1、专题突破练 16 空间中的垂直与几何体的体积1.(2018 江苏卷,15)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA 1=AB,AB1B 1C1.求证:(1)AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.2.如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD 是直角三角形,AB=BD,若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且 AEEC,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.3.(2018 江西南昌三模,文 18)如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形,AB=2,AE=3,DE= ,EF=
2、 ,cosCDE= ,且 EFBD.(1)证明:平面 ABCD平面 EDC;(2)求三棱锥 A-EFC 的体积.4.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF ,EF 交 BD于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE 的体积 .5.(2018 河南郑州三模,文 19)如图,四棱锥 E-ABCD 中,AD BC,AD=AB=AE= BC=1,且 BC底面 ABE,M 为棱 CE 的中点,(1)求证:直线 DM平面 CBE;(2
3、)当四面体 D-ABE 的体积最大时,求四棱锥 E-ABCD 的体积.6.如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE平面 ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面 ACFD;(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 .7.(2018 全国卷 3,文 19)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于 C,D的点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由.8.如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AD BC ,ABC=90,AB=BC=2,A
4、D=6,CE AD 于点 E,把DEC 沿 CE 折到DEC 的位置,使 DA=2 ,如图(2).若 G,H 分别为 DB,DE 的中点.(1)求证:GHDA;(2)求三棱锥 C-DBE 的体积.参考答案专题突破练 16 空间中的垂直与几何体的体积1.证明 (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,ABA 1B1.因为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四边形.又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形,因此 AB1A 1B.又因为 AB1B 1C1,
5、BCB 1C1,所以 AB1BC.又因为 A1BBC=B,A1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.2.(1)证明 取 AC 的中点 O,连接 DO,BO.因为 AD=CD,所以 ACDO.又由于ABC 是正三角形 ,所以 ACBO.从而 AC平面 DOB,故 ACBD.(2)解 连接 EO.由(1)及题设知 ADC=90,所以 DO=AO.在 RtAOB 中,BO 2+AO2=AB2.又 AB=BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC 为直角三角
6、形 ,所以 EO= AC.又ABC 是正三角形,且 AB=BD,所以 EO= BD.故 E 为 BD 的中点 ,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ,即四面体 ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为 1 1.3.(1)证明 AB=2,AE=3,DE= ,由勾股定理得 ADDE.又正方形 ABCD 中ADDC,且 DEDC=D, AD 平面 EDC. AD面 ABCD, 平面 ABCD平面 EDC.(2)解 由已知 cosCDE= ,连接 AC 交 BD 于 G.作 OE CD 于 O,则 OD=DEcosC
7、DE=1, OE=2.又由(1)知,平面 ABCD平面 EDC,平面 ABCD平面 EDC=CD,OE平面 EDC,得 OE面 ABCD.由 EFBD,EF= ,知四边形 DEFG 为平行四边形,即 DEFG,而 VA-EFC=VE-AFC,进而 VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由 EFBD,V F-ADC=VE-ADC= 222= ,所以,三棱锥 A-EFC 的体积为 .4.(1)证明 由已知得 AC BD,AD=CD.又由 AE=CF 得 ,故 ACEF.由此得 EFHD,EFHD ,所以ACHD.(2)解 由 EFAC 得 .由 AB=5,AC=6 得 DO=B
8、O= =4.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故 ODOH.由(1) 知 ACHD,又 ACBD,BD HD=H,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD.又由 ODOH,AC OH=O,所以,OD 平面 ABC.又由 得 EF= .五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3= .所以五棱锥 D-ABCFE 的体积 V= 2 .5.解 (1) AE=AB,设 N 为 EB 的中点, ANEB.又 BC平面 AEB,AN平面 AEB, BCAN.又 BCBE=B, AN平面 BCE. MNBC,MN= BC, AD MN. 四边形 ANMD 为平
9、行四边形,DMAN, DM 平面 CBE.(2)设EAB=,AD=AB=AE= 1,且 AD底面 ABE,则四面体 D-ABE 的体积 V= AEABsin AD= sin ,当 =90,即 AEAB 时体积最大.又 BC平面 AEB,AE平面 AEB, AEBC, BCAB=B, AE平面 ABC,VE-ABCD= (1+2)11= .6.(1)证明 延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示.因为平面 BCFE平面 ABC,且 ACBC,所以 AC平面 BCK,因此 BFAC.又因为 EFBC,BE=EF=FC= 1,BC=2,所以BCK 为等边三角形 ,且 F 为 CK的中点,则
10、BFCK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 因为 BF平面 ACK,所以BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角.在 RtBFD 中,BF= ,DF= ,得 cosBDF= ,所以直线 BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为 .7.解 (1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC 平面ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点 ,且 DC 为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面BMC.(2)当 P 为 AM 的中点时,MC 平面 PBD.证明如下:连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 中点.连接 OP,因为 P 为 AM 中点 ,所以 MCOP.MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.8.(1)证明 连接 BE,GH,AC,在AED中,ED2=AE2+AD2,可得 ADAE.又 DC= =2 ,AC=2 ,可得 AC2+AD2=CD2,可得 ADAC.因为 AEAC=A,所以 AD平面 ABCE,所以 ADBE.又 G,H 分别为 DB,DE 的中点,所以 GHBE ,所以 GHDA.(2)解 设三棱锥 C-DBE 的体积为 V,则 V= SBCE AD= 222 .
