1、南阳一中 2015 级高三第八次考试文数试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A.2. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .故选 C.3. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( )A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】B【解析】由题，等差数列 中， 则 故选 B.4. 抛物线 的焦点到准线的距离是( )A. B. 1 C. D. 【答案】D【解析】 ， ，所以抛物线的焦点到其准线的
2、距离是 ，故选 D.5. 设集合 ，函数 ，在 中任取一个元素，则函数一定有意义的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 的定义域为 ，故 一定有意义的概率为 ，选 D.6. 函数 的大致图象是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，则函数在 上单调递增，在 和 上单调递减，且 故选 C7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形， 是直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即 平面所以几何体的体积为： 故选 A
3、【点睛】本题考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键8. 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在下列区间中使 是减函数的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 f（x）=sinx cosx（0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，函数 f（x）=sin4x cos4x=2sin（4x ） ；若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象令 2k+ 4x+ 2k+ ，可得 kZ，当 k=0 时，故函数 g（x）的减区间为 。故答
4、案为 B 。9. 下图是求样本 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本 平均数 ，由于“输出 ”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，故应为 .故选 D.10. 若函数 满足 且 的最小值为 4，则实数 的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C【解析】 由约束条件作出可行域（如图） ，当目标函数 经过可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得 故选 C.11. 过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，与抛物线准线交于 点，若 是的中点，则 ( )A. 8 B. 9 C.
5、10 D. 12【答案】B【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，且设，直线 的倾斜角为 。则 。所以 ，。由抛物线焦点弦长公式 可得 。选 B。或：由 得 ，得直线方程与抛物线联立进而可解得 ，于是 。故选 B点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 函数 有三个不同的零点等
6、价于方程 有三个不同的实根，当 时， 设 ，则 为减函数， 当 时， 设 ，则 当时 当 时， 故 在 上单调递增，在 上单调递减； 分别画出 与 的图像如图所示，由题意得，故选 A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为 _.【答案】6【解析】试题分析： ， ，即 ， ，当且仅当 时取等号， 的最小值为 6.考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.14. 在 中，能使 成立的 的取值集合是_.【答案】【解析】在ABC 中，A（0，） ，sinA 成立的充分必要条件是 答案为： .15. 给出下列四个命题：“若 为 的极值点，则
7、”的逆命题为真命题；“平面向量 ， 的夹角是钝角”的充分不必要条件是 ；若命题 ，则 ；函数 在点 处的切线方程为 .其中真命题的序号是_.【答案】【解析】“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为：若 ，则 为的极值点；这是个假命题，因为导函数的变号零点才是极值点；故原命题为假；“平面向量 ， 的夹角是钝角”的必要不充分条件是 ；故原命题为假；若命题，则 或者 ；故原命题为假；函数 在点 处的切线方程为 ， ， .故.是正确的。故答案为：。16. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若， ，给定四个命题 ； ； ； .则上述四个命题中真命题的序号为_.【答案】【解析】构造函数 为奇函数，且单调递增，依
8、题意有又 ，故数列 为等差数列，且公差 故故错误；故正确；由题意知若 ，则 而此时， 不成立，故错误； .，故成立.即答案为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数 .(1)求 的对称轴方程；(2)已知 中，角 的对边分别是 ，若 ， ，求 的最小值.【答案】(1) .(2)1【解析】试题分析：（1）先由二倍角公式得到函数表达式为 ，再由函数图像得到对称轴；（2）由 ，可得 ，进而得到角 A，再由余弦定理得到根据表达式得到最终结果。解析：(1) ，由 得 的对称轴方程为 .(2)由 ，可得 .由 ，可得 .在 中，由余弦定理，得
9、 ，由 知 ，当 时 取最大值，此时 取最小值 118. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，第八组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差小于 10 分的概率.【答案】(1)见解析；
10、(2)97(分).(3) .【解析】试题分析：（1）根据所有频率之和等于 1 求出第七组的频率，然后绘图即可；（2）利用平均数计算公式计算即可；（3）一一列举所有满足从中任取 2 人的所有基本事件，找到分差小于 10 分的基本事件，利用概率公式计算即可试题解析：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f71(0.0040.0120.0160.030.020.0060.004)100.08.直方图如图(2)估计该校的 2 000 名学生这次考试的平均成绩为：650.04750.12850.16950.31050.21 150.061250.081350.0497(分).(3)第六组有学生 3 人，分
11、别记作 A1，A 2，A 3，第一组有学生 2 人，分别记作 B1，B 2，则从中任取 2 人的所有基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，共 10 个分差大于 10 分表示所选 2 人来自不同组，其基本事件有 6 个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，所以从中任意抽取 2 人，分差小于 10 分的概率 P 。19. 如图，在四棱椎 中， ，
12、平面 ， 平面 ， ， .(1)求证：平面 平面 ；(2)在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 见解析；(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）先得到线面垂直， 平面 ，又因为 平面 ，进而得到面面垂直；（2）在线段 上存在一点 ，且 ，使 平面 ，接下来构造平行四边形证明线面平行即可。解析：(1)证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 .(2)结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 平面 .解：设 为线段 上一点，且 ，过点 作 交 于 ，则 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .又因为
13、，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 .又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .20. 已知椭圆 ， ， 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上任意一点，且 ， 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为 3.(1)求椭圆 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且，求出该圆的方程.【答案】(1) .(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）由题知 得到 ，进而得到离心率，再根据三个参数的关系得到最终结果；（2）先由圆的切线的性质得到 ，再由垂直关系得到 ，联立直线和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到 进而证得结果。解析：(1)由题知 ，即 ，得 又由 ，得
14、，且 ，综合解得 .椭圆 的方程为 .(2)假设以原点为圆心， 为半径的圆满足条件.(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为 ，则 ， 由 消去 ，整理得 ，设 ， ，有，又 ， ，即 ，化简得 .由求得 ，所求圆的方程为 .(ii)若 的斜率不存在，设 ，则 ， ， ，有 ， ，代入 ，得 ，此时仍有 .综上，总存在以原点为圆心的圆 满足题设条件.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦
15、中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得极值.(1)当 时，求 的极大值点和极小值点；(2)若 在 上的最大值为 1，求 的值.【答案】(1) 的极大值点为 ，极小值点为 1.(2) 或 【解析】试题分析：（1）对函数求导得到导函数，根据导函数的零点和导函数的正负得到函数的极值；（2）分 ， ， 三种请况分析函数的单调性和最值，分别求出参数值，和前者情况取交集即可。解析：(1)因为 ，所以 .因为函数 在 处取得极值，当 时， ， ， 随 的变化情况如下表：1+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以 的单调递增区间为
16、 和 ，单调递减区间为 .所以 的极大值点为 ，极小值点为 1.(2)因为 .令 得 ， ，因为 在 处取得极值，所以 ，(i)当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在区间 上的最大值为 ，令 ，解得 .(ii)当 时， ，当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，所以最大值 1 可能在 或 处取得，而 ，所以 ，解得 ；当 时， 在区间 上单调递增， 上单调递增， 上单调递增，所以最大值 1 可能在 或 处取得，而 ，所以，解得 ，与 矛盾；当 时， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，所以最大值 1 可能在 处取得，而 ，矛盾，综上所述， 或 .点睛：本题考查了导数的
17、综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。22. 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ( 为参数)， .(1)求曲线 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？(2)设曲线 与曲线 的交点为 ， ，当 时，求 的值.【答案】(1) 见解析；(2) .【解析】 【试题分析】 （1）运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解；（2）依据题设借助直线参数方程的几何意义分析求解：(1) 由 得 ，该曲线为椭圆.（2）将 代入 得 ，由直线参数方程的几何意义，设 ， ， ， ，所以 ，从而 ，由于 ，所以 .23. 已知函数 的最小值为 .(1)求 的值；(2)设实数 满足 ，证明： .【答案】(1) .(2) 见解析.【解析】试题分析： 写出分段函数，求得 在 上单调递增，在 上单调递减，即可求出 的值； 计算 ，利用基本不等式即可得出结论。解析：（1） 在 上单调递增，在 上单调递减， 的最小值为 （2）由（1）知， ，
