1、上海市杨浦区 2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共 12题，1-6 每题 4分，7-12 每题 5分，共 54分）1. 计算 的结果是_【答案】1【解析】故答案为 12. 已知集合 ， ，若 ，则实数 _【答案】3【解析】 集合 ， ，且故答案为 33. 已知 ，则 _【答案】【解析】故答案为4. 若行列式 ，则 _【答案】6【解析】试题分析：由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可. .考点：行列式的定义.5. 已知一个关于 、 的二元一次方程组的增广矩阵是 ，则 _【答案】6【解析】一个关于 、 的二元一次方程组的增广矩阵是由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表
2、达式故答案为 66. 在 的二项展开式中，常数项的值为_【答案】160【解析】展开式的通项为令 ，得在 的二项展开式中，常数项的值为故答案为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项：可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和为 4的概率是_【答案】1考点：组合问题、概率.8. 数列 的前 项和为 ，若点 （ ）在
3、函数 的反函数的图像上，则_【答案】【解析】解：因为9. 在 中，若 、 、 成等比数列，则角 的最大值为_【答案】【解析】在 中， 、 、 依次成等比数列， ，则由正弦定理可得：根据余弦定理得 ，当且仅当 时取等号 的取值范围为 ，即角 的最大值为故答案为10. 抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为_【答案】【解析】试题分析：因为抛物线 的焦点为 所以 所以双曲线的渐近线方程为 ，其夹角为 .考点：双曲线的渐近线考点：11. 已知函数 ， ，设 ，若函数 为奇函数，则的值为_【答案】【解析】函数 为奇函数 为奇函数，则故答案为12. 已知点 、 是椭圆 上的
4、两个动点，且点 ，若 ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】当直线斜率存在时，设过点 的直线方程为 ，联立方程 ，整理可得 ，则 ，即设 ， ，则 ， ， ，即当直线斜率不存在时，则过点 的直线方程为 ，此时 ， ，或 ，当 ， 时， ；当 ， 时，综上，故答案为点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现 ，可以得出 ，结合韦达定理找到 与 之间的关系，再利用 建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.二. 选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分）13. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象
5、限 D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析： ，对应的点为 ，在第三象限考点：复数运算14. 给出下列函数： ； ； ； .其中图像关于 轴对称的函数的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B故选 B15. “ ”是“函数 在 内存在零点”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】函数 在 内存在零点，则 ，解得 或 .所以“ ”是“函数 在 内存在零点”的充分而不必要条件.故选 A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区
6、间的位置关系；三是，判别式，决定于 x轴的交点个数；四是，区间端点值.16. 设 、 、 、 是半径为 1的球面上的四个不同点，且满足 ， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，则 的最大值是（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】设 ， ， ， ， ， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即 、 、 分别表示 、 、 的面积 ，当且仅当 时取等号 的最大值是故选 B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键三. 解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18=76
7、分）17. 如图所示，用总长为定值 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为 ，垂直于墙的边长为 ，试用解析式将 表示成 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】 （1） ， （2） 时， .【解析】试题分析：（1）由题意设平行于墙的边长为 ，则篱笆总长 ，表示出面积 ，由 0，且 ，可得函数的定义域；（2）对其表达式进行配方，然后求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解试题解析：（1）设平行于墙的边长为 ，则篱笆总长 ，即 ， 场地面积 ， （2） ，当且仅当 时， 综上，当场地垂直于墙的边长 为
8、时，最大面积为18. 如图，已知圆锥的侧面积为 ，底面半径 和 互相垂直，且 ， 是母线 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 与 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出 ，从而求出 ，由此能求出圆锥的体积；（2）取 中点 ，连结 ，由 是 的中点知 ，则 （或其补角）就是异面直线 与 所成角，由此能求出异面直线 与 所成角的大小试题解析：（1）由题意， 得 ， 故 ，从而体积 . （2）如图，取 中点 ，连结 . 由 是 的中点知 ，则 （或其补角）就是异面直线 与 所成角. 由 平面 平面 .在 中，由
9、得 ；在 中， ， ，则 ，异面直线 与 所成角的大小 .19. 已知函数 的定义域为集合 ，集合 ，且 .（1）求实数 的取值范围；（2）求证：函数 是奇函数但不是偶函数.【答案】 （1） ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于 0，可得集合 ，再由集合的包含关系，可得 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得 的定义域，计算 与 比较，即可得到所求结论试题解析：（1）令 ，解得 ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 （2）函数 的定义域 ，定义域关于原点对称 而 ， ，所以 所以函数 是奇函数但不是偶函数.20. 设直线 与抛物线 相交于不同两
10、点 、 ， 为坐标原点.（1）求抛物线 的焦点到准线的距离；（2）若直线 又与圆 相切于点 ，且 为线段 的中点，求直线 的方程；（3）若 ，点 在线段 上，满足 ，求点 的轨迹方程.【答案】 （1）2;（2） ， ;（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线 的方程为 ，分 与 两种情况讨论，分析 的取值，综合可得 可取的值，将 的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线 ，设 、，将直线的方程与抛物线方程联立，结合 ，由根与系数的关系分析可得答案试题解析：（1）抛物线 的方程为抛物线 的焦点到准线的距离为 2 （2）设直线当 时
11、， 和 符合题意;当 时， 、 的坐标满足方程组 ， 的两根为 、 ， ， ，线段 的中点 ， ，得 ，得 （舍去） 综上所述，直线 的方程为： ， （3）设直线 ，、 的坐标满足方程组 ， 的两根为 、， ， ，得 或 时，直线 AB过原点，所以 ； 时，直线 AB过定点 设 ， （ ） ，综上，点 的轨迹方程为点睛：本题主要考查直线与圆相切，求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于 的关系，化简即可求出轨迹方程.21. 若数列 ： ， ， ， （ ）中
12、 （ ）且对任意的 ，恒成立，则称数列 为“ 数列”.（1）若数列 1， ， ，7 为“ 数列” ，写出所有可能的 、 ；（2）若“ 数列” ： ， ， ， 中， ， ，求 的最大值；（3）设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ： ， ， ， ，记，其中 表示 ， ， ， 这 s个数中最大的数，求 的最小值.【答案】 （1） ， 或 ；（2） 的最大值为 ；(3) 【解析】试题分析：（）直接根据“ 数列”的定义，讨论列举法即可求出 ， ；（）可得 ，解得： ，故，另外，任意的 ， ，故数列 为“ 数列” ，此时，即 符合题意；（）利用放缩法，即可得结论.试题解析：（） ， 或 （） 的最大值为 ，理由如下 一方面，注意到：对任意的 ，令 ，则 且 （ ） ，故对任意的 恒成立 当 ， 时，注意到 ，得（ ）此时即 ，解得： ，故 另一方面，取（ ） ，则对任意的 ， ，故数列 为“ 数列” ，此时，即 符合题意 综上， 的最大值为 65 （） 的最小值为 ，证明如下： 当 （ ， ）时，一方面：由（）式， ，此时有：故 另一方面，当 ， ， ， ， ，时，取 ，则 ， ， ，且此时 综上， 的最小值为
