1、专题突破练 15 空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 2,B 1BA= ,M,N 分别为 A1C1 与 B1C 的中点,且侧面 ABB1A1底面 ABC.(1)证明:MN平面 ABB1A1;(2)求三棱柱 B1-ABC 的高及体积.2.(2018 河北武邑中学质检一 ,文 18)如图,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形,E 为 AB 的中点 .(1)在侧棱 VC 上找一点 F,使 BF平面 VDE,并证明你的结论;(2)在(1)的条件下求三棱锥 E-BDF 的体积.3.如图
2、,在四棱锥 P-ABCD 中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB 与PAD 都是边长为 2 的等边三角形,E 是 BC 的中点.(1)求证:AE平面 PCD;(2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.4.(2018 辽宁抚顺一模,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD平面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E 为 PC 的中点.(1)证明:BE平面 PAD;(2)求三棱锥 E-PBD 的体积.5.(2018 全国卷 2,文 19)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC的中点
3、.(1)证明:PO 平面 ABC;(2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离.6.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA 1平面 ABC,点 M 是棱 CC1 的中点.(1)在棱 AB 上是否存在一点 N,使 MN平面 AB1C1?若存在,请确定点 N 的位置.若不存在,请说明理由;(2)当ABC 是等边三角形 ,且 AC=CC1=2 时,求点 M 到平面 AB1C1 的距离.7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB 平面 BCC1B1,BCC 1= ,AB=BB1=2,BC=1,D 为 CC1 的中点.(1)求证:DB 1平面 ABD
4、;(2)求点 A1 到平面 ADB1 的距离.8.(2018 百校联盟四月联考,文 19)如图,在几何体 ABCDEF 中,底面 CDEF 是平行四边形,ABCD,AB= 1,CD=2,DE=2 ,DF=4,DB=2,DB平面 CDEF,CE 与 DF 交于点 O.(1)求证:OB 平面 ACF;(2)求三棱锥 B-DEF 的表面积.参考答案专题突破练 15 空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明 取 AC 的中点 P,连接 PN,PM. 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别为 A1C1 与 B1C 的中点, PNAB 1,PMAA 1. PMPN=P,AB1AA1=A,PM,
5、PN平面 PMN,AB1,AA1平面 AB1A1, 平面PMN 平面 AB1A1. MN平面 PMN, MN平面 ABB1A1.(2)解 设 O 为 AB 的中点,连接 B1O,由题意知B 1BA 是正三角形,则 B1OAB. 侧面 ABB1A1底面 ABC,且交线为 AB, B1O平面 ABC, 三棱柱 B1-ABC 的高 B1O= AB1= . SABC= 22sin 60= , 三棱柱 B1-ABC 的体积 V= SABC B1O= =1.2.解 (1)F 为 VC 的中点.取 CD 的中点 H,连接 BH,HF, ABCD 为正方形,E 为 AB 的中点, BE DH, BHDE. F
6、H VD, 平面 BHF平面 VDE. BF平面 VDE.(2) F 为 VC 的中点,S BDE= S 正方形 ABCD, VE-BDF=VF-BDE= VV-ABCD. V-ABCD 为正四棱锥, V 在平面 ABCD 内的射影为 AC 的中点 O, VA= ,AO= , VO= . VV-ABCD= 22 , VE-BDF= .3.(1)证明 ABC=BAD=90, AD BC. BC=2AD,E 是 BC 的中点 , AD=CE, 四边形 ADCE 是平行四边形, AECD.又 AE平面 PCD,CD平面 PCD, AE平面 PCD.(2)解 连接 DE,BD,设 AEBD=O,连接
7、OP,则四边形 ABED 是正方形, O 为 BD 的中点. PAB 与PAD 都是边长为 2 的等边三角形, BD=2 ,OB= ,OA= ,PA=PB=2, OPOB,OP= , OP2+OA2=PA2,即 OP OA.又 OA平面 ABCD,BD平面 ABCD,OAOB=O, OP 平面 ABCD. VP-ABCD= S 梯形 ABCDOP= (2+4)2 =2 .4.(1)证明 设 F 为 PD 的中点,连接 EF,FA.因为 EF 为PDC 的中位线,所以 EFCD,且 EF= CD=2.又 ABCD,AB=2,所以 AB EF,故四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BEAF.又
8、AF平面 PAD,BE平面PAD,所以 BE平面 PAD.(2)解 因为 E 为 PC 的中点,所以三棱锥 VE-PBD=VE-BCD= VP-BCD.又 AD=AB,BAD= 60,所以 ABD 为等边三角形.因此 BD=AB=2.又 CD=4,BDC=BAD=60,所以 BDBC,因为 PD平面 ABCD,所以三棱锥 P-BCD 的体积 VP-BCD= PDSBCD= 2 22 .所以三棱锥 E-PBD 的体积 VE-PBD= .5.解 (1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,且 OP=2 .连接 OB,因为 AB=BC= AC,所以 ABC 为等腰直角三角
9、形,且OBAC ,OB= AC=2.由 OP2+OB2=PB2 知,OPOB.由 OP OB,OPAC 知 PO平面 ABC.(2)作 CHOM,垂足为 H.又由(1) 可得 OPCH,所以 CH平面 POM.故 CH的长为点 C 到平面 POM 的距离.由题设可知 OC= AC=2,CM= BC= ,ACB=45.所以 OM= ,CH=.所以点 C 到平面 POM 的距离为 .6.解 (1)在棱 AB 上存在中点 N,使 MN平面 AB1C1,证明如下:设 BB1 的中点为 D,连接 DM,NM,ND,因为点 M,N,D 是 CC1,AB,BB1 的中点,所以 NDAB 1,DMB 1C1,
10、所以 ND平面 AB1C1,DM平面 AB1C1.又 NDDM=D,所以平面 NDM平面 AB1C1.因为 MN平面 NDM,所以MN平面 AB1C1.(2)因为 MN 平面 AB1C1,所以点 M 到平面 AB1C1 的距离与点 N 到平面AB1C1 的距离相等.又点 N 为 AB 的中点,所以点 N 到平面 AB1C1 的距离等于点 B 到平面 AB1C1的距离的一半.因为 AA1平面 ABC,所以 AB1=AC1=2 ,所以AB 1C1 的底边 B1C1 上的高为 .设点 B 到平面 AB1C1 的距离为 h,则由 ,得 22 h,可得 h= ,故点 M 到平面 AB1C1 的距离为 .
11、7.(1)证明 在四边形 BCC1B1 中, BC=CD=DC1=1,BCD= , BD=1. B1D= ,BB1=2, B1D BD. AB平面 BCC1B1, ABDB 1, DB1 平面 ABD.(2)解 对于四面体 A1ADB1,A1 到直线 DB1 的距离即为 A1 到平面 BB1C1C 的距离,A1 到 DB1 的距离为 2.设 A1 到平面 ADB1 的距离为 h,ADB 1 为直角三角形,ADDB1= , h= h.22=2,D 到平面 AA1B1 的距离为 , 2 . , ,解得 h= . 点 A1 到平面 ADB1 的距离为 .8.(1)证明 取 CF 中点 G,连接 AG
12、,OG,在CDF 中,O 是 DF 的中点 ,G 是 CF 的中点, OGCD,OG= CD,又 ABCD,AB=1,CD= 2, OGAB,OG=AB, 四边形 ABOG 为平行四边形, OB AG, AG平面 ACF,OB平面 ACF,故 OB平面 ACF.(2)解 由 EF=CD=2,DE=2 ,DF=4,可得 EF2+DF2=DE2,所以 EFDF. DEF 的面积S1= DFEF= 42=4.由 DB 平面 CDEF,DF平面 CDEF,DE平面 CDEF,EF平面 CDEF,可得BDDF,BDDE,BDEF, BDF 的面积 S2= BDDF= 24=4,BDE 的面积 S3= BDDE= 22 =2 ,由 EFDF,EF BD ,BDDF=D,可得 EF平面 BDF.又 BF平面 BDF,所以 EFBF. BF= =2 , BEF 的面积 S4= BFEF= 2 2=2 , 三棱锥 B-DEF 的表面积 S=S1+S2+S3+S4=8+4 .
