1、4.3 特殊三角形,了解等腰三角形和直角三角形的有关概念,掌握等腰三角形的判定,并会运用等腰三角形的性质解决问题,掌握直角三角形的性质和判定,理解等边三角形的性质和判定,掌握并运用勾股定理及其逆定理.掌握角平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握线段垂直平分线定理及其逆定理,并会利用它解决问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,素养提升,等腰三角形的性质与判定( 8年6考 ) 1.等腰三角形的性质 ( 1 )等腰三角形的两个底角 相等 ,简称“等边对等角”; ( 2 )等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 重合 ,简称“等腰三角形三线合一”; ( 3 )等腰三
2、角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线就是它的对称轴. 2.等腰三角形的判定 ( 1 )按定义:有两条边相等的三角形就是等腰三角形; ( 2 )有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”. 特别提醒 等腰三角形“三线合一”是证明两直线互相垂直的重要方法,也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,素养提升,3.等边三角形 ( 1 )等边三角形的性质 等边三角形的三条边都相等; 等边三角形的三个角都是 60 . ( 2 )等边三角形的判定 按定义:三边都相等的三角形是等边三角形; 三个角 都相等 的三角形是等边三角形; 有两个角是 60 的三
3、角形是等边三角形; 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形. ( 3 )等边三角形的面积的求法: . 名师点睛 等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.,考点扫描,素养提升,典例1 ( 2018合肥期末 )如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,CD是ACB的平分线交AB于点D,过点A作AEBC,交CD的延长线于点E.( 1 )求ADC的度数; ( 2 )求证:AE=AC; ( 3 )试问ADE是等腰三角形吗?请说明理由. 【解析】( 1 )利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出B=ACB=72,求出DCB,根据三角形外角性质求出即可;( 2 )
4、先判断出BCE=ACE,再判断出BCE=E,即可得出结论;( 3 )根据平行线求出EAD,根据三角形内角和定理求出ADE,即可得出答案.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,【答案】 ( 1 )AB=AC,BAC=36, B=ACB= ( 180-BAC )=72, CD是ACB的平分线,DCB= ACB=36, ADC=B+DCB=72+36=108. ( 2 )CD是ACB的平分线,BCE=ACE, AEBC,BCE=E,ACE=E,AE=AC. ( 3 )ADE是等腰三角形. 理由:AEBC,EAB=B=72, B=72,DCB=36, A
5、DE=BDC=180-72-36=72, EAD=ADE,AE=DE,即ADE是等腰三角形.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,提分训练 1.复习课上,老师给出一个问题“已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,求它的周长.”小华代表小组发言:“等腰三角形的边有两种,腰和底边,所以第一种情况5是腰长,6是底边长;第二种情况5是底边长,6是腰长,从而得最终结果为16或17.”小华的上述方法体现的数学思想是 ( ) A.公理化 B.分类讨论 C.数形结合 D.由特殊到一般 【解析】等腰三角形有两条边长为5和6,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,因此体现的数学思想是分类讨
6、论.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,2.( 2018合肥包河区模拟 )如图,在四边形ABCD中AC,BD为对角线,AB=BC=AC=BD,则ADC的大小为 ( )A.120 B.135 C.145 D.150,D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,直角三角形的性质与判定( 8年7考 ) 1.直角三角形的性质 ( 1 )直角三角形的两个锐角 互余 ; ( 2 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ; ( 3 )直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的 一半 ,等于斜边的一半的直角边所对的角是 30 ; ( 4 )勾股定理:直角三角形的两条直角边
7、的平方和等于斜边的平方. 名师点睛 已知直角三角形中的两边求第三边( 没有明确谁是斜边 )时,一般要分类讨论:所求边是斜边;已知两边中的较长边是斜边.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,2.直角三角形的判定 ( 1 )有两个角的和等于 90 的三角形是直角三角形; ( 2 )勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形( 这条边所对的角是直角 ). 补充:一条边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形( 这条边所对的角是直角 ). 3.直角三角形面积的求法( 其中a,b是直角边,h是斜边c上的高 ).,考点1,考点2,考
8、点3,考点4,考点扫描,素养提升,典例2 ( 2018湖北黄冈 )如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,BD=2,CE=5,则CD= ( ),【答案】 C,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,提分训练 3.( 2018广西贺州 )如图,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为 ( ),D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,初高中衔接 射影定理 在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 在RtA
9、BC中,ABC=90,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下: BD2=ADCD, AB2=ADAC, BC2=CDAC.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,角的平分线的性质与判定( 8年4考 ) 1.定义 在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线. 2.性质 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 3.判定 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上.,考点1
10、,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,典例3 如图,已知P是AOB的角平分线上的一点,AOB=60,PDOA,M是OP的中点,点C是OB上的一个动点,若PC的最小值为3 cm,则MD的长度为 ( ),【解析】当PCOB时,PC取最小值. P是AOB的角平分线上的一点,PDOA,PCOB,PD=PC=3,AOP=30, OP=2PD=6,PDOA,M是OP的中点,DM= OP=3. 【答案】 A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,【方法指导】 已知角的平分线及平分线上一点,要解决几何计算与证明问题,一般过角平分线上的一点作到两边的垂线.,考点1,考点2,考点3,考点4,
11、考点扫描,素养提升,提分训练 5.如图所示,在RtABC中,A=90,BD平分ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是 ( )A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】过点D作DEBC于点E,A=90,BD平分ABC,AD=DE,在RtABD中,A=90,AB=4,BD=5,由勾股定理得AD=3,DE=3,即点D到BC的距离是3.,B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,6.如图,BP,CP分别是ABC的外角CBD,ECB的平分线.小明经过分析后,得出了以下结论:点P在BAC的平分线上;BP=CP;点P到AD,AE,BC的距离相等.把你认为正确的结论的序号
12、写在横线上 .,【解析】过点P作PMAB于点M,PGAC于点G,PNBC于点N,由角平分线的性质得PM=PN=PG,正确;根据角平分线的判定定理知,点P在BAC的平分线上,正确;不成立.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点扫描,素养提升,线段的垂直平分线( 8年3考 ) 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 . 3.判定 与线段两个端点距离 相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上. 技巧点拨 解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接,利用垂直平分线的性质解题.,考点1,考点2,考点3,考点4
13、,考点扫描,素养提升,典例4 如图,在ABC中,ACB=90,分别以点A,B为圆心,大于 AB长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE,下列结论错误的是 ( )A.AD=CD B.BECD C.BEC=BDC D.BE平分CBD 【解析】由题可得,DE是AB的垂直平分线,AE=BE,AD=BD,在RtABC中,D是AB的中点,CD=AD,故A正确;DEAB,在RtADE中,AEAD,BECD,故B正确; BEC是等腰ABE的外角,BEC=2A,BDC是等腰ACD的外角, BDC=2A,BEC=BDC,故C正确;当A=30时,ABE=30=CBE,当A
14、=30时,BE平分ABC,而A不一定为30,BE不一定平分CBD,故D错误. 【答案】 D,考点扫描,素养提升,考点扫描,素养提升,2.等腰三角形中分类讨论问题 典例2 已知三角形ABC是等腰三角形. ( 1 )若A=80,求B的度数. ( 2 )当A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围. 【解析】( 1 )由于等腰三角形的顶角和底角没有明确,因此要分类讨论;( 2 )分两种情况:90x180;0x90,结合三角形内角和定理求解即可. 【答案】 ( 1 )若A为顶角,则B=( 180-A )2=50; 若A为
15、底角,B为顶角,则B=180-280=20; 若A为底角,B为底角,则B=80. 故B的度数为50或20或80.,考点扫描,素养提升,( 2 )分两种情况: 当90x180时,A只能为顶角, B的度数只有一个; 当0x90时,若A为顶角,即x60时,B有三个不同的度数. 综上所述,可知当0x90且x60时,B有三个不同的度数.,考点扫描,素养提升,3.与特殊三角形有关探究问题 典例3 ( 2018山东淄博 )( 1 )操作发现:如图,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接
16、GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是 ;位置关系是 . ( 2 )类比思考:如图,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. ( 3 )深入研究:如图,小明在( 2 )的基础上,又做了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.,考点扫描,素养提升,【解析】( 1 )利用SAS判断出ACDAEB,得出CD=BE,ADC=ABE,进而判断出BDC+DBH=90,即BHD=90,最后用三角形中位线定理即可得出结论;( 2 )
17、同( 1 )的方法即可得出结论;( 3 )同( 1 )的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )连接BE,CD相交于点H, ABD和ACE都是等腰直角三角形, AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90, CAD=BAE,ACDAEB( SAS ), CD=BE,ADC=ABE, BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90, BHD=90,CDBE, 点M,G分别是BD,BC的中点,CD=BE,MG=NG,MGNG.,考点扫描,素养提升,( 2 )成立.理由:连接CD,BE相交于点
18、H,同( 1 )的方法得MG=NG,MGNG. ( 3 )连接EB,DC,延长线相交于点H, 同( 1 )的方法得,ABEADC,MG=NG,AEB=ACD, CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE =ACD-45+180-ACD-45=90, DHE=90,同( 1 )的方法得MGNG. GMN为等腰直角三角形.,命题点1 结合勾股定理考查最值( 常考 ) 1.( 2016安徽第10题 )详见专题三典例1 命题点2 折叠与勾股定理综合( 常考 ) 2.如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( ),C,【解析】设BN=x,则AN=DN=9-x,点D是CB的中点,则BD=3, 在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,( 9-x )2=9+x2,解得x=4,即BN=4.,命题点3 线段垂直平分线的性质( 冷考 ) 3.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC. ( 1 )求证:AD=BC.,解:( 1 )GE是AB的垂直平分线, GA=GB.同理GD=GC. 在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGC,AD=BC.,
