1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟二）数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1. 已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求的集合 ，根据集合的运算，即可得到 详解：由集合 ， ，所以 ，故选 D点睛：本题考查了集合的交集运算，正确求解集合 是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力2. 已知 是虚数单位，复数 ，若在复平面内，复数 与 所对应的点关于虚轴对称，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数 与 所对应的点关于虚轴对称， ，求出 ，代入计算即可【详解】 复数 与 所对应的点关于虚轴对称，故选
2、【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3. 设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据已知条件列出方程组求出 ，再求 得解.详解：由题得所以 故答案为：B点睛：本题主要考查等差数列的通项和前 n 项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田” ，把直角梯形的田称为“邪田” ，称底是“广” ，称高是“正从” ， “步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，
3、求该株茶树恰好种在圭田内的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.详解： 邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，圭田广为八步，正从为五步的，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭田的面积面积，利用梯形的面积公式，算出邪田的面积，根据几何概型概率公式可得，该株茶树恰好种在圭田内的概率为： ，故选 A.点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以
4、及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 执行如下所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 属于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 求得分段函数的函数值【详解】执行程序框图知，输入的 ，输出算式 ；输出 的值，由 时， ； 时， 此分段函数在 时，输出的 故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图及数形结合能力，是基础题6. 命题 ，
5、命题 ，真命题的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由 ，可知命题 为真，由指数函数单调性可知命题 为假，从而得解.详解：由 ，可知命题 为真命题；当 时， ，则 ，所以不存在 . 命题 为假命题.所以 为真命题.故选 C.点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假.属于基础题.7. 已知某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的直四棱柱，结合图中数据求出它的体积即可【详解】 根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱，且四棱柱的底
6、面如侧视图所示，可以分割为一个梯形和一个直角三角形（如图） ，该四棱柱的体积为 故选：B【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键8. 已知双曲线 ，过左焦点 的直线切圆 于点 ，交双曲线 右支于点 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据题意，求得 ，所以 ，且 ，再在直角 中，利用勾股定理，得 ，即 ，又由 ，求得 ，即可得到双曲线的渐近线的方程详解：如图所示，由 ，可得 为 的中点，又因为 为 的中点，所以 ，且 ，又由 ，所以 ，且 ,又由双曲线的定义可知 ，所以 ，在直角 中， ，即 ，所以
7、 ，且 ，所以 ，解得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 C点睛：本题考查了双曲线的几何性质渐近线方程的求解，其中根据图象和双曲线的定义，利用直角三角形的勾股定理，得到 关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力9. 设 ， ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由 求出 的表达式，先比较 的大小和范围，再求出 的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。详解：由 有 ， ，因为 ，所以，而 ，所以 ，选 C.点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。比较大小通常采用的方法有：（1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采
8、用中间量进行比较，中间量通常有 0,1， 等。10. 设函数 ， 为 的导函数，若函数 的图像关于原点对称，则 的值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先确定 g(x)的解析式，然后结合三角函数的性质求解 的值即可.详解：由导函数的运算法则可得： ，则：，结合正弦函数的性质可得，当 时： ，则 ，令 可得： ，则 .本题选择 D 选项.点睛：本题主要考查导数的运算法则，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为A.
9、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取 的中点 ，则 为所求线面角，利用勾股定理求出 即可得出答案【详解】 设 的中心为 为 的中点，过 作 ，则 为 的中点， 是直线 与平面 所成角 是边长为 2 的等边三角形， ， 故选：A【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，属于中档题12. 已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （ 是自然对数的底数） ， ，若不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 k=0 时，即解 f(x)互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20. 已知抛物线 与椭圆 的一个交点为 ，
10、点是 的焦点，且 .(1)求 与 的方程；(2)设 为坐标原点，在第一象限内，椭圆 上是否存在点 ，使过 作 的垂线交抛物线于 ，直线 交 轴于 ，且 ?若存在，求出点 的坐标和 的面积；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) 见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求 ，点的坐标代入求出 ， 的值；（2）设出 ， 的方程与椭圆、抛物线分别联立，求出 的横坐标，利用 ，即可得出结论【详解】 （1）由抛物线定义： ，所以 的方程为 ，将 代入得 ，即 ，将 代入 ，得 ，故 方程为.即 （2）由题意：直线 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 ，由于 ，则的方程为 ，由 得由 ，得 ，得
11、（舍）或 在第一象限内，若满足 的点 存在，则 ，此时，设直线 与 轴交于点 ，由于 ，所以 ，故 ，即 为线段 中点，因此 ，即 ，解得 ，故存在适合题意的 ，此时 ， 此时 方程为 ，即 ，点 到 的距离 ， ，所以【点睛】本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题21. 若对任意实数 都有函数 的图象与直线 相切，则称函数 为“恒切函数” ，设函数 其中（1）讨论函数 的单调性；（2）已知函数 为“恒切函数” ，求实数 的取值范围；当 取最大值时，若函数 也为“恒切函数” ，求证：(参考数据： )【答案】(1) 见解析(2) 见解析【
12、解析】分析：（1）求出 ，分两种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）设切点为 ，求出 ，设 ，根据函数的单调性求出 故实数 的取值范围为 ；当 取最大值时， ， ， ， ，因为函数 也为“恒切函数” ，故存在 ，使得 ， ，由得 ， ，设 ， ，根据函数的单调性证明即可.详解：（1） .当 时， 恒成立，函数 在 上单调递减；当 时， 得 ，由 得 ，由 得 ，得函数 在 上单调递减，在 上递增.（2）若函数 为“恒切函数” ，则函数 的图象与直线 相切，设切点为 ，则 且 ，即 ， .因为函数 为“恒切函数” ，所以
13、存在 ，使得 ， ，即 ，得， ，设 .则 ， ，得 ， 得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而故实数 的取值范围为 .当 取最大值时， ， ， ， ，因为函数 也为“恒切函数” ，故存在 ，使得 ， ，由得 ， ，设 ，则 ， 得 ， 得 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，1.在单调递增区间 上， ，故 ，由 ，得 ；2. 在单调递增区间 上， ，又 的图象在 上不间断，故在区间 上存在唯一的 ，使得 ，故 .此时由 ，得 ，函数 在 上递增， ， ，故 .综上所述， . 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问
14、题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 选考题：共 10 分22. 【选修 4-4 坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，直线 ： （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ： （1）求直线
15、的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；（2）记射线 与直线 和曲线 的交点分别为点 和点 （异于点 ） ，求的最大值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案；（2）由（1） ， ，所以 ，即可得到 的最大值.试题解析：（1）由题意得直线 的普通方程为： ，所以其极坐标方程为： .由 得： ，所以 ，所以曲线 的直角坐标方程为： .（2）由题意 ， ，所以 ，由于 ，所以当 时， 取得最大值： .23. 【选修 4-5 不等式选讲】已知函数 （1）解关于 的不等式 ；（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）原不等式等价于 或 ，即 或 ，从而可得结果；（2） 等价 ，利用分段函数的单调性，可得当 时，的最小值为 ，从而可得结果.【详解】 （1）由题意 或 ，所以 或 ，即 或 ，或 或 ，故原不等式的解集为 或 （2） ，由于 ，所以当 时， 的最小值为 所以实数 的取值范围为 【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
