1、2.4.2 应用导数求参数的值或参数的范围,-2-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求参数的值 例1(2018全国卷2,理21)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.,解: (1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)单调递减.而g(0)=0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1.,-3-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,(2
2、)设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点. ()当a0时,h(x)0,h(x)没有零点;()当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单,-4-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.,-5-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练1(2018辽宁凌源一模,文21节选)已知函数f(x)=x
3、ex. (1)略; (2)若直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点的横坐标为t,且tm,m+1,求整数m所有可能的值.,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,已知函数有极值求参数范围 例2(2018山西吕梁一模,理21)已知函数f(x)= -a(x-ln x). (1)当a0时,试求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.,当a0时,对于x(0,+),ex-ax0恒成立,f(x)0x1,f(x)00x1.f(x)单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1).,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-8-,考向一,考向二,考向三,考向四
4、,考向五,设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一. 当ae时,当x(0,1)时,f(x)0恒成立,f(x)单调递增,f(x)在(0,1)内无极值. 综上,a的取值范围为(e,+).,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得f(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)=0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验证f(x)在(0,1)内有极值.,-10-,考向一,考向二,
5、考向三,考向四,考向五,对点训练 2(2018北京丰台一模,理20节选)已知函数f(x)=ex-a(ln x+1)(aR). (1)略; (2)若函数y=f(x)在 上有极值,求a的取值范围.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,在函数不等式恒成立中求参数范围 例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x). (1)略; (2)若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)略. (2)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),令g(x)=2ax2+ax+1-a(x0),
6、 当a=0时,g(x)=1,则f(x)0在(0,+)上恒成立, 则f(x)在(0,+)上单调递增, f(0)=0,x(0,+)时,f(x)0,符合题意. 当a0时,由=a(9a-8)0,得00,符合题意.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,又f(0)=0,x(0,+)时,f(x)0,符合题意. 当a1时,由g(0)=1-a0,x(0,x2)时,f(x)单调递减, 又f(0)=0,x(0,x2)时,f(x)0,可知x20,x(x2,+)时,g(x)0不恒成立,当a1- 时,ax2+(1-a)x0,此时f(x)0,不符合题意,舍去.
7、 综上所述a的取值范围为0,1.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得1.在f(x)0的情况下,讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)min0得a的范围合并a的范围. 2.若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.即求当x0,f(x)0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围,当x0,f(x)0,或者能够说明a取什么范围f(x)0,为此还是研究f(x)在(0,+)上的单调性.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 3(2018福建龙岩4月质检,理21节选)已知函数f(x)=(x-2)ex-a(x+2)
8、2. (1)略; (2)当x0时,恒有f(2x)+4a+20成立,求a的取值范围.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)略. (2)设h(x)=f(2x)+4a+2, 则h(x)=(2x-2)e2x-a(2x+2)2+4a+2,且h(0)=0.因为h(x)=(4x-2)e2x-8ax-8a,得h(x)=8xe2x-8a(x0),且函数h(x)在0,+)上单调递增. ()当-8a0,即a0时,有h(x)0,此时函数h(x)在0,+)上单调递增,则h(x)h(0)=-2-8a, 若-2-8a0,即a- 时,h(x)在0,+)上单调递增,则h(x)h(0)=0,符合题意;
9、若-2-8a0满足h(x0)=0,x(0,x0),h(x)0时,有h(0)=-8a0满足h(x1)=0,x(0,x1),h(x1)0,此时h(x)在(0,x1)上单调递减,h(x)h(0)=-8a-20,此时函数h(x)在(0,x1)上单调递减,不符合题意.综上,实数a的取值范围是a- .,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,在两变量函数不等式恒成立中求参数范围(多维探究),-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得含有两个变量的函数不等式恒成立问题,可以转化为最值问题去解决,例如:存在x1,x2m,n,使得f(x
10、1)-af(x2)恒成立f(x)minf(x)max+a;存在x1,x2m,n使|f(x1)-f(x2)|a恒成立|f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)mina恒成立.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练4(2018吉林长春外国语学校二模,文21节选)已知函数f(x)=ax+ln x(aR). (1)略; (2)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1(0,+),均存在x20,1,使得f(x1)g(x2),求a的取值范围.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,例5(2018青海西宁一模,
11、文21节选)设f(x)=ln x,g(x)= x|x|. (1)略; (2)若任意x1,x21,+)且x1x2f(x2)-x1f(x1)恒成立,求实数m的取值范围.,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得在含有两变量的函数不等式恒成立问题中求参数范围,其一般思路是通过已知条件或隐含的条件,将两个变量的函数不等式,转换成一个变量的函数不等式,即转换成了本节考向二中的已知函数不等式恒成立求参数范围.,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 5设函数f(x)=emx+x2-mx. (1)证明f(x)在(-,0)
12、单调递减,在(0,+)单调递增; (2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0.若m0,f(x)0.所以,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增. (2)由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0单调递减,在0,1单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值. 所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,设函
13、数g(t)=et-t-e+1,则g(t)=et-1. 当t0时,g(t)0. 故g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增. 又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,g(m)0,即em-me-1; 当m0, 即e-m+me-1. 综上,m的取值范围是-1,1.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,已知函数零点求参数范围(多维探究) 例6已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解: (1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(
14、aex-1)(2ex+1). 若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+)单调递增.,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)分类讨论法:分类讨论就是将所有可能出现的情况进行分类,然后逐个论证,它属于完全归纳. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题
15、加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 6已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,求a的取值范围.,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,例7已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解 (1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(
16、x-1)(ex+2a). ()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0. 所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增. ()设a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a=- ,则f(x)=(x-1)(ex-e), 所以f(x)在(-,+)单调递增.,-39-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,若a- ,则ln(-2a)0; 当x(ln(-2a),1)时,f(x)1, 故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0; 当x(1,ln(-2a)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)单调递增, 在(1,ln(-2a)单调递减.,-40-
17、,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-41-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得对于已知函数零点个数求参数的范围的高考题,通常采用分类讨论法,依据题目中的函数解析式的构成,将参数分类,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即为所求参数范围.,-42-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练7已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR). (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 上有两个零点,求实数m的取值范围.,-43-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,
