1、广雅、华东中学、河南名校 2018 届高三上学期第一次联考数学试题（理科）1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，故选 B.点睛：本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于容易题.解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，函数定义域、值域等相关问题的处理，化简完成后，进行集合的交并补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端点处值的处理，一定要细心谨慎.2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程知， ，故选 A.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据复
2、数的运算法则， ，故选 D.4. 曲线 在点 处的切线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以切线斜率 ，切线方程为 ，即，故选 C.5. 现有 2 个正方体，3 个三棱柱，4 个球和 1 个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知共有 10 个几何体，其中旋转体为球和圆台，共 5 个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率 .6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则函数的图象的一条对称轴方程可以是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数
3、的图象向左平移 个单位长度后，得到函数,所以 ，当 时，所以 是其一条对称轴，故选 B.点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强7. 已知公比不为 1 的等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设等比数列的公比为 ，则由 得， ，即 ，解得 或 （舍去） ，又由 得 ，所以 ，故选 D.8. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面
4、，则 （ ）A. 若 ，则B. 若 ，则C. “直线 与平面 内的无数条直线垂直”上“直线 与平面 垂直”的充分不必要条件D. 若 ，则【答案】D【解析】对 A，符合条件的直线可能 ，故不正确；对 B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对 C, 直线 与平面 内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对 D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线 ，点 在抛物线 上，点 在左准线 上，若 ，且直线 的斜率 ，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设准线 与 轴交于 N，所以 ,直线 的斜率
5、 ，所以,在直角三角形 中， ， ，根据抛物线定义知，,又 , ,所以 ,因此 是等边三角形，故，所以 的面积为 ，故选 C.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A11. 运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中可以填 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】执行一次， ，执行第 2 次， ，执行第 3 次， ，执行第 4 次， ，执行第 5 次， ，执行第 6 次， ，执行第 7 次，跳出循环，因此判断框应填 ，故选 B.12. 已知函数 有唯一的零点，则实数 的值为（ ）A
6、. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】函数 为偶函数，在 处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为 ，则 ，解得 或 ，当时不合题意，故选 A.13. 已知在长方形 中， ,点 是边 上的中点，则 _【答案】4【解析】以 A 为原点，AB,AD 分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则,所以 , ,故填 .14. 九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了 560 钱，乙带了 350 钱，丙带了 180 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照钱的多少按
7、比例出钱” ，则丙应出_钱（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】17【解析】依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱 ，故填 .15. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则_【答案】10【解析】因为等差数列中， 成等差数列，故成等差数列，所以 ， ，因此， .故填 .16. 已知实数 满足 ，若 的最大值为 4，则的最小值为_【答案】【解析】作出可行域如图：目标函数化简得： ，因为 ，故只可能在 B，C 处取最大值.联立 解得 B , 联立 解得 C ,联立 解得 A ,若目标函数 过点 A 时， 不符合题意，所以过 C 时取得最大值，此时 ，解得 ， 过点C 时， .点睛：本题考查线性规划
8、问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论，当 时，显然直线越上移 越小，结合可行域显然最小值不可能为 ，分析 时，只有当直线 过点 时取最小值，从而求出 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .（1）求 ；（2）若 ，求 的面积 取到最大值时 的值.【答案】 （1） ， （2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简后利用两角和差的正弦公式即可求出；（2）由余弦定理及均值不等式可得 ，从而可求面积的最大值及对应的 .试题解析：（
9、1）因为 ，在 中， ，所以 ，从而 ，因为 ，所以 ，所以 .（2）由（1）知 ，所以 ，所以 ，因为 ，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，点 是 与 的交点，点 在线段 上， 平面 .（1）求证： ；（2）若 ,求点 到平面 的距离.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（
10、1）要证线线垂直，可以先证面面垂直，根据条件易证 平面，从而结论得证；试题解析：（1）如图，连接 ，因为 平面 平面 ，所以；（2）利用三棱锥的体积等积法，可求出点到面的距离.因为 为 的中点，所以 为 的中点.因为 ， ，由 平面 平面 ，得 ，又 是平面 所以内的两条相交直线，得 平面 ，因为 平面 ，所以 .（2）设点 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ，解得 ，所以点 到平面 的距离为 .19. 为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了 8 名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）若从
11、乙地被抽取的 8 名观众中邀请 2 人参加调研，求参加调研的观众中恰有 1 人的问卷调查成绩在 90 分以上（含 90 分）的概率.【答案】 （1） ， .（2） .【解析】试题分析：（1）根据茎叶图计算可得中位数及平均数；（2）写出任选两人的所有情况，共有 28 中，其中符合要求的有 12 中，根据古典概型概率公式可得.试题解析：（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是 ，乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是.（2）依题意，从 8 人中任选 2 人，包括：， ，共 28 种选法，其中满足条件的有 12 种，所以所求概率为.20. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍， 是椭圆 的左顶
12、点，是椭圆 的右焦点，点 都在椭圆 上.（1）若点 在椭圆 上，求的最大值；（2）若 为坐标原点） ，求直线 的斜率.【答案】 （1）5；（2） .【解析】试题分析：（1）根据点 D 在椭圆上及长轴与短轴的关系求出椭圆方程，写出，求其最值即可；（2）写出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程求交点，再根据 ，求 M,N 的坐标，根据向量相等即可求出 ，从而得出直线斜率.试题解析：（1）依题意， ，则 ，将 代入，解得 ，故 ，设 ，则 ，故当 时， 有最大值为 5.（2）由（1）知， ，所以椭圆的方程为 ，即 ，设直线 的方程为 ，由 ，得 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以直线 的方程为 ，由 ，得 ，
13、所以 或 ，得 ，因为 ，所以 ，于是 ，即 ，所以 ，所以直线 的斜率为 .点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用21. 已知函数 .（1）若函数 在 上为减函数，求实数 的取值范围；（2）记函数 ，若 和 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1）
14、；（2） .【解析】试题分析：（1）先分离参数得 ，转化为求函数的最小值；（2）根据题意转化为 即可，利用导数研究其最大值即可解决.试题解析：（1）依题意 ，令 ，故 ，故 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，故 ，经检验，符合题意，（2）依题意 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在上单调递减，对任意 ，有 ，对任意 ，有 ，所以 ，所以，所以 ，所以 ，即 在 上单调递增，所以 ，所以 存在最大值 ，故 ，即实数 的取值范围为 .点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一
15、二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 ，倾斜角为 的直线 过点，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程.（1）求 和 焦点的直角坐标；（2）若直线 与 交于 两点，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）极坐标方程转化为直角坐标方程，联立直角坐标即可求出；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得
16、关于 t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数 t 的几何意义，即可求出.试题解析：（1）曲线 的极坐标方程为 ，化为直角坐标系的方程为 ，联立 ，解得交点的坐标为 .（2）把直线的参数方程 为参数)代入 ，得 ，即 ，易知点 在圆 外，所以 .23. 已知函数 .（1）若 ，解关于 的不等式 ；（2）若 ，使 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ， （2） .试题解析：（1）若 ，则不等式化为 ，若 ，则 ，解得 ，故 ；若 ，则 ，解得 ，故 ；若 ，则 ，解得 ，故无解，综上所述，关于 的不等式 的解集为 ，（2） ，使 等价于 ，因为 ，所以 ，所以 的最小值为 ，所以 ，得 或 所以 的取值范围是 .
