1、海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2017.11第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 ， ，则 （）|20Ax|1xBeAB（A） （B）R(,2)（C） （D ）(0,) （2）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 （）(0,)（A） （B）()ln|fx()2xf（C） （D ）3（3）已知向量 ， ，则 （）(1,0)a(,1)b（A） （B）/ ab（C） （D ）()()（4）已知数列 满足 ，则 （）na1221,3.n（A） （B）100a（C） （D
2、 ）220（5）将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为（）sin()6yx6（A） （B） cosyx（C） （D ）si(2)3yxin(2)6（6）设 ，则“ 是第一象限角”是“ ”的 （）Rsic1（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设 （ ） ，则下列说法不正确的是 （）sinsiexxfR（A） 为 上偶函数 （B） 为 的一个周期fx（C） 为 的一个极小值点 （D ） 在区间 上单调递减fx (0,)2（8）已知非空集合 满足以下两个条件：,AB（） ， ；1234,56AB（） 的元素个数不是 中的元
3、素， 的元素个数不是 中的元素，B则有序集合对 的个数为 （）,AB（A） （B） （C） （D）10121416第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）定积分 的值等于13xd（10）设在海拔 （单位：m）处的大气压强 （单位：kPa） ， 与 的函数关系可近似表示为yyx，已知在海拔 1000 m 处的大气压强为 90 kPa，则根据函数关系式，在海拔 2000 m 处的大气压0eaxy强为 kPa（11）能够说明“设 是实数若 ，则 ”是假命题的一个实数 的值为1x3xx（12）已知 是边长为 2 的正三角形， ， 分别为边 ， 的
4、中点，则ABCODABC ；D若 ，则 Oxyxy（13）已知函数 （其中 ， ）1()sin)f02的部分图象如图所示，则 ， （14）已知函数 是定义在 上的奇函数，xR当 时， ，其中 02()fax ；(1)f若 的值域是 ，则 的取值范围是xR三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知函数 ()2cosin()14fxx（）求 的值；4（）求 在区间 上的最大值和最小值()fx0,2（16） （本小题 13 分）已知 是等比数列，满足 ， ，数列 满足 ，且 是公差为 2 的na26a=318-nb12nba等差数
5、列（）求数列 和 的通项公式；nb（）求数列 的前 项和（17） （本小题 13 分）已知函数 ，其中 ()(1)lnafxx0（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf(,1)f（）求 在区间 上的最小值 （其中 是自然对数的底数）()fx,ee（18） （本小题 13 分）如图，在四边形 中， ，且 为正三角形.ACBD1cos7ABCCBDA（）求 的值；cosBAD（）若 ， ，求 和 的长.4CD3BAD（19） （本小题 14 分）已知函数 （ ） ， （ ）()2esinxf0x()1lngxmR（）求 的单调区间；x（）求证：1 是 的唯一极小值点；()g（）若存在 ，
6、，满足 ，求 的取值范围.（只需写出结论）a0,b()fagbm（20） （本小题 14 分）若数列 ： ， ， （ ）中 （ ）且对任意的A1a2n3*iaN1in21kn恒成立，则称数列 为“ 数列” 1kkaAU（）若数列 ， ， ， 为“ 数列” ，写出所有可能的 ， ；xy7xy（）若“ 数列” ： ， ， 中， ， ，求 的最大值；U1a2n1a2017nn（）设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ： ， ， ，0nUAa0记 ，其中 表示 ， ， 这 个数中最大的数，求 的012max,.nM12max,.s1x2sxM最小值海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.
7、11数 学（理科） 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 C A D D B C D A二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分)9 0 1081 112 12 （1） （2）3113 ， 14 （1） （2）23(,04,)三、解答题: 本大题共 4 小题，共 44 分.15 （本题 13 分）解：（）因为 1 分()2cosin1442f2 分3 分 1（）
8、()2cosin()14fxx4 分2(i+cos)x22sincos1x8 分（一个公式 2 分）10 分2sin()4x因为 ， 所以 11 分0524x所以 故 2sin12sin24x当 即 时， 有最大值,4x8x()fx当 即 时， 有最小值 13 分52,2()f1（函数最大值和最小值结果正确 1 分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值 1 分）16 （本题 13 分）解：（）设数列 的公比为 ，则naq2 分 21368q解得 ， 3 分1a3所以， 5 分12()nn令 ，则 cb112cba7 分()nn9 分1(32nncab（） 13 分 )4nnS（分组求和，每
9、组求对给 2 分）17 （本题 13 分）解：（）当 时， ， ，1 分2a2()3lnfxx2(1)xf此时， ， ， 2 分(1)f0f故曲线 在点 处的切线方程为 3 分yx(,1)1y（） 的定义域为 4 分()lnaf x(0,)5 分221()()fx令 得， 或 6 分0fax 当 时，1对任意的 ， ， 在 上单调递增 7 分xe()0f()fx1,e 8 分()()ffa最 小 当 时1aex(1,)aa(,)ae()f0 极小 10 分()()1()lnfxfaa最 小11 分 当 时，e对任意的 ， ， 在 上单调递减 12 分1x()0f()fx1,e 13 分()1a
10、ffe最 小由、可知，,01()1()ln,agaeee18 （本题 13 分）解：（）因为 ，1cos7CAD(0,)所以 43in 2 分 （没写角取值范围的扣 1 分 ）所以 cosBAD()3C4 分 cossinsi3AA14372 6 分CBDA（）设 ， ，在 和 中由余弦定理得ABCxADyCABD10 分2 2cosB（每个公式给 2 分）代入得 21673xyx解得 或 （舍）7xy即 ， 13 分ABD19 （本题 14 分）解：（） 因为 2 分()2sincos)xxfei(4x令 ，得()0fsin()0因为 ，所以 3 分x34x当 变化时， ， 的变化情况如下：
11、()ffx30,4343(,)4()f 0A极大值 A 5 分故 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ()fx3(0,)4(fx3(,)4 6 分（）证明： ()1lngxxm（ ） ， 7 分ln0设 ，则 1()lnhxgx 21()0hx故 在 是单调递增函数， 8 分0,)又 ，故方程 只有唯一实根 10 分(1)g(0gx1x当 变化时， ， 的变化情况如下：x)(,1)1 (1,)()g0A极小值 A12 分故 在 时取得极小值 ，即 1 是 的唯一极小值点 . ()gx1()gm()gx（） 14 分34me20 （本题 14 分）解：（） ， 或 3 分12xy324xy（
12、） 的最大值为 ，理由如下 4 分n65一方面，注意到： 1112kkkkaaa对任意的 ，令 ，则 且 （ ） ，故i1iiibibZb21n对任意的 恒成立 （）1kb2kn当 ， 时，注意到 ，得a07n1210a（ ）12()()()iiiibbbi21in此时 12102()2nna n即 ，解得： ，故 7 分()072656另一方面，取 （ ） ，则对任意的 ， ，故数列 为“1ib4i24k1kbna数列 ”，此时 ，即 符合题意 U6510263017a65n综上， 的最大值为 65 9 分n（） 的最小值为 ，证明如下： 10 分M208n当 （ ， ）时，0nm*N一方面：由（）式， ，1kb1121()()()mmkmkkkbbm此时有： 1212211()()(1)mmmaabbb 故 13 分2221 0()82maanM 另一方面，当 ， ， ， ， ，1bm1bm1b时，21mb1()()0kkkkkaaa 取 ，则 ， ， ，且1m123m122mma1121()()ab21221()()1mmmb 此时 012 8()nMa综上， 的最小值为 14 分08n
