1、四川省棠湖中学 2018-2019学年高二上学期开学考试数学（文科）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线 过点 且与直线 垂直,则 的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所求直线与已知直线垂直可以求出斜率，再根据点斜式写出直线方程.【详解】因为 的斜率 ，所以 ，由点斜式可得 ，即所求直线方程为 ，故选 A.【点睛】本题考查直线的位置关系及直线方程的点斜式，属于中档题.2.已知等差数列 中，若 ，则它的前 7项和为A. 120 B. 115 C. 110 D.
2、105【答案】D【解析】【分析】由题得 ，即可得解.【详解】由题得 =105.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等差数列的求和和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列 中，如果 m+n=p+q,则 ,特殊地，2m=p+q时，则 ， 是 的等差中项.3.在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若 ，则 （ ）A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形【答案】D【解析】【详解】分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出 C为直角，即可得到三角形为直角三角形.解析：已知
3、 ，利用正弦定理化简得：，整理得： ，即 .则 为直角三角形.故选：D.点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论4.一个球的内接正方体的表面积为 54,则球的表面积为( )A. 27 B. 18C. 19 D. 54【答案】A【解析】设正方体的棱长为 ，则 ，解得 。设球的半径为 ，则由正方体的体对角线等
4、于球的直径得 ，解得 。所以球的表面积为 。选 A。5.若 a，bR 且 ab0，则 2a2 b的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】解：a，bR 且 ab0，则 2a2 b ，选 A6.给出下列四种说法： 若平面 ，直线 ，则 ； 若直线 ，直线 ，直线 ，则 ； 若平面 ，直线 ，则 ； 若直线 ， ，则 . 其中正确说法的个数为 ( ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】D【解析】【分析】根据线面关系举反例否定命题，根据面面平行定义证命题正确性.【详解】若平面 ，直线 ，则 可异面；若直线 ，直线 ，直线 ，则 可相交，此时 平行两平面的交线；
5、若直线 ， ，则 可相交，此时 平行两平面的交线；若平面 ，直线 ，则 无交点，即 ；选 D.【点睛】本题考查线面平行关系，考查空间想象能力以及简单推理能力.7.设等差数列 的前 n项和为 ,若 , ,则当 取最小值时, 等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件解出公差，再根据等差数列求和公式得 ，最后根据二次函数性质求最值取法.【详解】因为 , ,所以 ，因此当 时， 取最小值，选 B.【点睛】本题考查等差数列和项，考查基本求解能力.8.已知 cos ，( )，则 cos 等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得 ,解方程即得 cos 的值.【详解
6、】由题得 ,所以 cos 故答案为：B【点睛】 （1）本题主要考查二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) ,要注意灵活运用.9.一个三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，且长度分别为 1、 、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：以 为三边，补成一个长方体，则三棱锥的外接球球心为长方体的对角线中点，直径为 ，外接球的表面积为考点：三棱锥的外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，
7、或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.10.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，利用幂函数的性质即可得出【详解】a=0.5 2.1（0，1） ，b=2 0.51，c=0.2 2.1，y=x 2.1为增函数，0.5 2.10.2 2.1，ac，bac故答案为：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查幂函数的图像和性质，考查了推理能力与计算能力11. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 的面积的最大值为A. B. C.
8、 D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。【详解】因为 ，所以又因为 ，所以 所以 的面积的最大值为所以选 B【点睛】本题考查了结合不等式性质求三角形面积，对条件式进行化简，属于基础题。12.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平移法则得到平移后的解析式，由函数 在区间 上单调递增且 求得；因为最大负零点在 内，进而求得 ，求交集即可得到 的取值范围。【详解】将函数 的图象向右平移 可得因为函数 在区间 上单调
9、递增所以 ，解不等式组得 因为所以函数 的零点为 ，即 ，最大负零点在 内所以 ，化简得因为所以由 可知， 的取值范围为所以选 C【点睛】本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数的平移、单调性、零点等，涉及知识点多，综合性强，是难题。第卷（共 90分）二.填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式为_.【答案】【解析】当 时， ；当 时，故数列 的通项公式为14.已知向量 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为_【答案】【解析】【分析】根据向量垂直及数量积运算，表示出夹角即可。【详解】因为所以 ，即 根据向量的数量积运算，则代入化简得
10、 所以【点睛】本题考查了平面向量垂直及数量积的定义，属于基础题。15.一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，在其中有一个高为 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时， _.【答案】 【解析】【分析】设圆柱的半径为 r，由 ，可得 r= ，又 l=x（0x6） ，可得圆柱侧面积，利用配方法求出最大值【详解】设圆柱的半径为 r，由 ，可得 r= ，又 l=x（0x6）所以圆柱的侧面积= ，当且仅当 x=3cm时圆柱的侧面积最大故答案为：3cm【点睛】 （1）本题考查圆柱侧面积，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力 （2）解答本题的关键是求出圆柱的侧面积= .16.已知 、 、 是 的三个内角，且 ， ，则_
11、【答案】【解析】， ，得 ，因此，故答案为 .三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共 70分）17.（1）已知点 A(1，2)和 B(3,6)，直线 经过点 P(1，5)且与直线 AB平行，求直线 的方程(2)求垂直于直线 ，且与点 的距离是 的直线 的方程。【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据平行关系得直线 斜率，金额由点斜式写方程即可；（2）由垂直得斜率，设直线 m的方程为 ，利用点到直线距离列方程求解即可.试题解析：（1） 直线 又过点 P(1，5)，则直线 的方程为： （2）由已知条件可得 ，则设直线 m的方程为 ，又与点 的距离是 ，则
12、，得到 ， .18.已知数列 的 前项和为 ，且 (1)求数列 的通项公式；(2)若数列 的前 项和为 ，求 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由递推公式得到 ，得到 ，得证；（2）由第一问得到 ，错位相减求和即可。解析：当 时， ，解得 当 时， ，所以 ，即 ，所以数列 是以首项为 2，公比为 2的等比数列，故 ，则 ，上面两式相减，可得，化简可得 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，
13、分组求和等。19.已知函数（1）求 的最小正周期和最值（2）设 是第一象限角，且 求 的值。【答案】 （1） 的最小正周期是 ，最大值为 ，最小值为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的最值（2）由条件代入解析式得 ，化简求解即可试题解析：(1) 的最小正周期是 ，最大值为 ，最小值为（2）则则即 又 为第一象限的角则.20.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， , . （）若 是 的中点，求证： 平面 ；（）若 ， ，求三棱锥 的高.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】试题分析：（）连接 交 于 ,连
14、接 .在三角形 中,中位线 ,且 平面, 平面 , 平面 ；（）由 , 可得 与底面垂直，在中，设 的中点为 ，连接 ，则 是三棱柱 的高，计算出三角形 与面积，利用 可求得点 到平面 的距离为 .试题解析：（）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中,中位线 ,且 平面 , 平面 , 平面 .（）在 中，设 的中点为 ，连接 ，则 ，又 ， ,又 ， ， ，解得 .所以点 到平面 的距离为： .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体
15、的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.21.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， .（1）若 ，求 的面积；（2）求 的最大值，并判断此时 的形状.【答案】 （1） （2） 的最大值为 【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式，结合 C是三角形的内角，可求 C；（2）利用正弦定理，将 化为 ，进而可得 ，即可求得结论试题解析：解：由，由余弦定理得：（2）法一：此时 为等边三角形法二：由余弦定理得：当且仅当 等号成立，此时 为等边三角形.点睛：在
16、处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值” ，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.22.已知函数 .()若 f(x)在 内为增函数，求实数 a的取值范围；()若关于 x的方程 在1,3内有唯一实数解，求实数
17、 a的取值范围.【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】【分析】()由题得 ，解不等式即得 a的取值范围. ()转化为方程 =在 内有唯一实数解，即 在 内有唯一实数解，再数形结合求出 a的取值范围.【详解】()设 ，由题知 在 上为增函数，且 0 即 解得 .（2）关于 的方程 在 内有唯一实数解即方程 = 在 内有唯一实数解， 在 内有唯一实数解，设 ，则 在 单调递减，在 单调递增，且 ， ，或 ， 或 .【点睛】(1)本题主要考查函数单调性，考查对数函数的图像和性质，考查函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第 2问解答的关键有三个，其一是是先转化为转化为方程 = 在 内有唯一实数解，其二是转化为在 内有唯一实数解，其三是数形结合求出 a的取值范围.
