1、2018届高三六校第一次联考理科数学一、选择题（本大题 12小题，每小题满分 5分，公共 60分）1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 或 综上所述，故选 2. 欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它的复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示对的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由题意， ，即 ，所以是第二象限，故选 B。3. 已知 ， ，且 ，则 为（
2、） A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意 ， 故选B考点：向量的模4. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】第 1次判断后 S=1，k=1，第 2次判断后 S=2，k=2，第 3次判断后 S=8，k=3，第 4次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.故选 C.视频5. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数为偶函数，故排除 B.当 时， , ，当 时， ，函数单调递减，当 时，函数单调递增故选 D.6. 下列选项中，说法正确的是（ ） A. 若 ，则B. 向量 ， 垂直
3、的充要条件是C. 命题“ ， ”的否定命题是“ ， ”D. 已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题“若 ，则 在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D【解析】 为增函数， ，则 ，故不对；两个向量垂直的充要条件为 ，则 ， ，故 不对；该命题的否命题是“ ， ”；逆命题为若 在区间 内至少有一个零点，则 故选 7. 已知 ， 为异面直线， ， 为平面， ， 直线 满足 ， ， 则（ ） A. ，且 B. ，且C. 与 相交，且交线垂直于 D. 与 相交，且交线平行于【答案】D【解析】若 ,则 ,与 是异面直线矛盾;过点 O,分别作 ，且 ，则 确定一平面，则 ，设 与 相交于
4、 ，则 ，且 ,因此 ,从而 ，选 D.8. 若 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，4） ，化目标函数 z=3xy 为 y=3xz，由图可知，当直线 过 A时可知取得最值，代入得 2点睛：画出可行域，将目标函数化成截距式，截距越小，目标函数值越大9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司 年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 ，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 万元的年份是（ ） （参考数据： ， ， ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年【答案】
5、B【解析】试题分析：设从 2015年开始第 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元，由已知得 ，两边取常用对数得 ，故从 2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元，故选 B.【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解视频10. 已知函数 ，下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于点 中线对称 B. 的图象关于 对称C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】 项，因为即
6、 ，故函数图象关于点 成中心对称故 正确；项， 故函数图象关于直线 对称，故 项正确；项， ，令 ，令 ，得 或 ，根据函数的单调性分析得 有极大值 ，而当 时， ， 时， ，所以 时， 取得最大值 ，即的最大值为 ，故 项错误；项，因为 ，所以函数 是奇函数，且图象关于对称，即 ， ，因此 ，从而即函数是以 为周期的奇函数故 项正确故选 11. 数列 满足 ，且 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】，即 ，故选 12. 已知函数 ，则 的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 t=f(x),F(x)=0，则 f(t)2t =0，分别作出 y=f
7、(x)和直线 y=2x+ ，由图象可得有两个交点,横坐标设为 t1,t2，则 t1=0,1t22，即有 f(x)=0有一根；1f(x)2时, t2=f(x)有 3个不等实根，综上可得 F(x)=0的实根个数为 4，即函数 F(x)=ff(x)2f(x) 的零点个数是 4.本题选择 A选项.二、填空题（本大题 4小题，每小题满分 5分，共 20分）13. 若 ，则 的二项展开式中 的系数为_【答案】180【解析】 ， 则 的二项展开式中， 的系数为 即答案为 14. 已知直线 与圆 交于两点 ， ，且 为等边三角形，则圆 的面积为_【答案】【解析】圆 化为 ，即 ，且圆心 ，半径 直线 和圆 相
8、交， 为等边三角形，圆心 到直线 的距离为 ，即 计算得出 圆 的面积为 即答案为 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据 为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解题的关键15. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是_【答案】【解析】设 对函数 求导可得 ，直线 的斜率为 ，曲线 在 点处切线的斜率为 ，解得 ，代入可得 所以点 的坐标是 即答案为 16. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 位的二进制数 ，其中， 的各位数字中 ， 出现 的概率为 ，出现 的概率为 ，若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得 分，失败一次得 分则 次重复试验的总得分 的方差
9、为_【答案】【解析】启动一次出现数字为 A=10101的概率 由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有 的数学方差为设得分为所以 = 点睛:认识到实验次数是符合二项分布,分数和次数满足一定的关系,，再由方差的公式三、解答题（共 70分）17. 在 ， ， （ ）若 ，求 的长（ ）若点 在边 上， ， ， 为垂足 ， ，求角 的值【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）设 ,通过 ，求解即可（2）在 中，由正弦定理可得 ， ，转化求解 即可.试题解析;（ ）设 ，则由余弦定理有：，即 ，计算得出 ，所以 （ ）因为 ，所以在 中，由正弦定理可得：，因为 ，所以 所
10、以 ，所以 .18. 如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， （ ）求证：平面 平面 （ ）求二面角 的余弦值【答案】(1)见解析；（2）余弦值为 .【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。（I）证明：取 的中点 ，连接为等腰直角三角形2分又是等边三角形，又， 4分，又平面 平面 ;6分（II）以 中点 为坐标原点，以 所在直线为 轴, 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系如图所示
11、，则8分设平面 的法向量，即 ，解得 ，设平面 的法向量，即 ，解得 ，10分所以二面角 的余弦值为 12分19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权集团在该地区随机初步勘探了部分几口井取得了地质资料，进入全面勘探时期后集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高如果新设计的井位与原有井位重合或接近便利用旧并的地质资料不必打这日新并，以节约勘探费与用，勘探初期数据资料见如表：井号坐标钻探深度出油量（参考公式和计算结果： ， ， ， ） （ ） 号旧井位置线性分布，借助前 组数据求得回归直线方程为 ，求 的值（ ）现准备勘探新井 ，若通过 ， ， ， 号井计算出的 ， 的值（
12、 ， 精确到）相比于（ ）中的 ， ，值之差不超过 则使用位置最接近的已有旧井 否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（ ）设出油量与勘探深度的比值 不低于 的勘探井称为优质井，那么在原有 口井中任意勘探 口井，求勘探优质井数 的分布列与数学期望【答案】 （1） ；（2）使用位置最接近的已有旧井 ；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）计算 、 ，求出回归系数 ，写出回归直线方程；（2）计算 、 ，求出回归系数，计算 ， 的值（ ， 精确到 ）相比于（ ）中的 ， ，值之差，即可得出结论；（3）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值试题解析;利用前 组数据得到， ， ，回归直线方程为 当 时，
13、 ， 的预报值为 ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ，均不超过 使用位置最接近的已有旧井 由题意， ， ， ， 这 口井是优质井， ， 这两口井是非优质井，勘察优质井数 的可能取值为 ， ， ，可得， ， 的分布列为：20. 已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形（ ）求椭圆的方程（ ）动直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题设知 a= ，所以 ，椭圆经过点 P（1， ） ，代入可得b=1，a= ，由此
14、可知所求椭圆方程（2）首先求出动直线过（0， ）点当 l与 x轴平行时，以 AB为直径的圆的方程：x2+（y+ ） 2= ；当 l与 y轴平行时，以 AB为直径的圆的方程：x 2+y2=1由由此入手可求出点 T的坐标解：（1）椭圆 ： （ ）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ，又椭圆经过点 ，代入可得 . ，故所求椭圆方程为 .（2）首先求出动直线过 点.当 与 轴平行时，以 为直径的圆的方程：当 与 轴平行时，以 为直径的圆的方程：由 解得即两圆相切于点 ，因此，所求的点 如果存在，只能是 ，事实上，点 就是所求的点.证明如下：当直线 垂直于 轴时，以 为直径的圆过点当直线
15、 不垂直于 轴，可设直线 ：由 消去 得：记点 、 ，则又因为 ，所以 所以 ，即以 为直径的圆恒过点所以在坐标平面上存在一个定点 满足条件.21. 设函数 有两个极值点 ， ，且 （ ）求 的取值范围，并讨论 的单调性（ ）证明： 【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析 : （1）先确定函数的定义域然后求导数 ，由题意知 ， 是方程的两个均大于-1 的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 和 ，求出单调区间；（2） 是方程 的根，将 用 表示，消去 得到关于 的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式试题解析 :（ ）由题意知，函数 的定义
16、域是 ，且 有两个不同的实数根 ， ，故 的判别式 ，即 ，且， ，又 ，故 因此 的取值范围是 当 变化时 与 的变化情况如下表：极大值 极小值因此 在区间 和 是增函数，在 上是减函数（ ）由题意和知， ， ，于是 设函数 ，则 当 时， ，当 时， ，故 在 上是增函数于是，当 ， 因此 .22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数， ） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 （ ）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最小值（ ）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围【答案】 （1）点 到直线 的
17、距离的最小值为 ；（2） 的取值范围为 .【解析】试题分析：（）利用点到直线的距离公式，结合三角函数化一公式求最值;（）由题意对 ，有 恒成立，转化为最值问题.试题解析：（）由 ，得 ，化成直角坐标方程，得 ，即直线 的方程为 . 依题意，设 ，则到直线 的距离 ，当 ，即 时， .故点 到直线 的距离的最小值为 .（） 曲线 上的所有点均在直线 的右下方，对 ，有 恒成立，即 （其中 ）恒成立，又 ，解得 ，故 的取值范围为 .23. 已知 （ ）将 的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象（ ）若 ，对 ， ， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）讨论 的范围： ，去绝对值，可得 的分段函数的解析式，由分段函数图象画法可得其图象；（2）运用乘 1法和基本不等式，可得， 的最小值，由题意可得 ，结合图象即可得到所求 x的范围试题解析：（ ）由已知，得 ，函数 的图象如图所示：（ ）因为 ， ，且 ，所以 当且仅当 ，即 ， 时等号成立因为 恒成立，所以 ，结合图象知 ，所以 的取值范围是 【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法和图象的画法，考查不等式恒成立问题的解法，考查不等式的解法，解题时运用基本不等式注意等号成立的条件， ，同时注意数形结合思想方法的运用
