1、上海市浦东新区 2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共 12题，1-6 每题 4分，7-12 每题 5分，共 54分）1. 集合 ， ，则 _【答案】【解析】 ， ，点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 不等式 的解集为_【答案】【解析】由 ，得： ，即解得：不等式 的解集为 .3. 已知函数 的反函数是 ，则 _【答案】3【解析】设 ，则即故答案为：34. 已知向量 ， ，则向量 在向量
2、 的方向上的投影为_【答案】-1【解析】向量 ， ， ， ，向量 在向量 的方向上的投影为故答案为：-15. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 _【答案】【解析】故答案为：点睛：复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看作一类同类项，不含 的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式6. 在 的二项展开式中， 的系数是_【答案】80【解析】由题意得： ，当 时， 的系数是 80故答案为：807. 某企业生产的 12个产品中有 10个一等品，2 个二等品，现从中抽取 4个产品，其中恰好有 1个二等品
3、的概率为_【答案】【解析】一工厂生产的 10个产品中有 9个一等品，1 个二等品，现从这批产品中抽取 4个，基本事件总数 n= =495，其中恰好有一个二等品的基本事件个数 m= ，其中恰好有一个二等品的概率 p= = 故答案为：8. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数 是定义在 上的偶函数，又 在 上是增函数，即 ，故答案为：9. 已知等比数列 前 项和为 ，则使得 的 的最小值为_【答案】10【解析】由题意知：即使得 的 的最小值为 10故答案为：1010. 圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则此圆锥的表
4、面积为_【答案】【解析】因为|OA|=3，所以底面圆周长为 6， 所以底面圆的面积为 9， 所以弧 AB长为 6， 又因为 ，则有 ，所以 SA=9 扇形 ASB的面积为 ，所以圆锥的表面积=9+27=36故答案为：36.【答案】【解析】由题意可知：又对任意的实数 ，都有 成立， 为 的最小值， 为 的最大值 ， ， ， 的最小值为12. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 、 是双曲线 上的两个动点，动点 满足，直线 与直线 斜率之积为 2，已知平面内存在两定点 、 ，使得为定值，则该定值为_【答案】【解析】设 P（x，y） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则由 ，得（x，
5、y）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2） ，即 x=2x1-x2，y=2y 1-y2，点 M，N 在双曲线 上，所以 ， ，故 2x2-y2=（8x 12+2x22-8x1x2）-（4y 12+y22-4y1y2）=20-4（2x 1x2-y1y2） ，设 k0M，k ON分别为直线 OM，ON 的斜率，根据题意可知 k0MkON=2，y 1y2-2 x1x2=0，2x 2-y2=20，所以 P在双曲线 2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为 F1，F 2，由双曲线的定义可推断出 为定值，该定值为 点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质充分考查了用代数的方法来处理平面几何
6、问题的手段二. 选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分）13. 若实数 ，则命题甲 “ ”是命题乙“ ”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要 D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】当 时，满足命题甲，但推不出命题乙，充分性不具备，当 时，显然能推出命题甲“ ”，必要性具备，故答案为：必要非充分条件14. 已知 中， ， ，点 是 边上的动点，点 是 边上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系， 设 ， ， ，故选；B15. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数
7、， 、 为常数） ，若该食品在 0的保鲜时间是 192小时，在22的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）小时A. 22 B. 23 C. 24 D. 33【答案】C【解析】由题意可得： ，解得：该食品在 33的保鲜时间是 24小时故选：C16. 关于 的方程 恰有 3个实数根 、 、 ，则 （ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】设 ，易知： 为偶函数，若方程 恰有3个实数根 、 、 ，其中一根必为 0，另外两根互为相反数，即 ，由图易得：另外两根为 ，故选：B点睛：本题考查的是函数零点的个数问题.函数零点问题的处理一般有以下几种方法：1、通过解方程得到函数
8、的零点，得到零点个数；2、利用二分法判断函数的零点，3、利用函数与方程思想，通过分离化原函数为两个函数，转化为利用两个函数图象的交点个数来判断函数的零点个数.三. 解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在长方体 中， ， ， .（1）求异面直线 与 所成的角；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 是异面直线 与 所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥 的体积.试题解析：（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角.在等腰 中，易得 .即：异面直线 与 所成的角 .（2） .点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的
9、截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值18. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且 .（1）求 ；（2）若 ，且 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析
10、】试题分析：（1）由 ，易得： ，利用正弦定理把条件统一到角上，从而易得 的值；（2）由余弦定理及 ，易得： ，再结合，得到 的值.试题解析：（1）由 ， ，由正弦定理得： ， ； 由 ， ， ；（2）由 ， ， ， ； 由 知， ， ，点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.求结果.19. 已知等差数列 的公差为 2，其前 项和 （ ， ）.（1）求 的值及
11、 的通项公式；（2）在等比数列 中， ， ，令 （ ） ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 求得 的值及 的通项公式；（2）由题意可得：，分奇偶项讨论，分组求和即可.试题解析：（1）， （2） ， ， ，当 时，当 时， 是偶数，20. 已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，设点 ，在 中，周长为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的不同取值范围，讨论 存在的个数
12、，并说明理由.【答案】 （1） ；（2）过定点 ；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意布列关于 的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线 方程：，联立方程可得： ，利用根与系数的关系及，得到 过定点 .（3）设直线 与椭圆相切， ，两切线到 的距离分别为 ，根据面积 的不同取值范围，讨论 存在的个数.试题解析：（1）由 得： ，所以 又 周长为 ，所以 解方程组，得所以椭圆方程为 （2）设直线 方程： ，交点依题： 即： 过定点 .（3） ， 设直线 与椭圆 相切，得两切线到 的距离分别为当 时， 个数为 0个当 时， 个数为 1个当 时， 个数为 2个当 时， 个数为 3个当 时，
13、 个数为 4个点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，即 ，若 ，则称在 上封闭.（1）分别判断函数 ， 在 上是否封闭，说明理由；（2）函数 的定义域为 ，且存在反函数 ，若函数 在 上封闭，且函数 在 上也封闭，求实数 的取值范围；（3）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，若 ，有 恒成立，则称 在 上是单射，
14、已知函数 在 上封闭且单射，并且满足 ，其中 （ ） ，证明：存在 的真子集， ，使得 在所有（ ）上封闭.【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)根据 在 上封闭的定义，分别求出函数 ，在 上的值域，即可判断是否封闭；（2）函数 在 D上封闭，则 .函数在 上封闭，则 ，得到： .从而问题转化为： 在两不等实根 （3）分两种情况： 和 ，第一种情况显然不成立，第二种情况，因为 是单射，因此取一个 ，则 是唯一的使得 的根，换句话说考虑到 ，即 ，因为 是单射，则这样就有了 .接着令 ，并重复上述论证证明 试题解析：（1）因为函数 的定义域为 ，值域为 ， （取一个具体例子也可） ，所以 在 上不封闭. 在 上封闭（2）函数 在 D上封闭，则 .函数 在 上封闭，则 ，得到： .在 单调递增.则 在 两不等实根，故 ，解得 另解： 在 两不等实根令在 有两个不等根，画图，由数形结合可知，解得 （3）如果 ，则 ，与题干 矛盾.因此 ，取 ，则 .接下来证明 ，因为 是单射，因此取一个 ，则 是唯一的使得 的根，换句话说考虑到 ，即 ，因为 是单射，则这样就有了 .接着令 ，并重复上述论证证明
