1、武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再求其共轭复数.【详解】由题得 ，所以其共轭复数为 2-i.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查复数的计算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 复数 的共轭复数2.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合 M=x|x2=1=1，1，当 a=0
2、 时，N=，成立；当 a0 时，N= ，由 NM，得或 =1由此能求出实数 a 的取值集合【详解】集合 M=x|x2=1=1，1，N=x|ax=1，NM，当 a=0 时，N=，成立；当 a0 时，N= ，NM， 或 =1解得 a=1 或 a=1，综上，实数 a 的取值集合为1，1，0故选：D【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据程序框图的功能进行求解即可【详解】本程序为条件结果对应的表达式为 S= ，则
3、当输入的 t2，2，则当 t2，0）时，S=2t4，0） ，当 t0，2时，如右图，S=3t+t 3=t（t ） （t ）2，2，综上 S4，2，故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为 2，1，1 的长方体的体对角线，进而得到答案【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该
4、几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为 2，1，1 的长方体的体对角线，故 d= = ，故选：B【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5.一张储蓄卡的密码共有 位数字，每位数字都可以从 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 次就按对的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘
5、法公式直接求解【详解】一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 09 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率为：p= = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6.若实数 ， 满足 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出 0=loga1log ablog aa=1，由此利用对数函数的单调性能比较 m，n，l 的大小【详解】实数 a，b 满足 ab
6、1，m=log a（log ab） ， ， ，0=log a1log ablog aa=1，m=log a（log ab）log a1=0，0 1，1 =2logab m，n，l 的大小关系为 lnm故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7.已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出 k 的范围【详解】双曲线的渐近线方程为 y=x，当1k1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点，当 k1 时，直线与双曲线右支
7、没有交点，把 y=kx1 代入 x2y 2=4 得：（1k 2）x+2kx5=0，令=4k 2+20（1k 2）=0，解得 k= 或 k= （舍） 1k 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线相切的等价条件，属于中档题8.在 中，角 、 、 的对应边分别为 ， ， ，条件 ： ，条件 ： ，那么条件 是条件 成立的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件 p：a ，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：cosA= ，当且仅当b=c=a 时取等号又 A（0，） ，可得 由条件 q：A，B，C
8、（0，） ，A 取 ，C= ，B= 满足上述条件，但是 a 即可判断出结论【详解】由条件 p：a ，则 cosA= = = ，当且仅当 b=c=a 时取等号又 A（0，） ， 由条件 q：A，B，C（0，） ，A 取 ，C= ，B= 满足上述条件，但是 a 条件 p 是条件 q 成立的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了余弦定理与基本不等式的性质、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.在 的展开式中，含 项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把 x+ 看作一项，写出 的展开式的通项，再写出 的展开式的通项，由 x 的指数为 5 求得 r
9、、s 的值，则答案可求【详解】 的展开式的通项为 的展开式的通项为 = 由 6r2s=5，得 r+2s=1，r，sN，r=1，s=0在 的展开式中，含 x5项的系数为 故选：B【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.10.若 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值【详解
10、】令 ， ，作出可行域，如图所示：，表示可行域上的动点到定点 距离的平方，然后减去 ，故其最小值为定点 到直线 AB 的距离的平方减去 。AB：定点 到直线 AB 的距离：故选：【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11.若 的图象在 上恰有两个最大值，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 根据在0，1上，求解内层函数的范围，由题意在0，1上恰有两个最大值点，结合三角函数
11、的性质建立不等式可得结论详解: x0，1上 在0，1上恰有两个最大值点， ，解得故答案为:C点睛:本题主要考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对三角函数的图像性质等基础知识的掌握能力,考查学生数形结合分析推理的能力.要注意 ，这里不等式的右边不能取等，否则有可能有三个零点，这样与已知就不符了，写不等式一定要注意取等的问题.12.过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 , , , 分别交 轴于 , 两点, 为坐标原点,则 与 的面积之比为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出切线方程，得出 A，B 两点坐标，计算 E，F 坐标，再计算三角形面积得出结论【详解】设过 P
12、点的直线方程为：y=k（x2）1，代入 x2=4y 可得 x24kx+8k+4=0，令=0 可得 16k24（8k+4）=0，解得 k=1 PA，PB 的方程分别为 y=（1+ ） （x2）1，y=（1 ） （x2）1，分别令 y=0 可得 E（ ， 0） ，F（1 ，0） ，即|EF|=2 S PEF =解方程可得 x=2k，A（2+2 ，3+2 ） ，B（22 ，32 ） ，直线 AB 方程为 y=x+1，|AB|=8，原点 O 到直线 AB 的距离 d= ，S OAB = ，PEF 与OAB 的面积之比为 故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积，意在考查
13、学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】由已知求得 tan，再由万能公式求解【详解】由 sin=2cos，得 tan=2，sincos= = = 故答案为： 【点睛】题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题14.已知向量 , , 满足 ,且 , , ,则_【答案】【解析】【分析】先根据已知得到 ，再计算出 ，再化简 得解.【详解】因为 ，所以 ，所以 .故答案为：【点睛】(1)本题主要考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推
14、理能力.(2)解答本题的关键是通过观察想到消元消去 .15.已知 ， 为奇函数， ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】【分析】令 g（x）= ， ，根据函数的单调性求出 g（x）g（0） ，从而求出不等式的解集即可【详解】y=f（x）1 为奇函数，f（0）1=0，即 f（0）=1，令 g（x）= ， ，则 g（x）= 0，故 g（x）在 递增，f（x）cosx，得 g（x）= 1=g（0） ，故 x0，故不等式的解集是（0， ） ，故答案为：（0， ）【点睛】题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造 ,（2）若 ，就构造 ， （3） ，就构造， （4）
15、就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数.16.在四面体 中， ，则四面体体积最大时，它的外接球半径_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，取 AB 中点 E，连接 CE，DE，设 AB=2x（0x1） ，则 CE=DE= ，可知当平面 ABC平面 ABD 时，四面体体积最大，写出体积公式，利用导数求得体积最大时的 x值，再由ABD 的外心 G 与ABC 的外心 H 作两个三角形所在平面的垂线，可得交点 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，然后求解三角形得答案【详解】如图，取 AB 中点 E，连接 CE，DE，设 AB=2x（0x1） ，则 CE=DE= ，当平面 ABC平面 ABD 时，
16、四面体体积最大，为 V= = = V= ，当 x（0， ）时，V 为增函数，当 x（ ，1）时，V 为减函数，则当 x= 时，V 有最大值设ABD 的外心为 G，ABC 的外心为 H，分别过 G、H 作平面 ABD、平面 ABC 的垂线交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心在ABD 中，有 sin ，则 cos ，sin = 设ABD 的外接圆的半径为 r，则 ，即 DG=r= 又 DE= ，OG=HE=GE= 它的外接球半径 R=OD= 故答案为： 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面
17、图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.17.已知正数数列 满足： ， .（1）求 ， ；（2）设数列 满足 ，证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项 .【答案】 （1） ， ；（2）【解析
18、】【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式以及 a1=2，依次令 n=2、3、4，计算即可得答案；（2）由已知条件可知： ，变形可得= = =0，结合等差数列的性质分析可得答案【详解】 （1）由已知 ，而 ， ，即 .而 ，则 .又由 ， ， ，即 .而，则 . ， .（2）由已知条件可知： ， ，则，而 ， ，数列 为等差数列. .而 ，故 .【点睛】判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：1定义法： （常数） （ ） 是等差数列。2递推法： （ ） 是等差数列。3性质法：利用性质来判断。4通项法： （ 为常数） 是等差数列。5求和法： （ 为常数， 为 的前 项的和） 是等差数列。
19、18.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别在棱 ， 上，且 .（1）已知 为棱 上一点，且 ，求证： 平面 .（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）过 M 作 MTAA 1于点 T，连 B1T，则 A1T=1推导出AA 1EA1B1T，AA 1E=A 1B1T推导出 A1EB 1T从而 MT面 AA1B1B，进而 MTA 1E，A 1E面MTB，A 1EMB 1连 B1D1，则 B1D1A 1C1又 D1MA 1C1，从而 A1C1面 MD1B1，A 1C1MB 1由A1EMB 1，A 1C1MB 1，能证明 B1M面 A1EC1（2）在
20、 D1C1上取一点 N，使 ND1=1，连接 EF则 =由余弦定理可知 cosEA 1C1求出A 1EC1的面积，由等体积法可知 F 到平面 A1EC1之距离 h 满足 ，求出 ，由此能求出直线 FC1与平面 A1EC1所成角的正弦值【详解】 （1）过 作 于点 ，连 ，则 .易证： ，于是.由 ，知 ， .显然面 ，而 面 ， ，又 ， 面 ，.连 ，则 .又 ， ， 面 ， .由 ， ， 面 .（2）在 上取一点 ，使 ，连接 .易知 .对于 ， ， ，而 ，由余弦定理可知 . 的面积 .由等体积法可知 到平面 之距离 满足 ，则 ， ，又 ，设 与平面 所成角为 ，.【点睛】求直线和平面
21、所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19.已知椭圆 ： ，过点 作倾斜角互补的两条不同直线 ， ，设 与椭圆 交于、 两点， 与椭圆 交于 ， 两点.（1）若 为线段 的中点，求直线 的方程；（2）记 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）设直线 l1的方程为 y1=k（x1） ，根据韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率 k，问题得以解决，（2）根据弦长公式分别求出|AB|，
22、|CD|，再根据基本不等式即可求出【详解】 （1）设直线 的斜率为 ，方程为 ，代入 中， . .判别式.设 ， ，则. 中点为 ， ，则 .直线的 方程为 ，即 .（2）由（1）知 .设直线的 方程为 .同理可得 . . .令 ，则 ， . 在 ， 分别单调递减， 或 .故 或 .即.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确
23、定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区 名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表） ；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 服正态分布 ，其中 ， 分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差 ，那么该区 名考生成绩超过 分（含 分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 名考生，记成绩不超过 分的考生人数为 ，求 .（精确到
24、 ）附： ， ； ，则 ， ； .【答案】 （1） 分；（2）634 人；（3）0.499【解析】【分析】（1）根据加权平均数公式计算 ；（2）根据正态分布的对称性计算 P（z84.81） ，再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算 P（3） 【详解】 （1）由题意知：中间值概率 ， 名考生的竞赛平均成绩 为 分.（2）依题意 服从正态分布 ，其中 ， ， ， 服从正态分布 ，而 ，.竞赛成绩超过 分的人数估计为 人人.（3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .而 ，.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值充分利
25、用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.21.已知函数 ， .（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记 t=lnx+x，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断 a 的范围即可【详解】 （1）定义域为： ，当 时， . 在 时为减函数；在 时为增函数.（2）记 ，则 在 上单增，且 . .在 上有两个零点等价于 在 上有两个零点.在 时， 在 上单增，且 ，故 无零点；在 时， 在 上单增，又 ， ，故 在 上
26、只有一个零点；在 时，由 可知 在 时有唯一的一个极小值 .若 ， ， 无零点；若 ， ， 只有一个零点；若 时，而 ，由于 在 时为减函数，可知： 时，.从而 ， 在 和 上各有一个零点.综上讨论可知：时 有两个零点，即所求 的取值范围是 .【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐
27、标系， 的极坐标方程为 ， 的参数方程为 （ 为参数， ）.（1）写出 和 的普通方程；（2）在 上求点 ，使点 到 的距离最小，并求出最小值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）l 的极坐标方程转化为 cos+sin10=0，由 x=cos，y=sin能求出 l的普通方程；C 的参数方程消去参数 ，能求出 C 的普通方程（2）在 C 上取点 M（3cos，2sin） ，利用点到直线的距离公式求出 d=由此能求出结果【详解】 （1）由 ： ，及 ， . 的方程为 .由 ， ，消去 得 .（2）在 上取点 ，则 .其中 ，当 时， 取最小值 .此时 ， ， .【点睛】本题考查直线的普
28、通方程和曲线的普通方程的求法，考查点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23.已知 .（1）在 时，解不等式 ；（2）若关于 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】【分析】（1）在 a=2 时，|2x2|x+2|1通过 x1 时，x2 时，2x1 时，转化求解即可（2）|x+2|ax2|4 恒成立，转化为|（1+a）x|4 恒成立，或|（1a）x+4|4 恒成立，然后求解即可【详解】 （1）在 时， .在 时， ， ；在 时， ， ， 无解；在 时， ， .综上可知：不等式 的解集为 .（2） 恒成立，而 ，或 ，故只需 恒成立，或 恒成立， 或 . 的取值为 或 .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新趋势
