1、2017秋期终高三数学试题（理）及答案一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知：如图，集合 为全集，则图中阴影部分表示的集合是A. U B. U C. U D. U【答案】C【解析】因为 ，所以图中阴影部分表示的集合是 U ，选 C.2. 已知 是关于 的方程 （ ）的一个根，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数） ，所以 为方程两根，选 A.3. 已知双曲线 的一条渐近线的方程是： ，且该双曲线 经过点 ，则双曲线 的方程是A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为双曲线 的
2、一条渐近线的方程是： ，所以设双曲线 的方程因为过点 ，所以 ，选 D.4. 已知： ， ，若函数 和 有完全相同的对称轴，则不等式 的解集是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 因此 ，选 B.5. 已知各项均为正数的等比数列 ， ，若 ，则=_A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，其中 ，则 ，故 ，由 可得， ，故,选 B.6. 已知： ，则目标函数A. ，B. ，C. ， 无最小值D. ， 无最小值【答案】C【解析】如图： , , ,显然 过 C点 ，无最小值，选 C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行
3、域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 设 ， 、 ，且 ，则下列结论必成立的是A. B. + 0 C. D. 【答案】D【解析】 ，故 是偶函数，而当 时， ，即 在 是单调增加的.由 ，可得 ，即有 ，即 ，选D.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积 =A. B. C. D. 【答案】B【解析】该多面体如图示，外接球的半径为 , 为 外接圆的半径， ，故 ，选 B.9. 执行如图的程序框图，若输出 的值是 ，则
4、 的值可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ； ， ； ， ； ， ；，故 必为 的整数倍.选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 我们把顶角为 的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：作一个正方形 ；以 的中点 为圆心，以 长为半径作圆，交 延长线于 ；以 为圆心，以 长为半径作 ；以 为圆心，以 长为半径作 交 于 ，则 为黄金三角形。根据上述作法，可以求出A. B. C.
5、D. 【答案】B11. 已知抛物线 ： （ ） ，过其焦点 的直线 交抛物线 于 、 两点（点 在第一象限） ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，即 ，不妨设 ，则 ，即有 ，又因为 ，故： ，选 A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12. 已知： ，若方程 有唯一的实数解，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】将方程整理得
6、，设 ，则由题意，直线 是函数 的一条切线，不妨设切点为 ，则有：，解之得： ， ， ,选 B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：13. _（小数点后保留三位小数） 。【答案】【解析】14. 已知向量 a(1,2)， b(2，4)，| c| ，若( a b)c ，则 a与 c的夹角的大小是_.【答案】120【解析】由条件知| a| ，| b|2 ， a b(1，2)，| a b| ，(
7、a b)c， cos ，其中 为 a b与 c的夹角， 60. a b a， a b与 a方向相反， a与 c的夹角为 120.15. 已知： ，则 的取值范围是_【答案】故 ， .点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.16. 在四边形 中，
8、 ， ， 为等边三角形，则 的外接圆与 的内切圆的公共弦长=_.【答案】1【解析】 的外接圆恰好过 AD,CD中点 E,F，所以公共弦长 三、解答题：17. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ ） （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系，得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果（2）因为 ，所以利用分组求和法求偶数项的和，再根据奇数项与偶数项关系得奇数项的和，最后根据规律合并，得数列 的前 项和 试题解析：解：（1）当 时， ，解得 当 时， ， ，两式相减得 ，化简得，所以数列 是首项为
9、，公比为 的等比数列，可得 （2）由（1）得 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， 为偶数， 所以数列 的前 项和 点睛：本题采用分组转化法求和，当项数为偶数时将原数列转化为一个等差数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型 （如 ）18. 如图 1，在平行四边形 中， ， ， ， 、 分别为 、的中点，现把平行四边形 1沿 折起如图 2所示，连接 、 、 （1）求证： ；（2）若 ，求二面角 的正弦值【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，计算可得 ， ，即得 平面 ，从而可证 （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点
10、坐标，列方程组解平面法向量，根据向量数量积得两个法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果试题解析：证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ， ，在平行四边形 中， ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ， 为正三角形，则 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ； ， ， ， 、 分别为 、 的中点， ， ， ，则 ，则三角形 为直角三角形，则 ， 以 为原点，以 ， ， 为 轴建立空间直角坐标系，则 C（1，0，0） ，B 1（0， ，0） ，C 1（1，0，0） ，A（0，0，） ，则则 ， =（0， ， ） ， =（1，0， ） ，设平面 AB1C的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ， 则 ，设
11、平面 A1B1A的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，即 ， 则 二面角 的正弦值是 .19. 为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产零件的流水线上随机抽取 100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根据以下不等式进行评判（ 表示相应事件的频率）： 评判规则为：若同时满足上述三
12、个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备 M的性能等级（2）将直径小于等于 或直径大于 的零件认为是次品从设备 的生产流水线上随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 的数学期望 ；从样本中随意抽取 2件零件，计算其中次品个数 的数学期望 【答案】(1) 丙(2) 【解析】试题分析：（1）运用相关系数进行判别推理；（2）运用贝努力分布的几何分布求解期望.试题解析：（1）因为设备 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共 6件，可估计设备 生产零件的次品率为 0.06.（）由题意可知 ，于是 ，（）
13、由题意可知 的分布列为故 .考点：线性相关系数及数学期望等知识的综合运用20. 平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F且垂直于长轴的弦长为 （1）求椭圆 C的标准方程；（2）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P（2，0）的直线与椭圆相交于不同两点 、 求证： ；求 面积的最大值【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析：（）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得 的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线 的斜率是否为 0讨论，当 时，设，直线 的方程为 ，联立椭圆方程，结合判别式求得 的范围，从而由 使问题得证；（ii）由 结合
14、（）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线 的斜率存在，设其方程为 ，联立椭圆方程，由判别式求得 的取值范围，从而由 使问题得证；（ii）由弦长公式求得 ，用点到直线的距离求得边 上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解试题解析：解：（1） ， 又 ，所以 所以椭圆的标准方程为（2） （i）当 AB的斜率为 0时，显然 ，满足题意当 AB的斜率不为 0时，设 ，AB 方程为 代入椭圆方程整理得 ，则 ，所以，即（ii）当且仅当 ，即 （此时适合0 的条件）取得等号三角形 面积的最大值是方法二（i）由题知，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为： ，
15、设 ，联立 ，整理得 ，则 ，所以，即（ii）点 到直线 的距离为 ，=令 ，则 ，当且仅当 ，即 （此时适合0 的条件）时， ，即三角形 面积的最大值是考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可21. 已知函数 ，且函数 的图象在点 处的切线与直线垂直（1）求 ；（2）求证：当 时， 【答案】(1) ， ；(2)见解析【解析】试题分析：
16、（1）由导数几何意义得切线斜率为 ，再根据切线与直线垂直得 ，根据 ，解方程组可得 ；（2）将不等式化为两个函数大小比较: ， ,利用导数求两个函数取值范围,根据范围可证不等式试题解析：（1）因为 ，故 ，故 ；依题意， ；又 ，故 ，故 ，联立解得 ， ； （2）由（1）得 ，要证 ，即证 ；令 ， 令 ， ， ， ，故 ，在 上单调增加， 在单调减少。而 ， ，当 时，当 时，故当 时， ； 而当 时， ，故函数所以，当 时， ，即 .22. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，圆 的
17、方程为 （1）求圆 的直角坐标方程；（2）若点 ，设圆 与直线 交于点 ，求 的最小值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程 （2）将直线的参数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果解析：(1)(2)证明：把得证。23. 已知 ， ，函数 的最小值为 （1）求 的值；（2）证明： 与 不可能同时成立【答案】(1)2(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得 ,即得 的值（2）因式分解可由 得 ,同理可得 ,若同时成立则有 ,与(1)矛盾,即证试题解析：（1） ， ， 由题设条件知 ， 证明：（2） ，而 ，故 .假设 与 同时成立即 与 同时成立, ， ，则 ， ， ，这与 矛盾，从而 与 不可能同时成立点睛：形如| x a| x b| c(或 c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(， a，( a， b，( b，)(此处设 a b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用| x a| x b| c(c0)的几何意义：数轴上到点 x1 a和 x2 b的距离之和大于 c的全体；(3)图象法：作出函数 y1| x a| x b|和 y2 c的图象，结合图象求解.
