1、第十五章 坐标系与参数方程,高考理数,考点一 坐标系与极坐标 1.极坐标系,在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.O点称为极点,Ox称为极轴.平面上任一点 M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角 度来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(,) 称为点M的极坐标.称为 极径 ,称为 极角 .,知识清单,2.极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(,).由图可知下面 的关系式成立:,或 顺便指出,上式对0也成立. 这就是极坐标与直角坐标的
2、互化公式. 3.圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为=R. (2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为=2acos . (3)圆心在点 处且过极点O的圆的极坐标方程为 =2asin .,注意 当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要求圆的极坐标方程,通 常把极点放置在圆心处,极轴与x轴同向,然后运用极坐标与直角坐标的 互化公式:或 4.简单曲线的极坐标方程,考点二 参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个 变数t的函数: 并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那
3、么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐 标间关系的方程叫做普通方程. 2.直线的参数方程 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为 y-y0=k(x-x0)(k0).,其中k=tan ,为直线的倾斜角,代入上式,得 y-y0= (x-x0),0且 ,即 = . 记上式的比值为t,整理后得 t为参数. 3.圆的参数方程 若圆心为点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为 为参数. 4.椭圆的参数方程 椭圆 + =1(ab0)的参数方程为 (为参数).,5.抛物线的参数方程是 t为参数. 【知识拓
4、展】 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)前提条件:(i)极点与原点重合;(ii)极轴与x轴正向重合;(iii)取相同的单 位长度. (2)若把直角坐标化为极坐标,求极角时,应注意判断角的终边所在的象 限,以便正确地求出角. 2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技巧(如 整体代换);二要注意变量取值范围的一致性,这一点最易忽视.,3.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|; (2)定点M0是弦M1M2的中点t1+t2=0; (3)设弦M1M2的中点为M,则点M对应的
5、参数值tM= (由此可求|M2M|及 中点坐标).,若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,则 极坐标方程与直角坐标方程可以互化,极坐标方程化为直角坐标方程 时,通常通过变形构造cos ,sin ,2的形式进行解决,其中方程的两边 同乘或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的等价性. 例1 (2017河北衡水中学期末,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为 极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方 程分别为cos +2sin =0,2= . (1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程; (2)若点Q是椭圆C上的动点,求点Q到直线l的距离的最大值.,极坐
6、标方程与直角坐标方程的互化方法,方法技巧,解题导引,解析 (1)cos +2sin =0cos +2sin =0x+2y=0. 2= 2cos2+42sin2=4x2+4y2=4 +y2=1. 所以直线l与椭圆C的直角坐标方程分别为x+2y=0, +y2=1. (2)因为椭圆C: +y2=1的参数方程为 (为参数),所以可设点 Q(2cos ,sin ), 因此点Q到直线l:x+2y=0的距离 d= = , 所以当+ =k+ (kZ),即=k+ 时,d取最大值 .,将参数方程中的参数消去便得到普通方程,消去参数时常用的方法是代 入法,有时也根据参数的特征,通过对参数方程的加、减、乘、除、乘 方
7、等运算而消去参数,消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的 坐标的影响,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的 等价性.,参数方程与普通方程的互化方法,例2 (2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程 为 (t为参数),直线l2的参数方程为 (m为参数).设l1与l2 的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos + sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径.,解题导引,解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方 程l2:y= (x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立 得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =- ,从而cos2= ,sin2= . 代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为 .,方法总结 极坐标问题既可以化为直角坐标处理,也可以直接用极坐标 求解.但要注意极径、极角的取值范围,避免漏根或增根.,
