电磁学电子教案.ppt

1、电磁学电子教案,使用教材：赵凯华、陈熙谋编的电磁学第二版,主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华,呼伦贝尔学院物理系普通物理教研室电磁学课题组,2006年9月制作,第一章 静电场,1.1 静电的基本现象和基本规律 1.2 电场 电场强度 1.3 高斯定理 1.4 电位及其梯度,1.1.1 两种电荷 电荷守恒定律,1.1.1 两种电荷1747年富兰克林发现了电。物体所带的电荷有两种，分别称为正电荷、负电荷。 同号电荷相斥，异号电荷相吸。电荷可以由摩擦起电、静电感应产生。历史上约定：用 丝绸摩擦的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦的塑料棒带负电。电荷是基本粒子的一个性质，它不能脱离这些基本粒子而存在。 物体具

2、有吸引轻小物体的性质叫做电性。带电的物体称为带电体。使物体带电叫做起电， 正、负电荷互相完全抵消的状态叫做中和。 1.1.2电荷守恒定律摩擦起电和静电感应等实验证明：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一 个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何 物理过程中，电荷的代数和是守恒的。电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程，是物理学中普遍的基本定律之一。,1.1.3 导体、绝缘体和半导体,1.1.3 导体、绝缘体和半导体 按照电荷在其中是否容易转移或传导，习惯上把物体分为：电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的物体，叫做导体；电荷几乎只能停留在产生的地方

3、的物体，叫做绝缘体；导电能力介于导体和绝缘体之间的物体，叫做半导体。 1.1.4 物质的电结构物质是由分子、原子组成的；而原子又由带正的原子核和带负电的电子组成；原 子核又由不带电的中子和带正电的质子组成。在正常情况下，物体中任何一部分所包含的电子的总数和质子的总数相等，对外不 显电性。如果在一定的外因作用下，物体（或其中的一部分）得到或失去一定数量的电 子，使得电子的总数和质子的总数不再相等,物体就呈现电性。摩擦起电和静电感应就是施加一定的外部作用，使某一物体(或物体的一部分)得到 (或失去)一定数量的电子，使电子总数多于(或少于)质子总数，从而使该物体(或物体 的一部分)带负(或正)电。,

4、1.1.5 电荷的量子化,1.1.5 电荷的量子化19061917年，密立根（R.A.Millikan )用液滴法测定了电子电荷，证明微小粒子带 电量的变化是不连续的，它只能是基本电荷e的整数倍，即粒子的电荷是量子化的。 迄今所知，电子是自然界中存在的最小负电荷，质子是最小的正电荷。它们的带电量 都是基本电荷e ：e =1.6021773310-19库仑(C) 库仑是电量的国际单位。电荷量子化已在相当高的精度下得到了检验。那么基本电荷e是不是最基本的呢？ 在强子结构的夸克模型（1964年）中，夸克带分数电荷，相应的“反夸克”带等量反号 的电荷。上(up)夸克的带电量为2e/3；下(down)夸

5、克的带电量为 - e/3；奇异(strange)夸 克的带电量为 - e/3。 在这一模型中，夸克是受到“禁闭”的。迄今为止，尚未在实验中 找到自由状态的夸克。现在，分数电荷仍是一个悬而未决的命题。不过即使分数电荷存在，仍然不会改 变电荷量子化的结论，只不过新的基本电荷是原来的1/3而已。,1.1.7 库仑定律,1.1.6 电荷的相对论不变性在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电荷的这一性质叫做电荷的 相对论不变性。 1.1.7 库仑定律 当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以将带电体看作点电 荷 。1785年库仑(Coulomb)从扭秤实验结果，总结出点电荷之间

6、的相互作用力所满足的 规律，这就是库仑定律： 在真空中，两个静止点电荷之间的相互 作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之 间距离的平方成反比。作用力的方向沿着它们 的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,1.1.7 库仑定律,即: (1.1)比例系数k由实验确定引入真空电容率或真空介电常量则库仑定律可写作其矢量形式为,（1.2),1.1.7 库仑定律,当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力，等于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和。这是静电力的叠加原理。库仑定律是直接从实验总结出来的规律，是静电场理论的基础。库仑定律与牛顿万有引力定律类似，也不是超距作用。按照现

7、代物理学的观点，相互作用是由场以有限速度传播的。库仑定律和万有引力定律都是平方反比规律，从数量级上比较，引力要弱得多，在氢原子内，电子和质子之间的静电力与万有引力的比值为2.261039。,作业：p26 2、 4、 6 、8,1.2.1 电场 电场强度,1.2.1 电场 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，在电场中的任何带电体，都受到电场的作用力。电荷周围存在的能对其它带电体施加力的作用的特殊物质，称为电场。电场的性质：(1)对处于电场中的带电体有力的作用，这表明电场具有力的特性；(2)当带电体在电场中移动时，电场对其作功，这表明电场具有能的特性。,1.2.2 电场强

8、度矢量,1.2.2 电场强度矢量为了描述电场力的性质，则在电场中引入检验电场力的性质的试探电荷。 对于试探电荷而言，其电量必须很小，以避免由于它的引入而对场源电荷产生 影响；其次，其几何尺寸必须很小，成为名副其实的点电荷，以便能细致地反 映出电场中各点的性质。置于电场中某点的试验电荷将受到源电荷q作用的电场力，实验证明：该力 的大小与试验电荷的电量成正比，而该力与试验电荷电量的比值则与试验电荷 无关，是一个仅由场源电荷产生的电场性质决定的物理量。用这个物理量作为 描写电场的物理量，称为电场强度（简称场强），用E表示。其定义为：（1.4）由此可知，电场中某点的电场强度大小等于置于该点的单位正电荷

9、所受的 电场力，方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。在SI单位制中，场强的 单位为N/C或V/m。,1.2.2 电场强度矢量,一般说来，电场中空间不同点的场强的大小和方向都可以是不同的。如果电场中各点 的场强大小和方向都相同，这种电场叫做均匀电场，它是一种特殊情况。【例题1 】求点电荷 所产生的电场。【解】如右图示，以点电荷 所在处为原点 ，另取一任意点 （叫做场点）。设想把一正试探电荷 放在 点，根据库仑定律， 受的力为p点的场强为(1.5) 由上式可知(1) E的方向处处以q为中心的矢径（q0）或其反方向（ q0）；(2) E的大小只与距离 r有关，所以在以q为中心的每个球面上场强的大

10、小相等。通常 说，这样的电场是球对称的。(3)电场在空间是连续分布的，且为矢量，故为矢量场，它是空间坐标的矢量函数。,1.2.3 电场强度叠加原理,1.2.3 电场强度叠加原理 电场力是矢量，它服从矢量叠加原理。即，如果以 、 、 分别表示点电 荷 、 、 单独存在时电场施于空间同一点上试探电荷 的力，则它们同 时存在时，电场施于该点试探电荷的力 将为它们的矢量和，即将上式除以 ，由场强的定义，我们得到由此可见，点电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的 电场在该点场强的矢量叠加。这叫做电场强度叠加原理（简称场强叠加原理）。如果电荷分布已知，那么从点电荷的场强公式出发，利用

11、场强叠加原理，就可以求 出任意电荷分布所激发的电场的场强。,1.2.3 电场强度叠加原理,【例题2 】如右下图示，一对等量异号点电荷 ，其间距离为 ，求两电 荷延长线和中垂面上一点的场强。【解】（1）中垂面上一点的场强场点到 的距离相等，产生的场强大小相等为：但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方 向分量相等 ，故有,1.2.3 电场强度叠加原理,（2）延长线一点的场强向左， 向右，故总场强大小为一对等量异号的点电荷组成的带电体系，它们之间的距离远比场点到它们的 距离小得多，这种带电体系叫做电偶极子。,1.2.3 电场强度叠加原理,故在上面的关系式中有则有上式表明：（1）电偶极子的场强与

12、距离的三次方成反比；（2）电偶极子的场强与 有关。其中 它是描述电偶极子属性的物理量，称为电偶极矩。,1.2.4 电荷连续分布的带电体的场强计算,1.2.4 电荷连续分布的带电体的场强计算实际中电荷是分布在一定体积内。但根据不同情况可以认为是体、面、线的连续分 布，引入电荷的体密度、面密度、线密度等概念。其场强的计算为注意应化矢量运算为标量运算，并考虑场的对称性。,1.2.5 带电体在电场中受的力及其运动,1.2.5 带电体在电场中受的力及其运动电荷和电场间的相互作用有两个方面，即电荷产生电场和电场对电荷施加作用力。【例题】计算电偶极子在均匀电场中所受力矩。【解】由于正负电荷在均匀电场中受力大

13、小 相等方向相反，故其所受合力为零。但由于二 力的作用线不同，形成一个力偶。其力矩的大 小为考虑其方向及电偶极矩写成矢量式为 （1.13）,作业 p42 2、 4、 6、 8、 9,1.3.1 电力线及其数密度,1.3.1 电力线及其数密度静电场是矢量场，静电场中各点的场强，不仅方向可以不同，而且大小一般是空 间坐标的矢量函数。为了使电场的分布形象化、直观化，表达某一点电场的方向和大 小可以采用电力线（E 线）的概念。如果在电场中作出许多曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点场强方向一 致，那么，所有这些作出的曲线，叫做电场的电力线。为了使电力线不仅只表示出电场中场强的方向分布情况，而且表示

14、出各点场强的 大小分布情况，引入电力线数密度的概念。在电场中任一点取一小面元 与该点场 强方向垂直，设穿过 的电力线有 根，则比值 叫做该点电力线数密度，它 的意义是通过该点单位垂直截面的电力线根数。规定：在作电力线图时，总使电场中任一点的电力线数密度与该点的场强大小 成正比，即,1.3.1 电力线及其数密度,这样，电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大；也就是说，用 电力线的疏密分布把电场中场强大小分布情况反映出来。电力线可以借助一些实验方法显示出来。从这些电力线图可以看出，除场强为零的点外，电力线有以下一些基本性质：（1）电力线起自正电荷（或来自无限远），止于负电荷（或伸向

15、无限远），但不 会在没有电荷的地方中断；（2）若带电体中正、负电荷一样多，则由正电荷出发的全部电力线都集中到负电 荷上去；,1.3.2 电通量,（3）两条电力线不会相交；（4）静电场中的电力线不形成闭合线。 1.3.2 电通量定义面元dS = dSn，dS的大小dS等于面元 的面积，方向n取其法线方向。面元dS在垂直于 场强方向的投影是n是面元dS 的法线方向，q 是场强E的方向与面元dS法向n之间的夹角。,1.3.2 电通量,通过面元dS的电通量定义为（1.14） 在场强分布为E(r)的电场中，通过任一曲面S（如下图）的电通量定义为：（1.15） 当S是闭合曲面时,1.3.3 高斯定理的表述

16、和证明,对闭合曲面，通常规定自内向外为面元法线的正方向。所以如果电场线从曲面之 内向外穿出，则电通量为正 ( F E 0 )，反之，如果电场线从外部穿入曲面，则电通 量为负( F E 0 )。根据电场线的含义，通过一个曲面的电通量等于通过这一曲面的电场线的条数。德国数学家和物理学家高斯(K.F.Gauss)曾从理论上证明，静电场中任一闭合曲面 上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的量值关系，这 一关系被称为高斯定理。 1.3.3 高斯定理的表述和证明高斯定理表述如下：通过一个任意闭合曲面S的电通量F E 等于该面所包围的所有电荷电量的 代数和 除以 ，与面外的电荷无关。

17、,1.3.3 高斯定理的表述和证明,用公式表达高斯定理，则有（1.16）上式中的 表示沿一个闭合曲面 的积分；这闭合曲面习惯叫做高斯面。高斯定理可由库仑定律和场强叠加原理证明。考虑一个点电荷q的电场中，有一闭合曲面S，在S上取一面元dS，设r是 该电荷到面元的距离，n是面元的外法线单位矢量，则通过该面元的电通量q 是场强E的方向与面元dS法向n之间的夹角。,1.3.3 高斯定理的表述和证明,应用立体角dW （solid angle）的概念（参见下图）则,1.3.4 从高斯定理看电力线的性质,可以证明因此，对整个闭合曲面 ，电通量为：上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理，上述结果可推

18、 广至任意带电系统的静电场，从而得到高斯定理(1.16)式。 1.3.4 从高斯定理看电力线的性质（1）电力线的起点和终点我们作小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来，则必然有电通量 从前者穿出（即F E 0 ，见图a），从后者穿入（即F E 0 ，见图b）。,1.3.4 从高斯定理看电力线的性质,因而根据高斯定理可知，在前者之内必有正 电荷，后者之内必有负电荷。这就是说，电 力线不会在没有电荷的地方中断。于是，高 斯定理可理解为从每个正电荷 发出 根电力线，有 根电力线终止于负电荷 。如果在带电体中有等量的 正、负电荷，电力线就从正电荷出发到负电荷终止；若正电荷多于负电荷 （或根本没有负电

19、荷），则多余的正电荷发出的电力线只能伸向无限远；反 之，若负电荷多于正电荷（或者根本没有正电荷），则终止于多余的负电荷 上的电力线只能来自无限远。（2）电力线的疏密与场强的大小由一束电力线围成的管状区域，叫做电力管 （见右图c） 。由于电力线总是平行于电力管的 侧壁，因而没有电通量穿过侧壁。,1.3.4 从高斯定理看电力线的性质,取电力管的任意两个截面 和 ，它们与电力管的侧壁组成一个闭合高斯面。通 过此高斯面的电通量为式中 和 分别是 和 上场强的数值， 和 分别是场强与高斯面外法线和 之间的夹角（见图c）。设这段电力管内没有电荷，则根据高斯定理，有或现取 和 都与它们所在处的场强垂直，则

20、， ， ， ， 上式化为,1.3.5 高斯定理应用举例,亦即沿电力管场强的变化反比于它们的垂直截面积。这样，在电力管膨胀的地方（即电力 线变得稀疏的地方）场比较弱，在电力管收缩的地方（即电力线变得密集的地方）场比较 强。因而由电力线的分布图，我们可以定性地看出沿电力线场强强弱的变化情况。 1.3.5 高斯定理应用举例我们应用高斯定理（1.16）式来解决实际问题就是求场的分布。在（1.16）式中注 意：E是带电体系中所有电荷（无论在高斯面内或面外）产生的总场强，而 只是对高 斯面内的电荷求和。应用它求解问题的关键在于如何把E从积分号内提到外面来。要把E从积分号内提到外 面来，则要求E在高斯面上成

21、为常量，即E的分布具有高度对称性。即球对称、面对称和柱 对称三种。下面通过具体例子加以说明。,1.3.5 高斯定理应用举例,【例题1】求均匀带正电球壳内外的场强，设球壳带电总量为 ，半径为 。【解】首先分析电场分布的对称性。 由于电荷均匀分布在球壳上，这个带电体系 具有球对称性，因而电场分布也应具有球对 称性。这就是说，在任何与带电球壳同心的 球面上各点的场强的大小均相等，方向沿半 径向外呈辐射状。为了具体说明场强的方向 确是如此，让我们来考虑空间任一场点P（见 图）。对于带电球壳上的任何一个面元 ， 在球面上都存在着另一面元 ，二者对OP 联线完全对称（O是球心）， 和 在P点 产生的元电场

22、 和 也对OP联线对称，,1.3.5 高斯定理应用举例,从而，它们的矢量和 必定沿OP联线。整个带电球壳都可以分割成一 对对的对称面元，所以在P点的总场强E一定沿OP联线的。根据电场的球对称性特点，取高斯面为通过P点的半径为 的同心球面 （如图中蓝色的圆），此球面上场强的大小处处都和P点的场强E相同，而处处等于1，通过此高斯面的电通量为上述对称性的分析对球壳内、外的场点都是适用的，所以上述适用于无 论比球壳大或小的高斯面。如果P点在球壳外 ，则高斯面包围了球壳 上的电荷 。根据高斯定理，由此得P点的场强为 或 （ 为单位矢量）,1.3.5 高斯定理应用举例,这表明：均匀带电球壳在外部空间产生的

23、电场，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样。如果P点在球壳内 ，则高斯面内没有电荷 。根据高斯定理，由此得P点的场强为这表明：均匀带电球壳内部空间的场强处处为0。【例题2】求均匀带正电球体内外的电场分布， 设球体带电总量为 ，半径为 。【解】由于电荷的分布为球对称，则其电场的 分布也是球对称的。可把均匀带电球体分割成一层 层的同心球壳，这样可利用上题的结果。如右图示， 如果P点在球壳外 ，则高斯面包围了球壳 上的电荷 。根据高斯定理，,1.3.5 高斯定理应用举例,由此得P点的场强为或如果P点在球壳内 ，则高斯面内只有半径小于 的电荷 对电通量有贡献 。由于是均匀带电，则有 ， ，所以带电

24、球体内部的场强为或,1.3.5 高斯定理应用举例,【例题3】求均匀带正电的无限长细棒的场强，设棒上线电荷密度为 。【解】该带电体系的场具有柱对称性，即在任何垂直于棒的平 面内的同心圆周上场强的大小相等。 场强的方向如何？前面 曾分析过，有限长带电细棒中垂面上场强是垂直于带电细棒的 辐射状。对无限长带电细棒来说，在棒中部的有限长范围内， 棒上每一点均可认为是棒的中点，则在距棒为 长为 的圆 柱面上各点的场强大小相等，方向均垂直于表面向外，即为柱 对称。取如右图所示的以棒为轴，半径为 长为 的圆柱面为 高斯面，则通过它的电通量为在上、下底面上 ，所以上式中后两项为0，侧面上 ，故,1.3.5 高斯

25、定理应用举例,另一方面，高斯面包长度为 的一段细棒，其中电荷为 ，根据高斯定理，则P点的场强为 由此可见，当条件允许时，利用高斯定理计算场强的分布要简捷得多。 【例题4】求均匀带电的无限大平面薄板的场强分布，设电荷的面密度为 。【解】由均匀带电圆环的场沿对称轴线方向， 故可将无限大平面分割成无数多个同心圆环， 则可知其电场的分布是关于带电平面对称，即， 其电场的分布是面对称的。取如右图所示关于带电平面对称的柱面及两 端面为闭合的高斯面，采用与上题相同的计算， 可求出场强的大小为,1.3.5 高斯定理应用举例,上式表明，场强与平板到场点的距离无关。上述公式对于均匀带负电的无限平面薄板也适用，只是

26、场强的方向相反。 从以上几个例题可以看出，利用高斯定理求场强的分布关键在于对称性的分析。只有当 带电体系具有一定的对称性，才有可能利用高斯定理求场强。虽然这样的带电体系并不 多，但在几个特例中得到的结果都是很重要的。这些结果的实际意义往往不限于这些特 例本身，很多实际场合都可利用它们来作近似的估算。应当指出，利用高斯定理可以求场强，只体现了高斯定理重要性的一个方面。高斯 定理更重要的意义在于它是静电场两个基本定理之一。静电场的另一基本定理正是下节 要讲的内容。两个定理各自反映静电场性质的一个侧面，只有把它们结合起来，才能完 整地描绘静电场。(没有一定的对称性就不能单靠高斯定理来求场强分布，这一

27、事实正 好说明，高斯定理对静电场的描述是不完备的。),作业： p70 3、6、 8、 10、 11、 13,1.4.1 静电场力所做的功与路径无关,前两节从电荷在电场中受到电场力的角度引入了电场强度E，并以 E 描述静电场的 性质,而高斯定理揭示了静电场是一个有源场。本节将从电场力对电场中的运动电荷做 功的特性出发，导出静电场的环路定理，引入描述静电场的另一个物理量电势。1.4.1 静电场力所做的功与路径无关我们首先从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电场力所做的功与路 径无关，先证明在单个点电荷的场中的情况，后证明任意电场情况。（1）单个点电荷产生的电场如右图示，点电荷q的电场中移动点电荷q

28、0，从 r处移动dl， 电场做的功点电荷q0从P到Q点，电场所做的功为：,1.4.1 静电场力所做的功与路径无关,即上式表明， 只和路径 的起点 、终点 到 的距离 、 有关。由此可见，单个 点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关， 此外它还与试探电荷 的大小成正比。（2）任意带电体系产生的电场在一般情况下，电场并非由单个点电荷产生，但是我们总可以把产生电场的带电体划 分为许多带电元每一带电元可以看作是一个点电荷，这样就可以把任何带电体系视为点 电荷组。总场强是各点电荷 、 、 单独产生的场强 、 、 的矢量和：从而当试探电荷 由 点沿任意路径 到达 点时

29、，电场力所做的功为由于上式右方的每一项都与路径无关，所以总电场力的功 也与路径无关。,1.4.1 静电场力所做的功与路径无关,这样，我们得出结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，只 与这试探电荷电量的大小及起点、终点的位置有关，与路径无关。（3）静电场的环路定理静电场力作功与路径无关这一结论，还可以表述成另一种 等价的形式，如右图示。在静电场中取一任意闭合环路 ， 考虑场强沿此环路的线积分 。先在 上取任意两点、 ，它们把 分成 和 两段。因此，由于作功与路径无关， 或 故（1.20)上式表明，静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于0 。这定理没有通用的名称，我 们姑且把它叫做静

30、电场的环路定理，它与“静电场力作功与路径无关”的说法完全等价。利用它用反证法可以证明“电力线是不闭合的的性质”。,1.4.2 电位差与电位,任何作功与路径无关的力场，叫做保守力场，或位场，在其中可引入位能的概念。 因静电场是保守力场，故可引入电位能的概念。设想在电场中把一个试探电荷 从 点移至 点，它的 电位能的减少 定义为在此过程中静电力对它作的功 ， 即（1.21）根据上面的定理, 只由 、 两点的位置所决定，与移动的 路径无关。也可定义为把 从 点移到 点的过程中抵抗静电力的功 。在物理学中， 所谓抵抗某力 作功，就是指一个与 大小相等、方向相反的力 所做的功。因电场 力 ，故 ，按照定

31、义，不难看出，上式与式完全等价：,1.4.2 电位差与电位,式(1.21)表明， 与试探电荷的电量 成正比。换言之，比值 与试探电荷 无关，它反映了电场本身在 、 两点的性质。这个量定义为电场中 、 两点间的电 位差，或称电位降落、电压。用 表示，则有（1.22） 用文字来表述，就是 、 两点间的电位差定义为从 到 移动单位正电荷时电场力 所作的功，或者说，单位正电荷的电位能差。上面介绍的是两点之间的电位差，如果要求空间某一点的电位数值为多少，则需要 确定参考点。令参考点的电位为0，则其它各点与此参考点之间的电位差定义为该点的 电位值。在理论计算中，如果带电体局限在有限大小的空间里，通常选择无

32、穷远点为电 位的参考位置。这样一来，空间任一点 的电位 就等于电位差 ，即（1.23） 由于电场力作功与路径无关,对于空间任意两点 和 ,我们有,1.4.2 电位差与电位,即时 (1.24) 亦即 、 两点间的电位差 等于 的电位 减 的电位 。在实际工作中常常以大地或电器外壳的电位为0。改变参考点，各点电位的数值将 随之改变，但两点之间的电位差与参考点的选取无关。电位差和电位的单位应是焦耳/库仑，即伏特，简称伏，用 V 表示。【例题1】求单个点电荷q产生的电场中各点的电位。【解】利用公式（1.22）进行计算。因为电场力作 功与路径无关，故可选取一条便于计算的路径，即沿矢径 的直线（见右图），

33、于是有：其中 表示 点到点电荷q的距离。由于 点是任意的，故 的下标可略去。 于是，我们得到点电荷q产生的电场中电位的分布公式：（1.25）,1.4.2 电位差与电位,【例题2】求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布,设球壳带电总量为q,半径为 。【解】在3例题1中我们已求得均匀带电球壳的场强分布为：方向沿矢径。因此计算电位时我们仍和点电荷的情形一样， 沿着矢径积分。在球壳外 ，结果和点电荷一样，在球壳内 ，要分两段，即,1.4.2 电位差与电位,由此可见，在球壳外的电位分布与点电荷情形一样，在球壳内电位到处与球壳表面 的值一样，是个常数。由图可见，U 和 E不同，它的数值没有跃变。上面两个例题

34、都是由已知的场强分布求电位的分布，我们也可以由已知的电位分布 来计算电场力的功。将式（1.22）改写为（1.26）在任何情况下,电荷在电场力的推动下运动时,其电位能总是趋于减少。上式表明， 若 且 ，或 且 ，我们有 即从 到 电场力作正功，电位能减少。由此可见，在电场力有推动下，正电荷从电位高的地方奔 向电位低的地方，而负电荷从电位低的地方奔向电位高的地方。能量的单位还有电子伏特，它表示一个电子经过1伏特的区域，电场力所作的功。 即，1电子伏特=1.6010-19焦耳。电子伏特记为eV 。还有千电子伏特，兆电子伏特， 吉电子伏特等单位。,1.4.3 电位叠加原理,1.4.3 电位叠加原理 （

35、1）点电荷组的电位由公式（1.23），并利用场强叠加原理得：（1.27）式（1.27）表明：点电荷组的电场中某点的电位，是各个点电荷单独存在时的电场在该 点电位的代数和，这就是电位叠加原理。（2）带电体系的电位由于任意带电体系可以视为点电荷组，则由上述电位叠加原理可得出：,1.4.3 电位叠加原理,【例题4】求距电偶极子相当远的地方任一点的电位。【解】由右图可知， q单独存在时 点的电位分别为根据电位叠加原理有当 时有：则有：,1.4.3 电位叠加原理,忽略 的平方项，即得或（1.28）以上例题分别用场强积分法求电位,由电位叠加法求电位。当场强分布已知，或因 带电体系具有一定的对称性，因而场强

36、分布易用高斯定理求出时，可以用场强积分的 方法求电位。当带电体系的电荷分布已知，且带电体系对称性不强时，宜用电位叠加 法计算电位。由于电位是个标量，因此电位叠加法比场强叠加的计算简单得多。,1.4.4 等位面,电场中场强的分布可借助电力线图来形象地描绘，电位的分布是否也可形象地描 绘出来呢？同样可以，这就是等位面。一般说来，静电场中电位是逐点变化的，但总有一些点的电位值是彼此相同。我 们把电位相同的点组成的曲面叫做等位面。,1.4.4 等位面,由以上等位面图可以看出，等位面有如下性质：（1）等位面与电力线处处正交。论证如下：首先，当电荷沿等位于面移动时， 电场力不作功，这是因为 ，而 在等位面

37、上任意两点间的电位差 ，所 以 。如右图示，设一试探电荷 沿等到位面 作一任意位移元 ，于是电场力作功 ，但 、 、 都不为零，所以必 然有 ，即 。这就是说场强 与 垂直。要使得场强 与等位面上的 任意线元 垂直，那么电场强度（或电力线）与等位面就必须处处正交。（2）等位面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。如右图示，取一对电位分别为 和 的邻近等位面， 作一条电力线与两等位面分别交于 、 ，因为两个面十分靠 近， 可看成是两面三刀等位面间的垂直距离 。 由于 很小，根据式（1.22），则有,1.4.4 等位面,或取 的极限，得 (1.29)式(1.29)表明,在同一对邻近的等位面间，

38、小的地方 大， 大的地方 小。如果 我们在作等位面图时，取所有各等位面间的电位间隔 都一样，则上述结论还可用于 其它各对等位面之间。由此可见，通过等位面的疏密，可以反映出场强的大小来。根据等位面和电力线处处正交这一性质，我们便可以从电力线图大致估计出电位的 分布情况，反之我们也可以从等位面图大致估计出场强的分布情况。而等位面常由外部 条件控制，且可由实验的方法精确地描绘出来。控制等位面的形状和电位值的方法是当 我们把任何形状的导体放入电场并达到静电平衡状态后，导体内部的电位处处相等，而 导体表面则形成一个等位面（见第二章1）。等位面的概念在实际中有着重要的意义。,1.4.5 电位的梯度,任何空

39、间坐标的标量函数,叫做标量场.电位 是个标量,它在空间每一点都有一 定的数值,所以电位是个标量场。“梯度”一词，通常指一个物理量的空间变化率。用数学语言来说，就是物理量对 空间坐标的微商。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。我们在一对 彼此很靠近的等位面之间取一任意方向的线段 ， 设其长度为 （如右图示），则 沿此方向的 微商为(1.30)叫做 沿 的方向微商,这是一种偏微商。在等位面间取垂直距离 ，它指向沿电 位增加的方向，则沿此方向的微商为(1.31),1.4.5 电位的梯度,现在来研究 与 之间的关系。设 和 之间的夹角为 ，则 ，从式（1.30）和式（1.31）可以看出或

40、上式表明亦即， 沿 方向的微商最大，其余方向的微商等于它乘以 。这正是一个矢量 度投影和它的绝对值的关系。所以我们可以定义一个矢量，它沿着 方向，大小等 于 。这个矢量叫做 的梯度，用 或 来表示。沿其余方向的微商 是 梯度 在该方向上的投影。前面式（1.29）表明，场强 的大小为，总是指向电位降低的方向，即 和 方向相反，故 应等于电位梯度的负值：,1.4.5 电位的梯度,(1.32) 它在任意方向 上的投影 为(1.33) 利用这些结果，可以从已知的电位分布求场强。【例题6】求均匀带电圆形细环轴线上的电位和场强分布。 设环的半径为 ，电荷线密度为 （见右下图）。【解】（1）电位分布取轴线为

41、 z 轴，圆心 O为原点，在轴线上取任一场点P， 其坐标为 Z，它到圆环上每一线段 的距离为 ，整个圆周上是常数。按照电位叠加原理，整个圆环在 P点 产生的电位为各线元的标量叠加：,1.4.5 电位的梯度,（2）场强分布根据式（1.33），轴线上场强的投影为从对称性可以看出，场强矢量的方向就沿轴线，而它的大小 。从上面的例题中我们看到，由于电位是标量，用电位叠加原理来计算比计算场强 矢量简便得多。所以，我们往往先求出电位，然后利用梯度的方法求场强。从这一方 面体现了引进电位这个标量的优越性。式（1.32）在直角坐标系中的三个分量式为：， ， (1.34) 在柱坐标系中的三个分量式为：， ， (1.35),1.4.5 电位的梯度,在球坐标系中的三个分量式为：， ， (1.36)【例题7】利用例题4的结求电偶极子的场强分布。【解】例题4 结果为这公式实际上采用的是球坐标系，其极轴沿偶极矩 ，原点O位于偶极子的中心。由 于轴对称性， 与方位角 无关。根据式（1.36），的三个分量为,1.4.5 电位的梯度,在偶极子的延长线上 或 ， ， ，在中垂面上 ， ， 。这结果与2中用场强叠加原理求得有式（1.7）一致。,作业： p95 1、 4、 6、 8、 9、12、20、24、29、,