1、函数的应用,31 函数与方程,31.1 方程的根与函数的零点,1.思考：一元二次方程 的根与二次函数,的图像有什么关系？,先观察下面几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数， 如：,容易知道，方程,有两个实根,;,函数,的图像与x 轴有,两个交点（-1,0），（3,0）,这样方程,方程,有两个相等的实根,2一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根及其相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写,3.对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与 有交点 函数yf(x)有 点,f(x)0,x轴,
2、零,由此可知，求方程f(x)的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。,例1 1.指出下列函数的零点： ,探究：,观察二次函数,的图像（如下图）,我们发现函数 在区间-2,1上有零点， 计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在 区2,4上是否也具有这样的特点呢？,可以发现，,，函数,在区间（-2,1）内有零点x=-1,它是方程,的一个根.同样地，,，函数,在（2,4）内有零点x=3,它是方程,的另一个根。,一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说， 我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数性质 找出零点，从而求出方程的根。,1一般结论 如果函数yf(x)
3、在区间a，b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c就是方程f(x)0的根零点c通常称作函数f(x)的变号零点,注意：f(x)的图象必须在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0时，才可确定f(x)在a，b上有零点,2函数变号零点的性质,对于任意函数yf(x)，只要它的图象是连续不间断的， 则有：,当它通过变号零点时，函数值变号如函数的图象在零点1的左边时，函数值取正号， 当它通过零点1时，函数值由正变为负，再通过第二个零 点3时，函数值又由负变正,在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,
4、3方程的根与函数的零点的作用,另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说， 我们可以将它与函数yf(x)联系起来，利用函数的性质找 出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值,一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出 函数图象的重要一步例如，求出二次函数的零点及其图象 的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图,例2已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间1,6上的零点至少有 ( ) A2个 B3个 C4个 D5个,答案 B,探究：讨论方程,的根的个数,（提示：先构造一个函数，可以借助计算器或计算机作 出x，f(x)的对应值表，并且利用此函数的单调性来说明）,随堂练习：,1、利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：,答案：（1）有，两个 （2）无（3）有，一个 （4）有，两个,2、函数 的两个零点是2和-4， 求a、b,3、函数 仅有一个零点，求实数a 的取值范围。,3若a0，则f(x)x1仅有一个零点1； 若a0，由14a0 得a，此时函数只有一个零点， 当a0或时，所给函数有且仅有一个零点,解析：2由题意知2和4是方程x2axb0的两根 a2，b8,课堂小结：,1、一元二次方程根与一元二次函数图像交点的关系,2、零点的概念,3、根的存在定理,作业：优化设计及同步练习,
