1、解析几何基础知识1.平行与垂直若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y k 1xb 1，l 2：yk 2xb 2，则：(1)直线 l1l 2 的充要条件是： k1k 2 且 b1b 2(2)直线 l1l 2 的充要条件是：k 1k212三种距离(1)两点间的距离平面上的两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)间的距离公式|P 1P2| .特别地，x1 x22 y1 y22原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP | .x2 y2(2)点到直线的距离：点 P0(x0，y 0)到直线 l：AxBy C0 的距离 d|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两条平行线的距离两条
2、平行线 AxBy C 10 与 AxBy C 20 间的距离 d|C1 C2|A2 B23、圆的方程的两种形式圆的标准方程(xa) 2(yb )2r 2，方程表示圆心为( a，b)，半径为 r 的圆圆的一般方程对于方程 x2y 2DxEyF0(1)当 D2E 2 4F0 时，表示圆心为 ，半径为 的圆；( D2， E2) 12D2 E2 4F(2)当 D2E 2 4F0 时，表示一个点 ；( D2， E2)(3)当 D2E 2 4F0 时，它不表示任何图形4、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交判断直线与圆的位置关系常见的有：几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径
3、r 的大小关系 dr相交；dr相切；dr相离直线与圆相交直线与圆相交时，若 l 为弦长， d 为弦心距，r 为半径，则有 r2d 2 2，即 l2 ，求弦长或(l2) r2 d2已知弦长求解问题，一般用此公式5、两圆位置关系的判断两圆(x a1)2(y b 1)2r (r 0)，(xa 2)2(yb 2)2r (r20)的圆心距为 d，则21 21dr 1r 2两圆外离；2dr 1r 2两圆外切；3|r 1r 2|dr 1r 2(r1r 2)两圆相交_；4d| r1r 2|(r1r 2)两圆内切；50d|r 1r 2|(r1r 2)两圆内含6.椭圆一、椭圆的定义和方程1椭圆的定义平面内到两定点
4、 F1、F 2 的距离的和等于常数 2a (大于|F 1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.定义中特别要注意条件 2a2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a2c 时，动点的轨迹是线段；当 2a2c时，动点的轨迹不存在。2椭圆的方程(1)焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： 1(ab0)x2a2 y2b2(2)焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： 1( a b0)y2a2 x2b2二、椭圆的简单几何性质(a 2 b2c 2)标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形范围 a xab yb bxbaya对称性 对称轴：x 轴
5、，y 轴对称中心：坐标原点性质顶点 A1(a,0)，A 2(a,0)B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0，a)，A 2(0， a)B1(b,0)，B 2(b,0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a 短轴 B1B2 的长为 2b 焦距 |F1F2|2c离心率 e (0,1)ca性质a，b，c的关系c2a 2b 27.双曲选一、双曲线的定义平面内与两个定点 F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线两个定点 F1、F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离| F1F2|叫做双曲线的焦距.二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1(a0，b0)x2a2
6、 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa _ ya 或 ya对称性 对称轴：x 轴、y 轴对称中心：坐标原点 对称轴：x 轴，y 轴对称中心：坐标原点性质顶点 顶点坐标：A 1(a,0) ，A 2(a,0) 顶点坐标：A 1(0，a) ，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e(1，)其中 cca a2 b2性质实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做双曲线的虚半轴a、b、c关系 c2a 2b 2 (ca0，cb0)8抛物线（1
7、）抛物线的概念平面内与一定点 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 不在定直线 l 上)。定点F F叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 叫做抛物线的标准方程。02pxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ ,0） ，它的准线方程是 ；2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： ， ， .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以pxy2y2pyx2及准线方程如下表： 一次项的字母定轴（对称轴） ，一次项的符号定方向（开口方向）标准方程2(0)yp
8、x2(0)ypx2(0)py2(0)xpy图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程 xxyy范围 对称性 轴 轴 轴 轴顶点 (0,)(0,)(0,)(0,)离心率 1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 的几何意义：p是焦点到准线的距离。2.焦点弦(以抛物线 y22px(p0) 为例) 设 AB 是过焦点 F 的弦，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，则| AB| x1 x2 p；| AB|min2 p； x1x2 ； y1y2 p；| AF| x1 ,|BF| x2 .p24 p2 p2oFxl oxFl xoFl
