1、第二节 与圆有关的位置关系,考点一 点、直线与圆的位置关系 (5年0考) 例1(2018泰安中考)如图，M的半径为2，圆心M的坐标为 (3，4)，点P是M上的任意一点，PAPB，且PA，PB与x轴 分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点 O对称，则AB的最小值为( ) A3 B4 C6 D8,【分析】 通过作辅助线得OP为RtAPB斜边上的中线，再通过勾股定理进行求解可得,【自主解答】如图，连接OP，则OP为RtAPB斜边上的中线， AB2OP.连接OM，则当点P为OM与M的交点时，OP最短， 则AB也最短根据勾股定理得OM 5，OPOM PM523，AB2OP6，即AB的最小值为6.,1已
2、知在平面直角坐标系内，以点P(2，3)为圆心， 2为半径的圆P与x轴的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交 D相离、相切、相交都有可能,A,2已知BAC45，一动点O在射线AB上运动(点O与点A 不重合)，设OAx，如果半径为1的O与射线AC有公共点， 那么x的取值范围是( ) A0x1 B1x C0x Dx,C,考点二 切线的性质与判定 (5年5考) 命题角度 切线的性质 例2(2017东营中考)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交O于点F. (1)求证：DEAC； (2)若DEEA8，O的半径为10， 求AF的
3、长度,【分析】 (1)欲证明DEAC，只需证明ODAC即可； (2)过点O作OHAF于点H，构建矩形ODEH，利用矩形的性质和勾股定理即可求出AF的长度,【自主解答】 (1)OBOD，ABCODB. ABAC，ABCACB， ODBACB，ODAC. DE是O的切线，OD是半径， DEOD，DEAC.,(2)如图，过点O作OHAF于点H， 则ODEDEHOHE90， 四边形ODEH是矩形，ODEH，OHDE. 设AHx， DEAE8，OD10， AE10x，OHDE8(10x)x2. 在RtAOH中，由勾股定理知AH2OH2OA2，,即x2(x2)2102， 解得x18，x26(舍去)，AH8
4、. OHAF，AHFH AF， AF2AH2816.,利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂 直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题,3(2018泰安中考)如图，BM与O相切于点B，若MBA 140，则ACB的度数为( )A40 B50 C60 D70,A,4(2018东营中考)如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上 (1)求证：CADBDC； (2)若BD AD，AC3，求CD的长,(1)证明：如图，连接OD. AB是O的直径， ADB90. 又CD是O的切线， ODC90， BDCODB90，1ODB90， 1BDC.,又OAOD， 1CAD， CADBDC. (
5、2)解：BD AD， CADBDC，CC， CADCDB， CD CA 32.,命题角度 切线的判定 例3(2016东营中考)如图，在ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，ABDACB. (1)求证：AB是圆的切线； (2)若点E是BC上一点，已知BE4，tanAEB ，ABBC23，求圆的直径,【分析】 (1)欲证明AB是圆的切线，只要证明ABC90 即可； (2)在RtAEB中，根据tan AEB ，求出AB，在RtABC 中，根据 求出BC即可,【自主解答】 (1)BC是直径，BDC90， ACBDBC90. ABDACB，ABDDBC90， ABC90，ABBC，AB是圆的切线,(2
6、)在RtAEB中，tanAEB ， ，即AB ，BE . 在RtABC中， ，BC AB10， 圆的直径为10.,切线的判定方法 (1)“连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直 (2)“作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说明“是半径”或“点在圆上”，这是最容易犯错的地方,5(2018潍坊中考)如图，BD为ABC外接圆O的直径，且BAEC. (1)求证：AE与O相切于点A； (2)若 AEBC，BC2 ，AC2 ， 求AD的长,(1)证明：如图，连接OA交BC于点F，则OAOD， D
7、DAO. DC，CDAO. BAEC，BAEDAO. BD是O的直径，DAB90， 即DAOOAB90， BAEOAB90，即OAE90， AEOA，AE与O相切于点A.,(2)解：AEBC，AEOA，,6(2018胜利一中一模)如图，ABC内接于O，B60，CD是O的直径，点P是CD延长线上的一点，且APAC. (1)求证：PA是O的切线； (2)若PD ，求O的直径,(1)证明：如图，连接OA. B60，AOC2B120. OAOC，OACACO30， AODOACACO60. APAC， PACO30， PAO180PAOD90， PAOA， PA是O的切线,(2)解：如图，连接AD.
8、由(1)知AOD60，OAOD， AOD是等边三角形，ADO60，ADOD. P30，PAD30， PPAD，PDAD. PD ，ADOD ， CD2OD2 ，O的直径为2 .,考点三 三角形的内切圆 (5年0考) 例4(2018威海中考)如图，在扇形CAB中， CDAB，垂足为D，E是ACD的内切圆， 连接AE，BE，则AEB的度数为 【分析】 连接EC.首先证明AEC135，再证明EACEAB即可解决问题,【自主解答】如图，连接EC. E是ADC的内心， AEC90 ADC135. 在AEC和AEB中，EACEAB， AEBAEC135.故答案为135.,7(2017武汉中考)已知一个三角
9、形的三边长分别为5， 7，8，则其内切圆的半径为( ),C,8(2018娄底中考)如图，P是ABC的内心，连接PA， PB，PC，PAB，PBC，PAC的面积分别为S1，S2，S3. 则S1_S2S3.(填“”“”或“”),考点四 圆的综合题 百变例题(2018广西中考)如图，ABC内接于O，CBG A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足 为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD. (1)求证：PG与O相切； (2)若 ，求 的值； (3)在(2)的条件下，若O的半径为8，PDOD，求OE的长,【分析】 (1)要证PG与O相切只需证明OBG90，由A与BDC是同弧所对
10、圆周角，BDCDBO可得CBGDBO，结合DBOOBC90即可得证；,(3)在RtDBC中求得BC8 ，OCB30，在RtEFC中 设EFx，EC2x，FC x，BF8 x，继而在 RtBEF中利用勾股定理求出x的值，从而得出答案,【自主解答】(1)如图，连接OB，则OBOD， BDCDBO. BACBDC，BACGBC， GBCBDC. CD是O的直径， DBOOBC90，GBCOBC90， GBO90，PG与O相切,(2)如图，过点O作OMAC于点M，连接OA，,变式1：若CD6，PCB30. (1)求证：PBDPCB； (2)点Q在半圆DAC上运动，填空： 当DQ 时，四边形DQCB的面
11、积最大； 当DQ 时，DBC与DQC全等,变式1： (1)证明：如图，连接OB. PB是O的切线，OB是半径， OBPB，PBO90， PBDDBO90. CD是直径，DBC90，,BCDBDC90. ODOB，OBDBDC， BCDDBO90， PBDBCD. 又PP，PBDPCB.,(2)解：3 . 提示：当点Q运动到OQCD时，四边形BDQC的面积最大 如图，连接DQ，CQ. ODOC，OQCD， DQCQ. CD是直径，DQC90，,DQC是等腰直角三角形，,分两种情况： 当DQDB3时， 在RtDBC和RtDQC中，DBCDQC(HL) 当DQCB3 时，同理DBCCQD. 综上所述，当DQ3或3 时，DBC与DQC全等,变式2：若BD BC，PC3，求PB的长 解：BD BC， PCBPBD， tanPBDtanPCB PBDPCB， PB PC 32.,
