1、淮南市 2018届高三第二次模拟考试数学文科试题卷一、选择题(每小题 5分，共 12小题，满分 60分)1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先化简集合 B,再求 AB.详解：由题得 ，所以 .故答案为：B点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.2. 复数 ，则 为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：先求复数 z，再求|z|.详解：由题得 ，所以 故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)复数 的模 .3. 已知
2、 是边长为 2的正三角形，在 内任取一点，则该点落在 内切圆内的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据题意求出ABC 内切圆的面积与三角形的面积比即可详解：如图所示，ABC 是边长为 2的正三角形，则 AD= ，OD= ，ABC 内切圆的半径为 r= ，所求的概率是 P= 故答案为：D点睛:（1）本题主要考查几何概型的计算和解三角形,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的问题，先
3、确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等） ，最后代公式 ；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.4. 已知 是双曲线 的左右焦点， 坐标 ，双曲线右支上点 ，满足 ，则它的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析: 根据双曲线的定义求出 c和 a，结合双曲线渐近线的定义进行求解即可详解: F 1坐标（ ，0） ，c= ，双 曲 线右支上 一 点 P，满足|PF 1|PF 2|=4，2a=4，即 a=2，则 b2=c2a 2=74=3，即 b= ，则双
4、曲线的渐近线方程为 y= x x，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据双曲线的定义求出 a，b 是解决本题的关键 （2）双曲线 的渐近线方程为 y= x，如果焦点在 y轴上，则渐近线方程为 y= x.5. 九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的 的值为 35，则输入的的值为( )A. 4 B. 5 C. 7 D. 11【答案】A【解析】起始阶段有 ， ，第一次循环后， ， ；第二次循环后， ， ；第三次循环后， ， ；接着计算 ，跳出循环，输出 .令 ，得
5、 .选 A.6. 如图，在正方体 中， 为 的中点，则 在该正方体各个面上的正投影可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点 P、A 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，PAC 在该正方体各个面上的射影详解：从上下方向上看，PAC 的投影为图所示的情况；从左右方向上看，PAC 的投影为图所示的情况；从前后方向上看，PAC 的投影为图所示的情况；故答案为：D点睛：本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成7. 若
6、满足约束条件 ，则 的最大值为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使 z最大，则直线在 y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线 z=x+2y过点 A时 z最大，求出 A的坐标，代入 z=x+2y得答案详解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，由 z=x+2y，得 y= x+ 要使 z最大，则直线 y= x+ 的截距最大，由图可知，当直线 y= x+ 过点 A时截距最大联立 ，解得 A（2，1） ，z=x+2y 的最大值为 2+21=4故答案为：B.8. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和
7、为 ，则“ ”是“ ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】D【解析】分析：根据等差数列的性质以及充分必要条件的定义判断即可详解：S 2+S42S 3，2a 1+d+4a1+6d2（3a 1+3d） ，故 d0，故“d0”是“S 2+S42S 3”的充要条件，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查充要条件的判定和等差数列的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 已知命题 是条件，命题 是结论,若 ，则 是 充分条件.若 ，则 是必要条件.9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增，若实数满足，则的取值范围是
8、( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性的关系得到 f（x）是 R上的奇函数，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可详解：函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且在区间（，0上单调递增，f（x）在 R上都是增函数，则不等式 ，等价为 ，即 ，则 ，即 a即实数 a的取值范围是 ，故答案为：A点睛：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键10. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 ，则函数的图象的一个对称中心是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关
9、系求出 g（x）的解析式，利用对称性进行求解即可详解：f（x）=2sinxcosx+2 cos2x=sin2x+ （1+cos2x）=sin2x+ cos2x+ =2sin（2x+ ）+ ，将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g（x）的图象，即 g（x）=2sin2（x ）+ + =2sin2x+ ，由 2x=k，kZ，得 x= ，此时 g（x）= ，即函数的对称中心为（ ， ） ，当 k=1时，对称中心为 .故答案为：D点睛: (1) 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键(2) 的图像的对称中心为11. 已知函数 则方程 恰有两个
10、不同的实根时，实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，等价于 y=f（x）与 y=kx有 2个交点，又 k表示直线 y=kx的斜率，数形结合求出 k的取值范围详解: 方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，y=f（x）与 y=kx有 2个交点，又k 表示直线 y=kx的斜率，x1 时，y=f（x）=lnx，y= ；设切点为（x 0，y 0） ，则 k= ，切线方程为 yy 0= （xx 0） ，又切线过原点，y 0=1，x 0=e，k= ，如图所示；结合图象，可得实数 k的取值范围是 .故答案为：C点睛：（1）本题
11、考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答 （2）零点问题是高中数学的一个重要问题，常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.12. 设 是椭圆 的一个焦点， 是 上的点，圆 与直线 交于两点，若 是线段 的两个三等分点，则 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：取 AB中点 H，椭圆另一个焦点为 E，连结 PE根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得 a=5d，再求离心率.详解：如图，取 AB中点 H，椭圆另一个焦点为 E，连结 PEA、B 三等分线段 PF，H 也是 AB中点，即 OHAB设 OH=d，则 PE=2d，P
12、F=2a2d，AH= ，在 RtOHA 中，OA 2=OH2+AH2，解得 a=5d在 RtOHF 中，FH= ，OH= ，OF=c，由 OF2=OH2+FH2化简得 17a2=25c2， 即 C的离心率为 故答案为：D点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于 a，b，c 的关系式，最后化归为 a，c（或 e）的关系式，利用方程求解二、填空题(每小题 5分，共 4小题，满分 20分)13. 已知向量 ，若 ，则 _【答案】【解析】分析：利用向量共线定理即可得出详解： ， ，1-2（1+m）=0，解得 m= 则 .故答案为：点睛：（1）本题考查了向量共线定理，考查了推理能力
13、与计算能力.(2) 如果= , =，则| 的充要条件是 .14. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时 ，则_【答案】1【解析】分析：推导出 f（x+4）= =f（x） ，从而 f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0） ，由此能求出结果详解：定义在 R上的函数 f（x）满足 f（x+2）= ，f（x+4）= =f（x） ，所以函数 f(x)的周期为 4,当 x0，2）时，f（x）=x+e x，f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0）=0+e 0=1故答案为：1点睛：本题考查函数值的求法，考查函数的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.15. 三棱锥
14、 中，已知 底面 ， ， ，若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_【答案】【解析】分析：由题意求解底面 ABC 外接圆的半径 r，利用球心到个顶点距离相等求解球的半径 R可得结论详解：由题意BAC=60，AB=AC=2，可得ABC 是等边三角形，可得外接圆的半径 r= ，PA底面 ABC，PA= ，球心与圆心的距离为 该球的半径为 R= ，该球的体积 V= ，故答案为： 点睛：(1)本题主要考查球的体积的求法，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答本题的关键是找到关键三角形及其各边的长.16. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 的等差
15、中项，若数列 的前 项和 恒成立，则 的最小值为_【答案】【解析】分析: 根据条件求出a n的通项，利用裂项相消法求和计算 Tn，从而得出 M的值详解：设等比数列a n的公比为 q，S 4=a1+28，a 3+2是 a2，a 4的等差中项， ，解得 或 ，a 2a 1，a 2=4，q=2a n=2n，S n= =2n+12，T n= ，M 的最小值为 故答案为：点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2) 用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： ，特别地当 时， ，特别地当 时 三、解答题(共 6小题，满
16、分 70分)17. 已知 分别是 三个内角 所对的边，且 .(1)求角 的大小.(2)已知 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2）详解：(1) 中， 即解得 (舍)或 .所以 .(2)由(1)知根据余弦定理得 代入得 ，得 ，解得 ，所以 的面积最大值为 .点睛：本题考查角的大小的求法，考查三角形面积最大值的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想.18. 如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为边长为 2的等边三角形， ， 为 中点.(1)证明: ;(2)求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】
17、分析：（1）连结 OA，ABC 为等腰直角三角形，推导出AOBC，SOBC，SOAO从而 SO平面 ABC，由此能证明 ACSO （2）设 C到平面 SAB的距离为 d，由 VSABC =VCSAB ，能求出 C到平面 SAB的距离详解：(1)由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形，所以O ，且 ， 又 为等腰三角形，故 ，且 ，从而 .所以 为直角三角形， .又 .所以 平面 即 .(2)设 到平面 的距离为 ，则由(1)知:三棱锥即为等腰直角三角形，且腰长为 2.的面积为 面积为 ，到平面 的距离为 .：（1）本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
18、置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想 （2）求点到面的距离常用的有直接法、等体积法和向量法，本题利用的是等体积法.19. 我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也目渐显著，为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出 8人，他们的肥胖指数 值、总胆固醇 指标值单位: )、空腹血糖 指标值(单位: )如下表所示：(1)用变量 与 与 的相关系数，分别说明 指标值与 值、 指标值与 值的相关程度;(2)求 与 的线性回归方程，已知 指标值超过 5.2为总胆固醇偏高，据此模型分析当 值达到多大时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现(上述数据均要精确到 0.01
19、)参考公式:相关系数， ， . 参考数据: ， ， ， ， ， ， ，【答案】 （1）见解析；（2）达到 26.33时，需要注意监控总胆固醇偏髙情况出现【解析】分析：（1）根据公式计算变量 y与 x的相关系数、变量 z与 x的相关系数，即可判定结论；（2）求出变量 y与 x的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论详解：(1)变量 与 的相关系数分别是变量与 的相关系数分别是可以看出 指标值与 值、 指标值与 值都是高度正相关. (2) 与 的线性回归方程， .根据所给的数据，可以计算出， .所以 与 的回归方程是由 ，可得 ，据此模型分析 值达到 26.33时，需要注意监控总胆固醇
20、偏髙情况出现.点睛：（1）本题主要考查相关系数，考查回归直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数来衡量.相关系数：，表示两个变量正相关； ，表示两个变量负相关；的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强。的绝对值越接近 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常，的绝对值大于 0.75时，表明两个变量的线性相关性很强.20. 已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 的方程；(2)已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且 ，判断直线是否过定点，并说明理由.
21、【答案】 （1） ；（2）过定点【解析】分析：（1）根据抛物线性质求出 p，得出抛物线方程；（2）设 MD斜率为 k，联立方程组，求出 D，E 的坐标，得出直线 DE的方程，从而得出结论详解：（1）由题意设抛物线方程为 ，其准线方程为 ，到焦点的距离等于 到其准线的距离，所以抛物线方程为 .(2)由(1)可得点 ，设直线 的方程为: ，联立 ，得 ，设 ，则 ，同理可得 ,所以直线 的方程为 化简的 .直线 过定点 .点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，
22、证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式 ，（一般地， 为关于 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点.21. 已知函数 ， .(1)讨论函数 的单调性；(2)当 时，设 ， ，满足 恒成立，求的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）讨论 a的符号，判断 的符号，从而得出 f（x）的单调区间；（2）令 m（x）=g（x
23、）h（x） ，讨论 a的范围，判断 的符号，得出结论详解：(1)因为 ,所以定义域为 .所以 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增。当 时，令 ，则 ，当 ， ，所以 在 上单调递增，当 ， ，所以 在 上单调递减，综上所述:当 时， 恒成立， 所以 在 上单调递增.当 ， ，所以 在 上单调递增，当 ， ，所以 在 上单调递减，(2) 令 ， 令 ，(1)若 ， ， 在 递增，在 递增， 从而 ，不符合题意.(2)若 ，当 ， ， 在 递增，从而 ，以下论证同(1)一样，所以不符合题意.(3)若 ， 在 恒成立，在 递减， ，从而 在 递减 , , 综上所述,的取值范围是 .点睛：(1)
24、本题考查了函数单调性与导数的关系，考查函数恒成立问题与函数单调性、最值的关系(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为 0，即 0，其二是利用导数求 m(x)的最大值.22. 已知直线的参数方程： （为参数)，曲线 的参数方程： （ 为参数)，且直线交曲线 于 两点.(1)将曲线 的参数方程化为普通方程，并求 时， 的长度；(2)巳知点 ，求当直线倾斜角 变化时， 的范围 .【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（I）利用 消参后可得曲线 C的普通方程，把 代入交消去参数可得直线的普通方程，再把直线方程代入曲线 C方程，结合韦达定理、弦长公式 可得弦长；（II）直线的参数方程是标准参数
25、方程，直接代入曲线 C的普通方程，A、B 两点参数 是此方程的解，且 ，由此可得其取值范围试题解析：（）曲线 的参数方程： （ 为参数） ，曲线 的普通方程为 当 时，直线 的方程为 ，代入 ，可得 ， . .（）直线参数方程代入 ，得 设 对应的参数为 ， 23. 已知函数(1)解不等式 .(2)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） 或 ；（2） 或【解析】分析：（1）通过讨论 x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）根据绝对值的性质，得到关于 a的不等式，解出即可详解：(1)不等式 可化为 .当 时， 解得 即 ；当 时， 解得 即 ：当 时， 解得 即 ;综上所述:不等式 的解集为 或 .(2)由不等式 可得，即解得 或故实数的取值范围是 或 .点睛：（1）本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质.(2) 重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“”号，不管是“+”还是“-” ，总之要使中间是常数.
