1、专题突破练 25 坐标系与参数方程(选修 44)1.(2018 山西吕梁一模,22)直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数),曲线 C2: +y2=1.(1)在以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2 的极坐标方程;(2)射线 = (0)与 C1 异于极点的交点为 A,与 C2 的交点为 B,求|AB|.2.(2018 湖南衡阳二模,理 22)已知直线 l 的参数方程为 (其中 t 为参数),以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2-2mcos -4=0(其中m0).(1)若点 M 的直角坐标为 (
2、3,3),且点 M 在曲线 C 内,求实数 m 的取值范围;(2)若 m=3,当 变化时,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围 .3.(2018 全国卷 1,22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2+2cos -3=0.(1)求 C2 的直角坐标方程;(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.4.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数,t0),其中 00)与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点,定点 M(2,0),求MAB 的面积.8.在
3、直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),直线 l 的参数方程为(t 为参数).(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ,求 a.参考答案专题突破练 25 坐标系与参数方程( 选修 44)1.解 (1)曲线 C1: ( 为参数), 化为普通方程为 x2+y2=2x,所以曲线 C1的极坐标方程为 =2cos ,曲线 C2 的极坐标方程为 2(1+2sin2)=3.(2)射线 = (0)与曲线 C1 的交点的极径为 1=2cos =1,射线 = ( 0)与曲线 C2 的交点的极径满足 (1+2sin2 =3,解得 2= ,所以
4、|AB|=| 1-2|= -1.2.解 (1)由 得曲线 C 对应的直角坐标方程为(x-m) 2+y2=m2+4.由点 M 在曲线 C 的内部, (3-m)2+9m2+4,求得实数 m 的取值范围为 ,+ .(2)直线 l 的极坐标方程为 =,代入曲线 C 的极坐标方程整理得 2-6cos -4=0,设直线 l 与曲线 C 的两个交点对应的极径分别为 1,2,1+2=6cos ,12=-4,则直线 l 截得曲线 C 的弦长为| 1-2|= 4,2 .即直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围是4,2 .3.解 (1)由 x=cos ,y=sin 得 C2 的直角坐标方程为(x+1) 2+y2
5、=4.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.由题设知,C 1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线 .记 y 轴右边的射线为l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点.当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.经检验,当 k=0 时,l 1 与 C2 没有公共点 ;当 k=- 时,l 1 与
6、C2 只有一个公共点,l 2 与 C2 有两个公共点.当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0 或 k= ,经检验,当 k=0 时,l 1 与 C2 没有公共点 ;当 k= 时,l 2 与 C2 没有公共点.综上,所求 C1 的方程为 y=- |x|+2.4.解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2-2 x=0.联立解得 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0,0)和 .(2)曲线 C1 的极坐标方程为 =(R,0),其中 0 .因此 A 的极坐标为(2sin ,),B
7、的极坐标为(2 cos ,).所以|AB|=|2sin - 2 cos |=4 .当 = 时,|AB| 取得最大值 ,最大值为 4.5.解 (1)曲线 2= ,即 2+2sin2=2, 2=x2+y2,sin =y, 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y2=2 即 +y2=1.(2)将 代入 x2+2y2=2 并整理得(1+ sin2)t2+2tcos -1=0, t1+t2=- ,t1t2= , , |t1-t2|= , =2 .6.解 (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2 的普通方程l2:y= (x+2).设 P(x,y),由题设得 消
8、去 k 得 x2-y2=4(y0).所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y0).(2)C 的极坐标方程为 2(cos2-sin2)=4(02,).联立得 cos -sin =2(cos +sin ).故 tan =- ,从而 cos2= ,sin2= .代入 2(cos2-sin2)=4 得 2=5,所以交点 M 的极径为 .7.解 (1)曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos .设 Q(,),则 P ,- ,则有 =4cos - =4sin .所以,曲线 C2 的极坐标方程为 =4sin .(2)M 到射线 = 的距离为 d=2sin ,|AB|=B-A=4 sin -cos =2( -1),则 S= |AB|d=3- .8.解 (1)曲线 C 的普通方程为 +y2=1.当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.由 解得从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0), .(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos ,sin )到 l 的距离为d= .当 a-4 时,d 的最大值为 .由题设得 ,所以 a=8;当 a-4 时,d 的最大值为 .由题设得 ,所以 a=-16.综上,a=8 或 a=-16.
