1、2012 学上海市高三年级第一学期数学练习试卷（文科）(一)本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一、填空题 (本大题每满分 56 分) 1函数 的定义域为 xy2log2若 是虚数单位，则 = iRbaibia,)(、， 其 中 ba3若 ， ， ，则 = ),1()5,2(k/k4 = lim21nnn5已知数列 的前 项和 ，若第 项满足 ，则 = a27nSk912ka6设 满足 ，则 的最小值为 yx,102yyxz7若函数 在 上存在反函数，则实数 的取值范围为 4x(,aa8直线 上的点到圆 上的点的最近距离是 y 0422yx9.定义一种运算 Sb，
2、运算原理如右框图所示，则 cos5in1si45cos110在 的展开式的各项中随机取两项，其系数和为奇数的概率是 531x11已知等比数列 中 ，则其前 3 项的和 的取值范围是 na213S12已知函数 满足对任意 成立，)0()(,)xaxfx 0)(,2121 xffx都 有则 a 的取值范围是 13定义在 ),(上的偶函数 )(f满足 )(ff，且 )(f在 ,上是增函数，下面五个关于 )xf的命题： (xf是周期函数； )x图像关于 1对称； x在 10上是增函数；(在 2,1上为减函数； 0()2f，其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 14已知数集 ，记和 中所有不同值的个
3、数为 如当,321naA )1(njiaji )(AM时，由 ， ， ， ， ，得 4,321453264735若 ， 则 = n )(M二、选择题(本大题每满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对答 5 分，否则一律得零分15若将函数 的图像向左平移 （ ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则3sin()1coxfx=a0的最小值为（ ） A B C Da6326516如果正数 、 、 、 满足 ，则下列各式恒成立的是（ ）bd4cdbaA B C D cdcab17有一正方体形状的骰子，六个面分别涂上了红、黄、
4、蓝、绿、白、黑六种不同的颜色，投掷了三次，观察到的结果如图所示，则黄色对面的颜色是（ ）A红色 B蓝色 C绿色 D黑色18设函数 ，则下列命题中正确的是（ ）()|()fxbxcR，A “ ”是“函数 在 上单调递增”的必要非充分条件；0b)yfB “ ， ”是“方程 有两个负根”的充分非必要条件；c(0xC “ ”是“函数 为奇函数”的充要条件；)yfD “ ”是“不等式 对任意 恒成立”的既不充分也不必要条件0c(2)xcbxR20081218FEDCBA三解答题 (本大题每满分 74 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19 （本题 12 分
5、）如图，为了测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测量点 与 ABCD现测得 , ， （米） ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，53BCD60CDCA29B求塔高 （精确到 米） A.120 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知梯形 中， ， ， ， 、 分别是 、ABCD/ACD4ADEFAB上的点， ，沿 将梯形 翻折，使 平面 (如图) . 设 ，/EFBEBCx四面体 的体积记为 .)(xf(1) 写出 表达式，并求 的最大值；)(xf(2) 当 时，求异面直线 与 所成角 的余弦值.2ADF21 （本题满分
6、 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知函数 ,()fxagxR（1）讨论函数 的奇偶性；（2）若 ，记 ，且 在 上有最大值，求 的取值范围0()FxfxF0,a22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分我们把一系列向量 按次序排成一列，称之为向量列，记作 已知向量列 满足：(1,2)ian nana， .1(,)a)nnxy11,)nxy(（1）证明数列 是等比数列；i（2）设 表示向量 间的夹角，求证 是定值；n1,nacosn（3）若 ， ，求 的值nb1
7、2nnSb 2limnbS23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分已知抛物线方程为 )0(2pxy（1）若点 在抛物线上，求抛物线的焦点 的坐标和准线 的方程；),( Fl（2）在（1）的条件下，若过焦点 且倾斜角为 的直线 交抛物线于 、 两点，点 在抛物线60mABM的准线 上，直线 、 、 的斜率分别记为 、 、 ，求证： 、 、 成等lMAFBMAkFBkkFBk差数列；（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明.说明：第（3）题将根据结论的一般
8、性程度给予不同的评分.FEDCBA2012 学上海市高三年级第一学期数学练习试卷（文科） （一）参考答案一、填空题 (每小题 4 分,满分 56 分)1 21 3 4 5 9 6 -6 7 )()0,28 9. 10 11 12 13 2,( 815),31,(21,014 3n二、选择题 15 D 16 B 17C 18C19 （本题 12 分）如图，为了测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测量点AB与 现测得 , ， （米） ，并在点 测得塔顶 的仰角为C5360DCA，求塔高 （精确到 米） 29ABA.1解：在 中， ，2 分D8()7CB由正弦定理得 ，4 分si
9、nsiD所以 ，7 分60nii7B在 中， ，11RtACsi60tatan2931.BAC分所以，塔高 为 米12 分31.20 （本题 14 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）已知梯形 ABCD中，ADBC，ABC =BAD = ，AB=BC=2AD=4，E、F 分别是 AB、CD 上的点，EFBC，设 AE = 。沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面 EBCF (如图) .x(1) 若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大)(xff值；(2) 当 时，求异面直线 AB 与 DF 所成角 的余弦值2x 解: （1）AE平面 EBCF
10、过 D 作 DHAE，则 DG=AE，且 DH平面 EBCF2 分所以 VD-BFC()f xDGSBFC )4(213315 分28()33x即 时 有最大值为 。6 分f(2)过 A 作 AGDF，连 BG，则 即为异面直线 AB 与 DF 所成的角 9 分BAG由 知 EG=1 10 分2x在AEG 中， 11 分512在BAEG 中， 12 分B在AEBG 中， 13 分822A 14 分5108cos21 （本题 14 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）已知函数 ,()fxagxR（1）讨论函数 的奇偶性；（2）若 ，记 ，且 在 有最大值，0a()FxgfxF0,
11、求 的取值范围.a解析：（1）当 时，函数 是一个偶函数；2 分0fx当 时，取特值： ，,()20faa故函数 是非奇非偶函数. 6 分fx（2）对于 ， 8 分0a(1)(0)() xaFgxfax若 ， 在区间 上递增，无最大值；10 分1x,a若 ， 有最大值 111 分a21()x若 ， 在区间 上递增，在 上递减， 有最大值 ； 13 分01aFx0,a,aFx2a20081218综上所述得，当 时， 有最大值. 14 分01aFx22 （本题 16 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 8 分）我们把一系列向量 按次序排成一列，称之为向量列，记作 。已
12、知向量列 满足：(,)in nana， .1(,)a)nnxy11,)nxy(2（1）证明数列 是等比数列；ia（2）设 表示向量 间的夹角，求证 是定值n1,ncosn（3）若 ， ，求 的值；nb12nnSb2limnbS解：（1） 1 分211()()2nnnaxyxy， 数列 是等比数列3 分211nnxyia（2） 6 分1111 2(,)(,)cosnnnnxyxyaa8 分21()2nxy（3） 11 分22()4,1,4nnnbb14 分212()()()()nS n= 16 分2limnb23 （本题 18 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8
13、 分）已知抛物线方程为 )0(2pxy（1）若点 在抛物线上，求抛物线的焦点 的坐标和准线 的方程；),( Fl（2）在（1）的条件下，若过焦点 且倾斜角为 的直线 交抛物线于 、 两点，点 在抛物线F60mABM的准线 上，直线 、 、 的斜率分别记为 、 、 ，求证： 、 、 成等lMABMAkFBkkFBk差数列；（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并结予证明.说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.解：（1） 在抛物线上， 由 得 2 分)2,( 2)2(p抛物线的焦点坐标为 ， 3 分)0,1(F准线 的方程为 4 分
14、lx（2）证明：抛物线的方程为 ，过焦点 且倾斜角为 的直线 的方程为xy42)0,1(F60m3(1)y由 可得 24()x2310x123,x解得点 A、B 的坐标为 ， 6 分(,)(,)B抛物线的准线方程为 ，设点 M 的坐标为 ，7 分1x),1(t则 ， ， ，8 分234MAtk234MBtk2Fk由 9 分()AB MFtttk知 、 、 成等差数列。 10 分MkFk（3）本小题可根考生不同的答题情况给予评分推广命题：若抛物线的方程为 ，过焦点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点，M 为抛物线准线xy42m上的一点，直线 、 、 的斜率分别记为 、 、 ，则 、 、 成等差
15、数列。AFMBMAkkFkB12 分证明：抛物线 的焦点坐标为 ，当直线 平行于 轴时，xy42)0,1(F1ly由（2）知命题成立。 13 分设 M 点坐标为 ),(t当直线 不平行于 轴时，设 的方程为 ，其与抛物线的交点坐标为 、mym)1(xky ),(1yxA，则有 ，),(2yxB421x2由 得 ，即 14 分)(k02kyk421y，4)(14221tytxtMA )(22txtMB)4()()()()( 221211221 yttyyttkBAttyt )8(64)8()(4 21212121 ）（， ，即 、 、 成等差数列16 分0tkMFMFBMAkkAMFkB推广命题
16、：若抛物线的方程为 ，过焦点 F 的直线 交抛物线于 A、B 两点，M 为抛)0(2pxym物线准线上的一点，直线 、 、 的斜率分别记为 、 、 ，则 、 、 成MAkkFkB等差数列。 13 分证明：抛物线的焦点 F 的坐标为 ，准线方程为 ，设 M 点坐标为)0,2(p2px),2(tp设 与抛物线的交点坐标为 、 ，则有 ，m,1yxA),2yBy1x2（）当直线 平行于 轴时，直线 的方程为mpx,此时有 14 分221pA, B, -p yp（）当直线 不平行于 轴时，直线 的方程可设为 mm2pykx由 得 15 分2ypxk20kpky21，21211 )(pytptxtyMA
17、 2221 )(pytptxtykMB )4()()()( 221211221yttyytytkMBAptpt)(2221， ，即 、 、 成等差数列18 分tkMF0MFBMAkk2AMFkB2012 学上海市高三年级第一学期数学练习试卷（理科）试卷（一）（完成时间 120 分钟，满分 150 分） 一、填空题 (每小题 4 分,满分 56 分)1设集合 221,AyxRByxR，则集合 AB 2方程 )3lg(x=1 的解是 3设函数2(0)xf，那么 1(0)f 4一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆的面积为 ，则球的表面积为 5设复数 12,34zaizi，若 12zR，则实数 a
18、 6在极坐标系中，若直线 l的方程是 )6sin(，点 P的坐标为 (2,)，则点 P到直线 l的距离d7设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 67，则口袋中白球的个数为 8右图是计算 11123409的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填入的条件是 9已知 9)2(x展开式的第 7 项为 421，则 3limnnx 10已知圆 C过双曲线 1692yx的一个顶点和一个焦点，且圆心 在此双曲线上，则圆心 C到双曲线中心的距离是 11如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数” 介于 1 到 200之间的所有“神
19、秘数”之和为 12汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费+年均维修费） 设某种汽车的购车的总费用为 50000 元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为 6000 元；前 x年的总维修费 y满足 2axb，已知第一年的维修费为 1000 元，前二年总维修费为 3000 元则这种汽车的最佳使用年限为 13设函数 ()F和 f都在区间 D上有定义，若对 的任意子区间 ,uv，总有 ,v上的实数 p和q，使得不等式 ()()uFvpfq成立，则称 ()Fx是 f在区间 D上的甲函数， ()fx是()x在区间 D上的乙函数已知 23,xR，那么 的乙函数 ()fx
20、14已知数列 na满足： m1（ 为正整数） ， 1,2nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。若 47a，则 m所有可能的取值为 二、选择题 (每小题 4 分,共 16 分)15设 ,abR，则“ 2ab且 1”是“ a且 1b”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件16将函数 102cosin3)(xxf的图像向右平移 )0(a个单位，所得图像的函数为偶函数，则a的最小值为 A 65B 3C 3D 617. 已知集合 CzRbazbiazi ,02)()(| ，CzB,1|，若 A，则 、 之间的关系是 2ba 12 1 1ba 18若函数 )1,
21、0()1(aakxfx在 R上既是奇函数，又是减函数，则log)(a的图像是三解答题（本大题满分 78 分）19 （本题 14 分，其中第（1）小题 8 分，第（2）小题 6 分）如图所示，在一条海防警戒线上的点 A、 B、 C处各有一个水声监测点， B、 C两点到点 A的距离分别为 20千米和 5千米某时刻， 收到发自静止目标 P的一个声波信号，8 秒后 、 两点同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5千米/ 秒（1）设 A到 P的距离为 x千 米，用 表示 、 到 的距离，并求 x的值；（2）求 到海防警戒线 C的距离（结果精确到 0.千米） 20 （本题 14 分，其中第
22、（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）设在直三棱柱 1AB中， 12ABC， 90BAC， ,EF依次为 1,C的中点（1）求异面直线 、 EF所成角 的大小（用反三角函数值 表示） ；（2）求点 1到平面 的距离21 （本题 16 分，其中第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）已知椭圆 E的方程为21(0)xyab，长轴是短轴的 2 倍，且椭圆 E过点 2(,)；斜率为 k的直线 l过点 (0,)A， n为直线 l的一个法向量 ，坐标平面上的点 B满足条件 nA（1）写出椭圆 方程，并求点 B到直线 的距离；（2）若椭圆 上恰好存在 3 个这样的点 ，求 k的值22 （本题满分 1
23、6 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分，第（3）小题 4 分）设 nb，a是两个数列， )2,1(),(),1n，BaAMnn为直角坐标平面上的点对 ,*Nn若三点 BAM,共线，（1）求数列 n的通项公式； （2）若数列 b满足： nnaabbc 212log，其中 nc是第三项为 8，公比为 4 的等比数列.求证：点列 1P(1， ),(),(),nP 在同一条直线上；（3）记数列 na、 的前 m项和分别为 mA和 B，对任意自然数 ，是否总存在与 n相关的自然数m，使得 mAbB？若存在，求出 与 的关系，若不存在，请说明理由23 （本题满分 18 分，第（1）题 5
24、分，第（2）题 8 分，第（3）题 5 分）设函数 ()fx的定义域为 D，值域为 B，如果存在函数 ()xgt，使得函数 ()yfgt的值域仍然是 ，那么，称函数 ()gt是函数 ()fx的一 个等值域变换，（1 ）判断下列 t是不是 f的一个等值域变换？说明你的理由；()2,fxbR， Rttx,32；1， ()；（2）设 2()logf的值域 1,B，已知23()1mtnxg是 ()fx的一个等值域变换，且函数 t的定义域为 ，求实数 mn的值；（3）设函数 ()fx的定义域为 D，值域为 ，函数 ()t的定义域为 1D，值域为 1B，写出 ()xgt是()fx的一个等值域变换的充分非必
25、要条件（不必证明） ，并举例说明条件的不必要性2012 学上海市高三年级第一学期数学练习试卷（理科）(一)参考答案1 B 或 0,22 33 4 8 5 236 2 7 3 8 20i （答案不唯一） 9 10 316 11 2500 12 10 13 x 14 56、9 1415B 16 D 17 B 18 A19 如图所示，在一条海防警戒线上的点 、 B、 C处各有一个水声监测点， B、 C两点到点 A的距离分别为 20千米和 5千米某时刻， 收到发自静止目标 P的一个声波信号，8 秒后 、 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5千米/秒（1）设 A到 P的距离为 x千米
26、，用 表示 ， 到 的距离，并求 x的值；（2）求 到海防警戒线 C的距离（结果精确到 0.千米） 解：依题意，有 ， 28.xxPB. 在PAB 中，AB=20B2cos2 53)1(2同理，在PAB 中，AC=50APA xx50 ,coscsC 23 解之，得 31(2)作 PD D，于在ADP 中，由 3125sP 得 24cos1sin2PADP 3.8432inA千米答：静止目标 到海防警戒线 C的距离为 千米。20 设在直三棱柱 1B中， 12B， 90BC， ,EF依次为 1,CB的中点 （1）求异面直线 、 EF所成角 的大小（用反三角函数值表示） ；（2）求点 到平面 A的
27、距离解：以 A 为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为 )2,0(1A， ),(，),0(1B， )1,2(， )0,(（1） ,， 1,EF， 3624cos1EFB 36arcos（2）设平面 A的一个法向量为 ),(ban， ),0(A， )0,1(由 0AFnE 得 02bac 令 1a 可得 )2,1(n ),(1B 61nBAd点 1B到平面 AEF的距离为 621 （本题 16 分，其中第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）已知椭圆 E的方程为21(0)xyab，长轴是短轴的 2 倍，且椭圆 过点 2(,)，斜率为k的直线 l过点 (0,)A， n为直线 l的一个法向量，坐
28、标平面上的点 B满足条件 nA（1）写出椭圆 方 程，并求点 B到直线 的距离；（2）若椭圆 上恰好存在 3 个这样的点 ，求 k的值解：（1）由题意得 12ba解得 1,42ba 椭圆 E方程为： 142yx 直线 l的方程为 kxy，其一个法向量 ),(kn，设点 B 的坐标为 ),(0，由),(0xAB及 nAB 得 201kyx 到直线 2的距离为 2d （2）由（1）知，点 B 是椭圆 E上到直线 l的距离为 1 的点，即与直线 l的距离为 1 的二条平行线与椭圆 E恰好有三个交点。 设与直线 平行的直线方程为 tkxy由 42yxtk得 4)(22tkx，即 048)(22)1(6
29、)(416 22tkttk 当 时， 12tk又由两平行线间的距离为 1，可得 2t把代入得 4)2(2tt，即 0136t， 0)1(3t即 t，或 31t 当 1t时，代入得 0k，代回得 或 当 k， 时，由知 此时两平行线 y和 3与椭圆 E只有一个交点，不合题意；当 3t时，代入得 12，代回得 31t或 t当 3102， t时，由知 0此时两平行线 3102xy和 3102xy，与椭圆 E有三个交点， 3102k 22 （本题满分 16 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分，第（3）小题 4 分）设 nb，a是两个数列，点 )2,(),(),1nBaAMn为直角坐标平
30、面上的点对 ,*Nn若三点BAM,共线， （1）求数列 n的通项公式； （2）若数列 nb满足：naabc 212log，其中 nc是第三项为 8，公比为 4 的等比数列.求证：点列 1P(1，),(),(),1nPb在同一条直线上；（3）记数列 、 的前 m项和分别为 mA和 B，对任意自然数 n，是否总存在与 n相关的自然数m，使得 nmnAB？若存在，求出 与 n的关系，若不存在，请说明理由解：（1）因三点 nM,共线， 122na得 )1(2nan故数列 na的通项公式为 na2（2）由题意 348nnc ， )(2)(21n 由题意得 nn abbanabbanc 2121,32,3
31、221n )32(1n当 n时， )86()52()13)(nban4.当 n=1 时， b，也适合上式， 4bn)(*N 因为两点 nP、1的斜率 31)(1nKn )(*N为常数所以点列 （1， ,),2(),bPb 在同一条直线上. （3）由 an 得 mmA2)(；4bn得 Bm53212 若 mnnAbBa，则)(4)53(2nnam)21(41 12n对任意自然数 ，当 1时，总有 mnAbBa成立。23 （本题满分 18 分，第（1）题 5 分，第（2）题 8 分，第（3）题 5 分）设函数 )(xfy的定义域为 D，值域为 B，如果存在函数 ()xgt，使得函数 ()yfgt的
32、值域仍然是 B，那么，称函数 ()gt是函数 )(xfy的一个等值域变换，（1）判断下列 是不是 的一个等值域变换？说明你的理由；()A2,fxbR， 23,xttR； 2()1,fxxR， ()2,tR；（2）设 ()log的值域 1B，已知 3mtng是 fy的一个等值域变换，且函数 ft的定义域为 ，求实数 ,n的值；（3）设函数 )(xfy的定义域为 D，值域为 ，函数 ()t的定义域为 1D，值域为 1B，写出()xgt是 的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明） ，并举例说明条件的不必要性解：（1） A：函数 2,fbxR的值域为 ， 223()xtt2(1)4yftt，所以，
33、 ()g不是 )f的一个等值域变换； ()B： 3()x，即 f的值域为 ,4，当 Rt时， 42)(tgf ，即 ()yt的值域仍为 3,)，所以， t是 的一个等值域变换； 5 分（2） 2lofx的值域为 3,1，由 3log2x知 8x，即 2(logfx定义域为 ,8，因为 ()是 f的一个等值域变换，且函数 ()ft的定义域为 R，所以， 2,mtngtR的值域为 ,8， 2 2238(1)3(1)1t tnt，所以，恒有 2()0()tn，且存在 12,使两个等号分别成立，于是 0)8(49221nm，解得 235nm或 235n（3）设函数 ()fx的定义域为 D，值域为 B，函数 ()gt的定义域为 1D，值域为 1B，则 ()xgt是()fx的一个等值域变换的充分非必要条件是“ = 1” 条件的不必要性的一个例子是 2)(xf， R， ),012tg， R， ,1此时 BD，但 )(ttgf的值域仍为 ,，即 )(tx是 2f)(的一个等值域变换。 （反例不唯一）
