1、第四章 定积分 1 定积分的概念 1.1 定积分的背景面积和路程问题,我们学过如何求正方形、长方形、三角形和梯形等平面图形的面积；这些图形都是由直线围成的。那么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢？本章我们要学习的定积分，就可以帮助我们解 决这些问题。当然定积分还可以解决变速度的路程问题，变力作功问题。它也是我们解决实际问题的有力的工具。这节课我们学习定积分的背景-面积和路程问题,引入,图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，,a,b,曲边梯形定义：,我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。,
2、那么如何求曲边梯形面积呢？,探究点1：定积分的几何背景曲边图形的面积问题,我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。我们用正多边形逼近圆的方法 (即“以直代曲”) 求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？,圆也是由曲线围成的平面图形，它的面积怎样求昵？,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲
3、,无限逼近,将区间a，b平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”， 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个 小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边 梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形 的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；（2）近似代替；（3）逼近。,问题1 图中阴影部分是由抛物线 ，直线 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S .,分析 首先，将区间0，15等分，如图所示.,图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所
4、求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有,（1）,图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有,.,（2）,思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？ 提示：二者之差为S1-s1=0.2,如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2.,（3）,1,(4),不足估计值为,二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.,结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲
5、边梯形的面积.,.,.,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。,（4）取极限,抽象概括,我们通过“以直代曲”和“逼近思想”方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：,分割区间,过剩估计值 不足估计值,逼近所求面积,所分区间长度趋于 0,估计值趋于所求值,动手做一做,求曲线y= 与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，1 5等分来估计）,解析： 把区间 0，1 5等分，以每一个小区间 左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足 估计值 和过剩估计值 ， 如下：,估计误差不会超过 - =0.2,探究点2 定积分的
6、物理背景-估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？,问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .,分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离： s=255=125(m) 但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离. 首先，将滑行的时
7、间5s平均分成5份. 我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：,由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽 车在5 s内滑行距离的过剩估计值. 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车 在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速 度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s，误差都不超过：,为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们
8、知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小. 比如，将滑行时间5s平均分成10份. 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：,结论： 滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：,无论用s2还是 表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,抽象概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求 曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：,分割区间,过剩估计值 不足估计值,逼近所求路程,所分区间长度趋于 0,估计值趋于所求值,1. 在
9、“近似替代”中，函数f(x)在区间xi,xi+1上的近似值等于（ ） A.只能是区间的左端点的函数值f(xi) B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) C.可以是区间内的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1） D.以上答案均正确 解析 以直代曲，可以把区间xi,xi+1上的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）作为小矩形的高.,C,2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区 间0,6内，将时间区间10等分时，物体下落的 距离的估计值可以为（ ） A.14g B.15g C.16g D.17g 解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在16.2g,19.8g之间.,D,3.求曲线 与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面 图形的面积时，把区间5等分，其估计误差不超过 _. 解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得 此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如 下：所以S-s=0.3.,0.3,1.曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值 不足估计值,逼近所求值,2.求面积和路程问题的步骤：,我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲 线 y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形.,本节课讲了几个问题？,
