积的最小值，以及取到最小值时直线 的方程.【答案】(1) (2) 当 时， 面积的最小值是 9，此时直线 的方程为【解析】试题分析：（）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的 ，再由离心率可求得，从而得 值，得标准方程；（）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线 方程为 ，设，把直线方程代入抛物线方程，化为 的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得 ，同样过 与直线 垂直的直线方程为 ，同样代入椭圆
16、方程，利用韦达定理得 ，其中 ， 是 点的横坐标，于是可得 ，这样就可用 表示出 的面积， ，接着可设 ，用换元法把 表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.试题解析：（）椭圆 ： ，长轴的右端点与抛物线 ： 的焦点 重合， ，又椭圆 的离心率是 ， ， ，椭圆 的标准方程为 （）过点 的直线 的方程设为 ，设 ， ，联立 得 ， ， ， 过 且与直线 垂直的直线设为 ，联立 得 ， ，故 ， ，面积 令 ，则 ， ，令 ，则 ，即 时， 面积最小，即当 时， 面积的最小值为 9，此时直线 的方程为 21. 已知函数 .(1)若 ，求 的取值范围；(2)证明： .【答案】(1) (2)见解析
17、【解析】试题分析：（1）先根据导数公式求出导函数 ，代入 ，将 分离出来，令 ，然后利用导数求出 的最值，从而求出参数 的取值范围；（2）由（1）知 ，即 ，然后讨论 与 的大小，从而确定 的符号，然后判定 与 的大小，即可得证.试题解析：(1) ， ，题设 等价于.令 ，则 .当 时， ；当 时， ， 是 的最大值点， .综上， 的取值范围是 .(2)证明：由(1)知， ，即 ，当 时， ；当 时， . .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ；（
18、3）若 恒成立，可转化为 .22. 在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标系为 .(1)写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；(2)若 ，设直线 与曲线 交于 两点，求 的面积.【答案】(1) 直线 的参数方程为： ( 为参数)， (2) 【解析】试题分析：（1）由直线参数方程的定义可得 的参数方程，根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求方程 （2）求出直线 的参数方程，代入抛物线方程后根据参数方程中参数的几何意义求得，求得点 后可得三角形的面积试题解析：(1)由题意可得直线 的参数方程为：，将 代入上式，可得
19、，曲线 的直角坐标方程为 （2）当 时，直线 的参数方程为代入 可得23. 已知函数 ， .(1)求 ，求 的取值范围；(2)若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实 a 的不等式，然后零点分段求解不等式组可得 的取值范围是 .(2)原问题等价于 ，由二次函数的性质可知 ，由绝对值不等式的性质可得 ，据此求解关于实数 a 的不等式可得 的取值范围是 .试题解析：（1） ，若 ，则 ，得 ，即 时恒成立，若 ，则 ，得 ，即 ，若 ，则 ，得 ，即不等式无解，综上所述， 的取值范围是 .（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，当 时， ，因为 ，所以当 时， ，即 ，解得 ，结合 ，所以 的取值范围是 .
