1、洛南中学 2018 届高三第八次模拟考试文科数学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合 B，再根据交集定义求结果.【详解】 ;因此 ，选 C.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数
2、轴、坐标系和 Venn 图2. 在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析： ，选 A.考点：复数的运算.3. 将函数 的图像上所有的点向左平移 个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：函数 ， 的图象上所有点向左平移 个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得 ，选 B.考点：三角函数图像变换4. 若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【
3、答案】C【解析】【分析】根据两个球的表面积之比为对应半径平方比得半径之比，再根据两个球的体积之比为对应半径立方比得体积之比.【详解】因为两个球的表面积之比为 ，所以两个球的半径之比为 ，因此体积之比为 1:23=1:8，选 C.【点睛】两个球的表面积之比为对应半径平方比, 两个球的体积之比为对应半径立方比5. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为（ ）A. 4 B. 2 C. -2 D. -4【答案】A【解析】因为抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点 重合，所以， ，故选 .6. 直线 被圆 截得的弦长为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 4【答案】D【解析】将 化为 ，所以该圆
4、的圆心 到直线 的距离为 ，则直线 被圆 截得的弦长为 ；故选 D.7. 某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是 ，则主视图主视图左视图中 的值是（ ）A. 2 B. C. D. 3【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，体积为 .8. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率，如下图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 值为（ ）参考数据： ， ， .A. 12 B. 24 C. 48 D. 96【答案】B【
5、解析】试题分析：由程序框图， 值依次为： ； ； ，此时满足 ，输出 ，故选 B.考点：程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环结构的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.9. 函数 的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】 ,当且仅当 时取等号，因此切线斜率的最小值是 2，选 D.【点睛
6、】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】考点：古典概型及其概率计算公式分析：从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计
7、算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可解：从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为 3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 =故选 D视频11. 函数 且 过定点 ，且角 的终边过点 ，则 的值为（ ）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】因为函数 过定点 ，所以且角 的终边过点 ，可得，所以 ，故选 .12. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，其中 ，若方程 恰有 3 个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据 得周期为
8、4，再画出 图像，结合图像确定与直线 恰有 3 个不同的位置，进而得的取值范围.【详解】因为 ，所以 ，所以 周期为 4，因为当 时， ，作示意图如下，根据图像得要使方程恰有 3 个不同的实数根，需 ，选 B.【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题(本大题共 4 个小题，每小題 5 分，共 20 分。将答案填写在答题卡的相应位置)13. 已知 ，那么向量与向量
9、的关系是_【答案】 ，或 .【解析】【分析】对模平方化简即得结果.【详解】因为 ，所以 ，即得 ， .【点睛】本题考查向量模以及向量垂直,考查基本化简能力.14. 若不等式组 所表示的平面区域为 ，若直线 与 有公共点，则的取值范围_【答案】 .【解析】画出不等式组 所表示的平面区域为 ，如图. 直线 过定点 ，由图知，若直线 与 有共同点，则直线斜率满足 ，因为，所以，则的取值范围是 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优
10、解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 有一个游戏将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有 3 的卡片;乙说:甲或丙拿到标有 2 的卡片;丙说:标有 1 的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有 3 的卡片。结果显示:这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为_、_、_、_.【答案】 (1). 4. (2). 2. (3). 1. (4). 3.【解析】【分析】根据条件得甲乙
11、丙不拿 3，所以丁拿 3，因此甲拿 4，丙拿到 1，乙拿 2.【详解】因为 4 人的预测都不正确，所以甲乙丙不拿 3，所以丁拿 3，而甲不拿 1,2,3，因此甲拿 4，又因为丙不拿 2，所以丙拿到 1，乙拿 2.【点睛】本题考查逻辑推理，考查基本分析能力.16. 已知 的顶点 和顶点 ，顶点 在椭圆 上，则_【答案】3.【解析】根据椭圆的定义可知 ，由正弦定理得.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知数列 中， ，且 成等比数列，(I)求数列 的通项公式；()若数列 满足 ，数列 的前项和为 求 .【答案】(1) .(2)见解析.【
12、解析】【分析】（1）根据 成等比数列，得 ，根据等差数列定义得数列 为等差数列，再根据等差数列通项公式求首项与公差，即得结果， （2）分组求和，先求等差数列 前 21 项和，再重新分组求 前 21 项和，最后相加得结果.【详解】(I) 成等比数列 ，成等差数列，由 ，得 ，.() ；，.【点睛】本题采用分组转化法求和. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如）及符号型（如 ） ，周期型 （如 ）.18. 根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定:居民区 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米， 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 20
13、天 的 24 小时平均浓度的监测数据数据统计如下:(I)从样本中 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中，随机抽取 2 天求恰好有一天 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率；()求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.【答案】 （1） .（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用列举法求古典概型的概率；（2）计算出去年该居民区 年平均浓度 ,故该居民区的环境需要改进试题解析：（1）设 的 小时平均浓度在 内的三天记为 ， ， ， 的24 小时平均浓度在 内的两天记为 ， 所以 5 天任取 2 天
14、的情况有：， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种其中符合条件的有： ， ， ， ， ， 共 6 种所以所求的概率 （2）去年该居民区 年平均浓度为：（微克/立方米） 因为 ，所以去年该居民区 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进考点：1.古典概型的计算；2.样本平均数的计算公式.19. 如图:在直角梯形 中， ， ， ， ， 于 点，把 沿 折到 的位置，使 ，如图:若 ， 分别为的中点.(I)求证: ；()求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析.（2） .【解析】试题分析：（）由勾股定理可得 又知 ，进而得 ，从而面 ， ，再由线面垂直的判定定理可及性质得
15、， ；（）由（1）得.试题解析：（） 在 中 ， ， ， .， .，.又 在平面 内， 分别为 ， 的中点，连接.（）由（1）得.20. 如图已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的左顶点 为圆心作圆，设圆 与椭圆 交于点 .(I)求椭圆 的方程()求 的最小值，并求此时圆 的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）根据圆心坐标得 ，再根据离心率得 c，即得 b,（2）根据对称性设 ，代入化简 得 ，利用椭圆方程化简得 .最后根据二次函数性质求最值，并确定圆 的方程.【详解】(I)根据题意可得 ，所以 ，故椭圆 的方程为 .()因为点 与点 关于 轴对称，所以设 ，不妨设 .由于点 在
16、椭圆 上，所以由 ，得 ， ，所以 .由于 ，故当 时， 取得最小值为 .此时 ，故 ，又因为点 在圆 上，代入圆的方程可得 .故圆的方程为 .【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 已知 ， 且函数 与 在 处的切线平行.(I)求函数 在 处的切线方程；()当 时， 恒成立，求实数的取值范围 .【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，解得 ，最后利用点斜式
17、求切线方程，（2）先化简不等式为 恒成立，再利用导数研究 单调性，并确定最小值，即得实数的取值范围.【详解】(I) ，因为函数 与 在 处的切线平行所以 解得所以所以函数 在 处的切线方程为 .（)解当 时，由 恒成立得时， 即 恒成立设 ，则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以 ，所以的取值范围为 .【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研
18、究，就不要使用分离参数法.请考生在 22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，它在点 处的切线为直线.(I)求直线的直角坐标方程；()已知点 为椭圆 上一点，求点 到直线的距离的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）对曲线 的极坐标方程两边乘以 化为直角坐标方程.利用导数可求得曲线在 处的切线方程.（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线距离公式和三角恒等变换的
19、知识，可求得 到直线距离的取值范围.试题解析：选修 4-4：坐标系与参数方程解：（）曲线 的极坐标方程为 ， ，曲线 的直角坐标方程为 ，又 的直角坐标为（2,2） ， ， .曲线 在点（2,2）处的切线方程为 ，即直线的直角坐标方程为 .（） 为椭圆 上一点，设 ，则 到直线的距离 ，当 时， 有最小值 0.当 时， 有最大值 . 到直线的距离的取值范围为0, .23. 选修 4-5:不等式选讲已知函数 .(I)解不等式 ；()若对于 ，有 ， ，求证 .【答案】(1) .(2)见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式等价于 ，利用零点分段法去掉绝对值，分别求解出各段区间上不等式的解析.（2）将函数 变形为 ，利用绝对值不等式有 .试题解析：选修 4-5：不等式选讲解：（1） ， .即 或 或 ，解得 或 或 .故不等式解集为 .（2） ，.
