1、专题突破练 14 4.14.2 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)一、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯 ( )A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏2.(2018 辽宁大连二模,理 4)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,S2=-1,S4=-5,则 S6=( )A.-9 B.-21 C.-25 D.-633.已知等差数列a n的公差为 2,若 a2,a
2、4,a8 成等比数列,则a n的前 n 项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.4.(2018 河北唐山三模,理 6)数列a n的首项 a1=1,对于任意 m,nN *,有 an+m=an+3m,则a n前 5 项和 S5= ( )A.121 B.25 C.31 D.355.(2018 山东潍坊二模,理 4)设数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sn=-n2-n,则数列 的前40 项的和为 ( )A. B.- C. D.-6.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )A.3 B.4 C.5 D.67.(2018 吉
3、林长春外国语学校二模 ,理 8)已知数列a n的前 n 项和 Sn=2n-1,则数列 的前 10项和为( )A.410-1 B.(210-1)2C. (410-1) D. (210-1)8.设等差数列a n满足 3a8=5a15,且 a10,Sn 为其前 n 项和,则数列S n的最大项为( )A.S23 B.S24 C.S25 D.S269.(2018 全国高考必刷模拟一 ,文 12)数列a n满足 a1= ,an+1-1=an(an-1)(nN *),Sn= + ,则 Sn 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.0,1,2 B.0,1,2,3C.1,2 D.0,2二、填空题(共 3 小
4、题,满分 15 分)10.(2018 湖南衡阳一模,文 15)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2n,则 Sn= . 11.设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成等差数列 ,且 a2+a5=4,则 a8 的值为 . 12.(2018 辽宁抚顺一模,文 16)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=Sn+2,则 a9 的值为 .三、解答题(共 3 个题,分别满分为 13 分,13 分,14 分)13.已知数列log 2(an-1)(nN *)为等差数列,且 a1=3,a3=9.(1)求数列a n的通项公式;(2)证明: + 0
5、, d0, an+1an,因此数列a n单调递增. an+1-1=an(an-1), , . Sn= + +=3- .由 an+1-1=an(an-1)(nN *),得 a2-1= , a2= ,同理可得 a3= ,a4= .当 n=1 时,S 1=3- ,其整数部分为 0,当 n=2 时,S 2=3- =3- =1+ ,其整数部分为 1,当 n=2 时,S 3=3- =2+ ,其整数部分为 2,因数列 an单调递增 ,当 n4 时,0 1,所以当 n4 时,S n=3-(2,3), 所以 Sn 的整数部分的所有可能值构成的集合是0,1,2.10.n2n 解析 Sn=2an-2n=2(Sn-S
6、n-1)-2n,整理得 Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以 2n,则=1.又 S1=2a1-2=a1,可得 a1=S1=2, 数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 =n,所以 Sn=n2n.11.2 解析 等比数列a n的前 n 项和为 Sn,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+a5=4,解得 a1q=8,q3=- , a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8 =2.12.384 解析 当 n2 时,由 an+1=Sn+2,得 an=Sn-1+2,两式相减,得 an+1-an=an, an+1=2an.当 n=2 时,a 2=S1+2=3,所以数列a n中,当 n2 时,
7、是以 2 为公比的等比数列, a9=a227=3128=384.13.(1)解 设等差数列 log2(an-1)的公差为 d.由 a1=3,a3=9,得 log22+2d=log28,即d=1. log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即 an=2n+1.(2)证明 , += += =1- 1.14.解 (1)在 3an=2Sn+3 中,令 n=1,得 a1=3.当 n2 时,3a n=2Sn+3,3an-1=2Sn-1+3, - 得 an=3an-1, 数列 an是以 3 为首项 ,3 为公比的等比数列, an=3n.(2)由(1)得 bn=log3an=n,数列b n的前 n 项和 Tn=1+2+3+n= .15.解 (1)由 2an=an+1+an-1(n2,nN *),得数列a n为等差数列,且首项为 1,公差为 a2-a1=1,所以 an=n.(2) 2nbn+1=(n+1)bn, (n1), 数列 是以 =1 为首项, 为公比的等比数列,即 ,从而 bn= ,Tn= + Tn= + ,由 - ,得 Tn=1+ + =2- , Tn=4- .
