1、第6节 对数与对数函数,知 识 梳 理,1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.,xlogaN,N,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,(2)对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),增函数,减函数,4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数 (a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.,ylogax,yx,诊 断 自 测,解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时，logaxlogbx
2、，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 D,3.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a1，c1 B.a1，01 D.0a1，0c1,解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数， 所以00， 即logac0，所以0c1. 答案 D,4.(2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x)，则( )A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为
3、(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误.答案 C,考点一 对数的运算,(2)(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则( ) A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x5z,(2)令t2x3y5z，x，y，z为正数，t1.,2x3y.,2x5z，3y2x5z. 答案 (1)20 (2)D,规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成
4、分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.,所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2， 即2bb2，解得b2，a4. (2)因为32log234，所以f(2log23)f(3log23)23log2382log2324. 答案 (1)4 2 (2)A,考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2018郑州一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|
5、y1，则函数yloga|x|的图象大致是( ),解析 (1)由于ya|x|的值域为y|y1， a1，则ylogax在(0，)上是增函数， 又函数yloga|x|的图象关于y轴对称. 因此yloga|x|的图象应大致为选项B.,(2) 如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象， 其中a表示直线在y轴上截距. 由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点. 答案 (1)B (2)(1，),规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象
6、问题，利用数形结合法求解.,【训练2】 (1)(2018湛江模拟)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0a1b1B.0ba11C.0b1a1D.0a1b11(2)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0,解析 (1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y2xb1在R上单调递增，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0， 即logaa1logabloga1，所以，a1b1. 综上有0a1b1.,(2)在同一直角坐标系下画出函
7、数f(x)2ln x与函数g(x)x24x5(x2)21的图象，如图所示. f(2)2ln 2g(2)1， f(x)与g(x)的图象的交点个数为2. 答案 (1)A (2)B,考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度1 比较对数值的大小 【例31】 (2016全国卷)若ab0，0cb解析 由yxc与ycx的单调性知，C，D不正确；ylogcx是减函数，得logcalogcb，B正确；,0c1，lg c0.又ab0，lg alg b，但不能确定lg a，lg b的正负，logac与logbc的大小不能确定. 答案 B,命题角度2 解对数不等式,解析 由题意得a0且a1，故必有a212a
8、， 又loga(a21)loga2a0，所以0a1，,答案 C,命题角度3 对数型函数性质的综合应用 【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.,(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数. f(x)在区间1，2上为减函数，yl
9、ogat为增函数， a1，x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，,故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.,规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,解析 (1)alog32log221，所以c最大.,所以cab.,而g(x)不存在最大值，不符合题意， 综上，实数a9. 答案 (1)D (2)9,
