1、解析几何专题一、选择填空题1、 “ 3a”是“ 直线 02ayx和直线 07)1(3ayx平行”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2、已知双曲线的渐近线为 ，焦点坐标为（-4 ， 0） ， （4，0） ，则双曲线方程为（ ）A 2184xyB 214xy C 218xyD 214xy3、直线 xy10 被圆(x 1)2y 23 截得的弦长等于（ ） A. B. 2 C.2 D. 44、圆心在曲线 30 上，且与直线 30xy相切的面积最小的圆的方程为（ ）A 229xyB 221635xC 22185yD 2239xy5.已知方程 21()3kR
2、k表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 （ ）A 或 B 3C 1 D 3k6设 12F、 分别是椭圆2:(0)yExb的左、右焦点，过 1F的直线 与 E相交于 AB、 两点，且22,，成等差数列，则 A的长为（ ）A 32 B1 C 34 D 57、已知 1(,0)(,的椭圆21xyab的两个焦点，若椭圆上一点 P满足 12F，则椭圆的离心率 e 8、设椭圆2(0)xyab+=的左、右焦点分别为 1F、 2， A是椭圆上的一点， ,原点 O到12A直线 1AF的距离为 1O，则椭圆的离心率为（ ）A、 3 B、 1- C、 D、2-9.点 A 是抛物线 C1：y 2=2px(p
3、0)与双曲线 C2： 12byax(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于（ ） A. B . 3 C. 5 D. 610、过双曲线21(0,)xyab的左焦点 (,0)Fc，作圆224axy的切线，切点为 E，延长FE 交曲线右支于点 P，若 2OEP，则双曲线的离心率为（ ）A 10B 105C 102D 211、曲线： ),(|baxy与 y轴的交点关于原点的对称点称为“望点” ，以“望点”为圆心，凡2是与曲线 C 有公共点的圆，皆称之为“望圆” ，则当 a=1，b=1 时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 解
4、析几何解答题的基本步骤解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” ）三、则联立方程组,消元得到关键方程；（提醒:一定要考虑二次项系数与0）四、则韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0
5、” （提醒：需讨论 K 是否存在）OAB12K0OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” 0；12“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ 或 ） ；120K12K“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；AQB（如：A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等） ；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择） ；六、则化简与计算；七、则细节问题不忽略； 判别式是否已经考虑； 抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.
6、二、解答题：考点一、曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法） ；（2）双动点的轨迹问题代入法；3（3）多动点的轨迹问题参数法 + 交轨法。例 1、设 )0(1),(),( 221 baxyxByA是 椭 圆 上的两点，满足 0),(),(21aybx，椭圆的离心率 ,2e短轴长为 2，0 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过 3
7、2e， b，及 ,ac之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。答案：（1）232.1, 2.3cabbeae椭圆的方程为 42xy （2）设 AB 的方程为 3k由 41,432012)4(143 2122 kxkxkxxyk由已知 43)(43)1()3)(40 2121212121 xkxkkxxaybkk解 得,3)4(2222 （3）当 A 为顶点时，B 必为顶点. SAOB =1 当 A， B 不为顶点时，设 AB 的方程为 y=kx+b 42042)4(14 1222 k
8、bxbkxkxybk 得 到21k :04)(04212121 代 入 整 理 得bkxxyxkb 416|4)(|21|21 22121 kbxxbxbS41|24bk所以三角形的面积为定值.点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。练习 1、如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 OD AB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；(II)过点 B 的
9、直线 与曲线 C 交于 M、N.两点，与 OD 所在直线交于 E 点，l， 证明： 为定值.EM1NB221【解析】 （）以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点 Q 在曲线 C 上,| PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 521| AB|=4 3 分曲线 C 是为以原点为中心， A、 B 为焦点的椭圆设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5, a=5,c=2,b=1 4 分曲线 C 的方程为 52x+y2=15 分【法 1】 （）：设 ,MNE点的坐标分别为
10、120(,)(,)(,)MNxyE，易知 B点的坐标为 (20)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交 1E， 1011,(2,)xyxy 11x， 10y 7 分 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： (52101，去分母整理，得 10202y 9 分同理，由 2ENB可得： 0222y 10 分 1， 是方程 50yx的两个根 11 分 1021 12 分【法 2】 （）：设 ,M点的坐标分别为 12(,)(,)(,)MxyNEy，易知 B点的坐标为 (2)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交显然直线 l 的斜率存在，设直线 l
11、的斜率为 k，则直线 l 的方程是 )2(xky6 分将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 y 并整理得 050)51(22 k5FM Poy x 22150kx， 2150kx 8 分 又 1EMB， 则 1011(,)(,)yxy 112x，同理，由 2N， 2210 分 0)(42112121 xxx12考点二、圆锥曲线的几何性质圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例 2、如图
12、，F 为双曲线 C： 210,xyab的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x轴上方，M 为左准线上一点， O为坐标原点 已知四边形 OF为平行四边形， FO （）写出双曲线 C 的离心率 e与 的关系式；（）当 1时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点，若2AB，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵 活应用第二定义。解：四边形 OFPM是 A， |FPc，作双曲线的右 准线交 PM 于 H，则2|aPHc，又2222|OeeaHac， 20e （）当 1时， ， ， 23b，双曲线为2143xy四边形 OFPM是菱形
13、，所以直线OP 的斜率为 3，则直线 AB 的方程为 ()yxa，代入到双曲线方程得： 2294860xa，又 12AB，由 2211k得： 82()a，解得 9，则274b，所以2794xy为所求 点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。 考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例 3、设 分别为椭圆 的左、,AB21(,0)xyab6右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 为它的右准线 （）求椭圆的方程；（）设 为右准线上不同4x P于点（4，0）的任意一点， 若直线 分别与椭圆相交于异于 的点 ，证明：点 在以 为,APB,ABMN、 BMN直径的圆内 头h
14、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 2x 00， 0，则MBP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BMP解法 2：由（）得 A（2，0） ，B（2，0） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则2已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。例 4、已知双曲线 的两个焦点为 在曲线 C 上. 2:1(0,)xyCab:(2,0):(,)(
15、3,7)FP点（）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点E、F，若OEF 的面积为 求直线 l 的方程2,解：()依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 （0 a24） ，将点（3， ）代入上式，得1422yax 7.解得 a2=18（舍去）或 a22，故所求双曲线方程为147922a .1yx()解：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得(1 k2)x24 kx6=0.直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, k( )(1, ). ,3,10)1(6(,0122 ，
16、 kk 1,33设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 x1+x2= 于是6,4221xk|EF|= 21 )()= |1|34(1 2221212 kxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d ,2k S OEF= .|1|32|1|312|1 222 kkEFd 若 S OEF ，即 解得 k= ,0|3242k满足.故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 和x.2xy考点五、圆锥曲线综合应用8平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点
17、，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算” ，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现.圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数
18、，三角函数，均值不等式）求最值。圆锥曲线的有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“求范围，找不等式” 。或者表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围；圆锥曲线中的存在性问题：存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例 5、已知椭圆 C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过 ()求椭圆 C 的方程，()直线)21(0，） ，（ NM交椭圆 C 与 A、B 两点，求证：013:yxl BA【解析】设椭圆 C 的方程为 由椭圆 C 过点 得：12byax )21(0，
19、） ，（解得 椭圆 C 的方程为12ba22（）设 ，由 消去 y 整理得 ，由韦达定理得，则),(),(21yxBA1032yx 01627x由 两边平方整理可得271694x MBAM MAB只需证明 ， 0AB12,1xy（ ） （ ） )1(212yx而)(2121yyx 9(3)(32 31xx122121246()()9MAByx 01627-故 恒成立三、课后巩固练习：1已知 P是直线 0843yx上的动点， PAB、是圆 0122yx的切线， AB、是切点， 9C是圆心，那么四边形 PACB面积的最小值是( ). A 2B C 2 D 42设 F 为抛物线 24yx的焦点，A，
20、B ，C 为该抛物线上三点，若 0F，则|A=（ ） A9 B6 C4 D33已知抛物线方程为 24yx，直线 l的方程为 0xy，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 1d，P到直线 l的距离为 d，则 12的最小值为（ ）A 52B 52C52D 54、在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1） ，B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足0GABC, |MA= |B= |C GM（1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（ 2, 0） ，已知 PF Q , R FN且F = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大
21、值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。答案：（1）设 C ( x , y )， 2GABO,由知 2GCO,G 为 ABC 的重心 ， G( 3, ) 由知 M 是ABC 的外心， M 在 x 轴上由知 M（ 3x，0） ，由 | |CA 得 22()1()33xxy 化简整理得：2xy（x0） 。 （2）F（ ，0 ）恰为213的右焦点设 PQ 的斜率为 k0 且 k ，则直线 PQ 的方程为 y = k ( x 2)由 222()(31)63030ykxkxk设 P(x1 , y1) ，Q
22、(x 2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 21, x1x2 = 63k 10则| PQ | = 21k 211()4xx= 2 226633k= 2(1)k RNPQ,把 k 换成 得 | RN | = 23(1)kS = 12| PQ | | RN |=26()3k= 2813()0k) 218()02kS22 ， 163 S 2 ， (当 k = 1 时取等号)又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2综上可得 2 S 2Smax = 2 ， S min = 3 点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知
23、识解决问题的能力。5、已知椭圆 的离心率为 ，两焦点之间的距离为 4。 （I）求椭圆的标准方程；21(0,)xyab12（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线 于 A、B 两点， （1）求证：OAOB；（2）设 OA、OB 分别与24yx椭圆相交于点 D、E，过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM，垂足为 M，证明|OM|为定值。【解析】 （）由 得 ，故 所以，所求椭圆的标准方程为 4 分,214ac12b216xy11（2）设 、3,yxD，直线 的方程为 ，代入 ，得4,yxEDEtyx216xy于是 04836322tt 438,432243 tt从而 ， 代入，整理24343 ttyt
24、x OED043yx得 原点到直线 的距离 为定值（13 分）1872tE721td6、已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积:C2(0)xyab63为 .（）求椭圆 的方程；（）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点.若线段 中53 (1)ykxCABAB点的横坐标为 ，求斜率 的值；已知点 ，求证： 为定值.12k7(,03MM【解析】 （）因为 满足 ， 2 分21()xyab22abc63a。解得 ，则椭圆方程为 4 分1523bc25,3215xy（） （1）将 代入 中得 6 分(1)ykx2153y22(3)630kxk， 7 分422236()3480kk21231xk因为 中点的横坐标为 ，所以 ，解得 9 分AB1263k12（2）由（1）知 ，212631kx2351kx所以 11 分1221277(,)(,)()MAByxy12 分127()3xkx 21 49()3kkxk14 分22225649()3k42265
