1、山东省威海市 2018 届高三下学期第二次模拟考试试卷文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集 ， ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析: 根据题意和集合的基本运算可知 1 B，3A，3 B，从而得解.详解: 因为全集 U=1，2，3，4，5， ， ，则 1 B，3A，3 B，则 B=2，4，5.故答案为：B点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限
2、集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图分析比较好.2. 若复数 （是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简复数 z，再根据 z 在复平面内对应的点在第一象限得到 a 的不等式，解不等式即得 a 的取值范围.详解：由题得 ，因为 z 在复平面内对应的点在第一象限，所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对复数基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数 和点（a,b）是一一对应的关系.3. 对任意非零实数 ，若 的运算原理
3、如图所示，则 的值为（ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D【解析】分析：先化简 ，再运行程序得解.详解： =因为 4（-2） ，所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2) 对数恒等式： ( ,且 , ), , .4. 已知命题 ： “ ”，命题 ：“ ”，则下列为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:先判断命题 p 和 q 的真假，再判断选项的真假 .详解：对于命题 p,当 a=0,b=-1 时，0-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|0 时， 函数在 单调递减，因为函数是奇函数，所以函
4、数在 单调递减，因为 ，所以 f(2x+3)-1,所以 x-2.故答案为：A点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答抽象函数不等式，一般先化成的形式，再利用函数的单调性化成具体的函数不等式解答.11. 设 均为小于 1 的正数，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先设 =m,再求出 ，再作商比较它们的大小关系.详解：设 =m,因为 均为小于 1 的正数，所以 m0，所以所以所以 ，同理 ，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这
5、些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是看到要想到设 =m，再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较大小.12. 在数列 中， ，一个 7 行 8 列的数表中，第行第列的元素为 ，则该数表中所有不相等元素之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj=（2i1）（2j1）+2i1+2j1=2i+j1（i=1，2，7；j=1，2，8） ，根据等比数列的求和公式即可求出详解：该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj=（2i1）（2j1）+2
6、i1+2j1=2i+j1 （i=1，2，7；j=1，2，8），其数据如下表所示：i，j 1 2 3 4 5 6 7 81 221 231 241 251 261 2712 231 241 251 261 271 2813 241 251 261 271 281 2914 251 261 271 281 291 21015 261 271 281 291 2101 21116 271 281 291 2101 21117 281 291 2101 2111由表可知，该数表中所有不相等元素之和为 221+231+ += -14=故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知
7、识的掌握能力. (2) 解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等元素的和”.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在 中，在 边上任取一点 ，满足 的概率为_.【答案】 . 【解析】分析：利用几何概型求 的概率.详解：设点 M 在 BC 上，且 BM:MC=3：5，此时 .当点 P 在线段 MC 上时，满足 ，所以所求的概率为 .故答案为：点睛：（1）本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个
8、变量有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等） ，最后代公式 ；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.14. 在平行四边形 中， 分别为边 的中点，若 （ ） ，则_.【答案】2.【解析】分析：先利用平面向量基本定理把 表示出来，再由已知得到 x,y 的方程组，解方程组即得 x,y 的值.详解：由题得因为 ，所以解之得故答案为：2点睛：（1）本题主要考查平面向量的加法法则、平面向量基本定理等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能
9、力. (2)基底法是平面向量的高频考点，即用两个不共线的向量作为基底表示其它向量，本题用就是选择 为基底，表示 ,使问题迎刃而解.15. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为_.【答案】4.【解析】分析：由题意作出其平面区域，当 x，y 都取到最大值时 z 有最大值，代入即可详解：由题意作出其平面区域，由 解得 A（1，2） ，因为 z=2x+y,所以 y=-2x+z,所以直线的纵截距为 z,所以直线的纵截距最大时，z 最大.当直线 y=-2x+z 经过可行域 A 时，纵截距取得最大值，此时 z 最大.此时 x=1，y=2时，z=2x+y 有最大值 21+2=4，故答案为：4点睛：（1）本题主要
10、考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握能力和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z 最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为 -z,所以纵截距-z 最小时，z 最大.16. 已知正三棱柱 ，侧面 的面积为 ，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为_.【答案】 .【解析】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.详解：设 BC=a, ,则 ab= .底面三角形外接圆的半径为 r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为：点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握
11、能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法 :模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径 就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心 和截面圆的圆心 ，找到 、球的半径 、截面圆的半径 确定的 ,再解求出球的半径 .三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在 中，边 上一点 满足 ， .（1）若 ，求边 的长；（2）若 ，求 .【答案】(1) .(2) .【解
12、析】分析：(1)先求出 ，再利用余弦定理求边 的长.(2) 在 中，利用正弦定理得到 ，再化简求 sinB 的值.详解：（1） ，在 中， ， ，中， ，由余弦定理可得，所以（2）在 中，由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ， ，化简得 ， ， .点睛：（1）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解三角形一般要知道三个元素，且至少一个为边长，对于缺少的元素放到其它三角形中去解答.18. 某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制右图所示频率分
13、布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求 的值；（2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于 300 元的男性有20 人，低于 300 元的男性有 25 人，根据统计数据完成下列 列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额 与年龄 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程 .已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁，试判断一名年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】(1) .(2)列联表见解析，有 的把握认为消费金额与性别有关.(3) .【解析】分
14、析：（1）根据已知列关于 m,n 的方程组解之即得.(2)先完成 22 列联表，再计算 的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求 b 的值.详解：（1）由频率分布直方图可知， ，由中间三组的人数成等差数列可知 ，可解得（2）周平均消费不低于 300 元的频率为 ，因此 100 人中，周平均消费不低于 300 元的人数为 人.所以 列联表为男性 女性 合计消费金额30020 40 60消费金额30025 15 40合计 45 55 100所以有 的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意 ，.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查
15、学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中 代表第 个矩形的横边的中点对应的数， 代表第 个矩形的面积.19. 多面体 中， ， ， 是边长为 2 的等边三角形，四边形是菱形， ， 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 .【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明平面 平面 ，再证明 平面 .（2）先证明 平面，再证明平面 平面 .详解：（1）证明：取 的中点 ，连接因为 分别是 的中点，所以在菱形 中， ，在 中，又 ，所以 ，所以平面 平面 ，平面 ，所以 平面 .（2）证明：连结 ，是边长为 2
16、 的等边三角形，所以 ， ，四边形 是菱形， ， ， ， ， ，又 ，所以 平面平面 ，所以平面 平面 .点睛：（1）本题主要考查空间平行和垂直关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力. (2)证明空间的平行或垂直关系一般用几何方法和向量方法，本题用的是几何方法.20. 已知抛物线 ： 的焦点 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为，且 .（1）求 的值；（2）已知点 为 上一点， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1) .(2) 直线 方程为 ，恒过点 . 【解析】【详解】分析：（1）设
17、，直接利用抛物线的定义得到 ，将点 代入抛物线方程，解得 .（2）先求直线 方程为 ，再求直线经过的定点.详解：（1）设 ，由抛物线定义，又 ，即 ，解得将点 代入抛物线方程，解得 .（2）由（1）知 的方程为 ，所以点 坐标为 ，设直线 的方程为 ，点由 得 ，所以 ，所以，解得所以直线 方程为 ，恒过点 . 点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. (2)解答本题的关键是求出直线 方程为 ，这里需要利用韦达定理.21. 已知函数 ， 为 的导函数.（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 在 上存在最大值 0，求函数 在 上的最
18、大值；（3）求证：当 时， .【答案】(1) 当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(2) 在 处取得最大值 .(3)见解析.【解析】分析：（1）对 a 分类讨论，求函数 的单调区间.(2)根据函数 在 上存在最大值 0 转化得到 a=1,再求函数 在 上的最大值.(3)转化成证明 ，再转化成证明 ，再转化成证明 .详解：（1）由题意可知， ，则 ，当 时， ， 在 上单调递增；当 时，解得 时， ， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）由（
19、1）可知， 且 在 处取得最大值，即 ，观察可得当 时，方程成立令 ，当 时， ，当 时， 在 上单调递减，在 单调递增， ，当且仅当 时， ，所以 ，由题意可知 ， 在 上单调递减，所以 在 处取得最大值（3）由（2）可知，若 ，当 时， ，即 ， ， ，令 ， ，当 时， ；当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，即 ，所以 ，所以当 时， .点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和转化分析推理能力. (2)解答本题的关键是转化，先转化成证明 ，再转化成证明 ，再转化成证明 .请考生在 22、23 二题中任选一
20、题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）若直线与 相切，求的直角坐标方程；（2）若 ，设与 的交点为 ，求 的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先根据直线与 C 相切得到 k 的值，再写出直线的直角坐标方程.(2)先求 AB 的长，再求点 C 到直线 AB 的距离，最后求 的面积.详解：（1）由 可得 的直角坐标方程为，即 ，消去参数，可得 ，设 ，则直线的方程为 ，由题意，圆心 到直线的距离 ，解得 ，所以直
21、线的直角坐标方程为 .（2）因为 ，所以直线方程为 ，原点到直线的距离 ,联立 解得 或 ,所以 ，所以 .点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。(2)解答坐标系和参数方程的题目，可以选择极坐标解答，也可以选择参数方程解答，也可以选择直角坐标解答，要看具体的情况，具体分析.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式 ；（2）记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求 的最小值.【答案】(1) 或 .(2) .【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解绝对值不等式.(2)先求 m 的值，再利用柯西不等式求的最小值.详解：（1）所以 等价于 或 或解得 或 ，所以不等式的解集为 或（2）由（1）可知，当 时， 取得最小值 ，所以 ，即由柯西不等式 ，整理得 ，当且仅当 时，即 时等号成立，所以 的最小值为 .点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论的思想.(2)柯西不等式： ，在求最值时经常用到，要理解掌握并灵活运用.
