1、5.2 矩形、菱形与正方形,理解矩形、菱形、正方形的概念;理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,能够熟练运用矩形、菱形、正方形的性质和判定证明或解决有关问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,矩形的性质与判定( 8年5考 ) 1.矩形的定义 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质 ( 1 )矩形的对边平行且相等. ( 2 )矩形的四个角都是直角. ( 3 )矩形的对角线相等且互相平分. 3.矩形的判定 ( 1 )有一个角是直角的 平行四边形 是矩形. ( 2 )有 三个角 是直角的四边形是矩形. ( 3 )对角线相等的平行四边形是矩形.,考点扫描,考点1,
2、考点2,考点3,素养提升,典例1 如图,DBAC,且DB= AC,E是AC的中点,( 1 )求证:BC=DE; ( 2 )连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给ABC添加什么条件,为什么? 【解析】( 1 )由已知条件先判定四边形DBCE是平行四边形即可证得结论;( 2 )从矩形的判定入手,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可添加条件.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,【答案】 ( 1 )E是AC的中点,EC= AC, DB= AC,DB=EC, 又DBAC, 四边形DBCE是平行四边形,BC=DE. ( 2 )添加条件AB=BC.理由如下: 连接AD,BE,DBAE,且
3、DB=AE, 四边形DBEA是平行四边形, BC=DE,AB=BC,AB=DE, 平行四边形DBEA是矩形.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,【方法指导】 以矩形为背景的相关计算 对于以矩形为背景的相关计算,可采取以下思路:( 1 )矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段长;( 2 )矩形的对角线相等且互相平分,故可借助对角线的关系得到全等三角形;( 3 )矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,运用时建立线段或角度的等量关系;( 4 )矩形中出现30角、60角、120角时,里面常常暗含等边三角形,解题时要留意.,考点扫描,考点1,考
4、点2,考点3,素养提升,提分训练 1.如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E. ( 1 )求证:DCAEAC. ( 2 )只需添加一个条件,即 ,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.,DCAEAC( SSS ). ( 2 )添加AD=BC( 答案不唯一 ),可使四边形ABCD为矩形. 理由:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形, CEAE,E=90, 由( 1 )得DCAEAC,D=E=90, 平行四边形ABCD为矩形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,菱形的性质与判定( 8年5考 ) 1.菱形的定义有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形. 2.菱
5、形的性质 ( 1 )菱形的四条边都相等. ( 2 )菱形的对角相等. ( 3 )菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定 ( 1 )有 一组邻边相等 的平行四边形是菱形. ( 2 )四条边 都相等 的四边形是菱形. ( 3 )对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,4.菱形面积的特殊求法 菱形面积等于对角线乘积的一半. 规律总结 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.,考点1,考点2,考点3,考点扫
6、描,素养提升,典例2 ( 2018广西 )如图,在ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,且BE=DF.( 1 )求证:ABCD是菱形; ( 2 )若AB=5,AC=6,求ABCD的面积. 【解析】( 1 )利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;( 2 )连接BD交AC于点O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )四边形ABCD是平行四边形, B=D, AEBC,AFCD,AEB=AFD=90, BE=DF,AEBAFD,AB=AD, 平行四边形ABCD是菱形. ( 2 )连接BD交AC于点O. 四边形AB
7、CD是菱形,AC=6,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 2.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点.下列结论: SADE=SEOD;四边形BFDE也是菱形;四边形ABCD的面积为EFBD; ADE=EDO;DEF是轴对称图形.其中正确的结论有 ( )A.5个 B.4个 C.3个 D.2个,B,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,3.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AEBD,BEAC,OE=CD. ( 1 )求证:四边形ABCD是菱形; ( 2 )若AD=2,则当四边形AB
8、CD的形状是 时,四边形AOBE的面积取得最大值是 . 【答案】 ( 1 )AEBD,BEAC, 四边形AEBO是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形,DC=AB. OE=CD,OE=AB,平行四边形AEBO是矩形, BOA=90,ACBD,平行四边形ABCD是菱形. ( 2 )正方形;2.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,正方形的性质与判定( 8年5考 ) 1.正方形的定义 有一组 邻边相等 并且 有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质 ( 1 )正方形的四条边都相等. ( 2 )正方形的四个角都是直角. ( 3 )正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每
9、一条对角线平分一组对角. 3.正方形的判定 ( 1 )有一个角是直角的 菱形 是正方形. ( 2 )有一组邻边相等的 矩形 是正方形. 名师点睛 判定正方形的总的思路就是要证明“既是菱形又是矩形”.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,典例3 ( 2018北京 )如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点( 不与点A,B重合 ),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.( 1 )求证:GF=GC; ( 2 )用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明. 【解析】( 1 )连接DF,根据对称得ADE
10、FDE,再由HL证明RtDFGRtDCG即可求解;( 2 )作辅助线,构建AM=AE,先证明EDG=45,得DE=EH,证明DMEEBH,则EM=BH,根据等腰直角AEM得EM= AE,从而得出结论.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )如图1,连接DF, 四边形ABCD是正方形, DA=DC,A=C=90, 点A关于直线DE的对称点为F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90, DFG=90, 在RtDFG和RtDCG中, RtDFGRtDCG( HL ), GF=GC.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,理由:如图2,在线段AD上截取AM
11、,使AM=AE, AD=AB,DM=BE, 由( 1 )知1=2,3=4, ADC=90, 1+2+3+4=90, 22+23=90, 2+3=45, 即EDG=45, EHDE, DEH=90,DEH是等腰直角三角形, AED+BEH=AED+1=90,DE=EH,1=BEH,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 4.( 1 )如图矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DPOC,且DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由. ( 2 )如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由. ( 3 )如果题目中
12、的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )四边形CODP的形状是菱形. 理由:四边形ABCD是矩形,OC=OD, DPOC,DP=OC, 四边形CODP是平行四边形, OC=OD, CODP是菱形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,( 2 )四边形CODP的形状是矩形. 理由:四边形ABCD是菱形, ACBD, DOC=90, DPOC,DP=OC, 四边形CODP是平行四边形, DOC=90, CODP是矩形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,( 3 )四边形CODP的形状是正方形. 理由:四边形A
13、BCD是正方形,DOC=90,OD=OC, DPOC,DP=OC, 四边形CODP是平行四边形, DOC=90,OD=OC, CODP是正方形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,初高中衔接 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 5.如图,在任意四边形ABCD中,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是线段BD,BC,AC,AD上的点,对于四边形EFGH的形状,某班的学生在一次数学活动课中,通过动
14、手实践,探索出如下结论,其中错误的是 ( )A.当E,F,G,H是各条线段的中点时,四边形EFGH为平行四边形 B.当E,F,G,H是各条线段的中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形 C.当E,F,G,H是各条线段的中点,且AB=CD时,四边形EFGH为菱形 D.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH可以为平行四边形,B,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,考点扫描,素养提升,解决类比探究问题的方法和思路 ( 1 )找特征( 中点、特殊角、折叠等 ),找模型( 相等、相似、三线合一、面积等 ); ( 2 )借助几问之间的联系,寻找条件和思路; ( 3 )照搬上一问的方法
15、和思路解决问题; ( 4 )找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.,考点扫描,素养提升,1.是否存在型问题 典例1 问题情境: 如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分DAM.探究展示: ( 1 )证明:AM=AD+MC. ( 2 )AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 拓展延伸: ( 3 )若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示( 1 )( 2 )中的结论是否成立?请分别做出判断,不需要证明.,考点扫描,素养提升,【解析】( 1 )从平行线和中点这两个条件出发,延长AE,BC交于
16、点N,易证ADENCE,从而有AD=CN,只需证明AM=MN即可;( 2 )作FAAE交CB的延长线于点F,易证AM=FM,只需证明FB=DE即可;( 3 )仿照( 1 )中的证明思路即可证得AM=AD+MC仍然成立;采用反证法,假设AM=DE+BM成立,在图2中,过点A作AQAE,交CB的延长线于点Q,可证得AM=QM,则BQ=DE,所以AB=AD,这与已知条件“ABAD”矛盾,故假设不成立,即AM=DE+BM不成立.,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )延长AE,BC交于点N,如图所示, 四边形ABCD是正方形, ADBC,DAE=ENC. AE平分DAM,DAE=MAE, ENC=M
17、AE,AM=MN.,ADENCE( AAS ),AD=NC. AM=MN=NC+MC=AD+MC.,考点扫描,素养提升,( 2 )AM=DE+BM成立. 证明:过点A作AFAE,交CB的延长线于点F,如图所示. 四边形ABCD是正方形,BAD=D=ABC=90,AB=AD,ABDC. AFAE,FAE=90,FAB=90-BAE=DAE.,ABFADE( ASA ).BF=DE,F=AED. ABDC,AED=BAE. FAB=EAD=EAM, AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM, F=FAM,AM=FM.AM=FM=BF+BM=DE+BM. ( 3 )( 1 )成立,(
18、2 )不成立.,考点扫描,素养提升,【方法指导】 探索性问题的关键是对题型中的变量过程进行分析,把握原有图形的特点,探究变化量的特点,借用类比思想逐步解题,一般情况下,每一问采取的方法步骤基本相同.可概括为“方法类似,思路顺延;类比渗透,知识迁移”.,考点扫描,素养提升,2.研究型问题 典例2 探究问题: ( 1 )方法感悟: 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足EAF=45,连接EF,求证:DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE,1=2,ABG=D=9
19、0, ABG+ABF=90+90=180, 因此,点G,B,F在同一条直线上.,考点扫描,素养提升,EAF=45,2+3=BAD-EAF=90-45=45. 1=2,1+3=45, 即GAF= . 又AG=AE,AF=AF, GAF . =EF,故DE+BF=EF.,考点扫描,素养提升,( 2 )方法迁移: 如图2,将RtABC沿斜边翻折得到ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且EAF=DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想. ( 3 )问题拓展: 如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足EAF= DAB,试猜想当B与D满足什么关
20、系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想.( 不必说明理由 ),考点扫描,素养提升,【解析】( 1 )利用角之间的等量代换得出GAF=EAF,再利用SAS得出GAFEAF,得出答案;( 2 )仿照( 1 )中思路,将ADE绕点A旋转得到ABG,由类似方法进行证明即可;( 3 )根据角之间的关系,只要B+D=180时,就可得到三角形全等,即可得到结论.,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )EAF;EAF;GF. ( 2 )DE+BF=EF,理由:假设BAD的度数为m,将ADE绕点A顺时针旋转m得到ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE,1=2,ABG=D=90
21、, ABG+ABF=90+90=180, 点G,B,F在同一条直线上.,又AG=AE,AF=AF,GAFEAF,GF=EF. 又GF=BG+BF=DE+BF, DE+BF=EF. ( 3 )当B与D满足B+D=180时,可使得DE+BF=EF.,命题点1 与矩形有关的推理及计算( 常考 ) 1.( 2018安徽第14题 )详见专题六典例2 2.( 2016安徽第14题 )如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG;SABG
22、= SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .( 把所有正确结论的序号都选上 ),3.如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA,PB,PC,PD,得到PAB,PBC,PCD,PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4.给出如下结论: S1+S4=S2+S3; S2+S4=S1+S3; 若S3=2S1,则S4=2S2; 若S1=S2,则P点在矩形的对角线上. 其中正确结论的序号是 .( 把所有正确结论的序号都填在横线上 ),命题点2 与菱形有关的推理及计算( 常考 ) 4.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH
23、是菱形,则AE的长是 ( ),C,命题点3 与正方形有关的推理及计算( 常考 ) 5.( 2017安徽第23题 )已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. ( 1 )如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. 求证:BE=CF; 求证:BE2=BCCE. ( 2 )如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan CBF的值.,解:( 1 )四边形ABCD是正方形, AB=BC,ABC=BCF=90,ABG+CBF=90, AGB=90,ABG+BAG=90,BAG=CBF. AB=BC,ABE=BCF=90,ABEBCF, BE=CF. AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB,GAM=AGM, 又CGE=AGM,GAM=CBG,CGE=CBG, 又ECG=GCB,CGECBG,CFG=GBM=BGM=CGF,CF=CG, 由知BE=CF,BE=CG,BE2=BCCE.,( 2 )延长AE,DC交于点N, 四边形ABCD是正方形, ABCD,N=EAB, 又CEN=BEA,CENBEA,
