1、理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 中只含有一个元素，则 （ ）A. 0 B. -4 C. -4 或 1 D. -4 或 0【答案】D【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即 ,故选 D.2.某天的值日工作由 4 名同学负责，且其中 1 人负责清理讲台，另 1 人负责扫地，其余 2 人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A. 6 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 24 种【答案】B【解析】方法数有 种.故选 B.3.已知函数 ，若 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D
2、【解析】由于 ,故函数为奇函数,由于 ,故函数为定义域上的增函数,而,所以 ,故选 D.4.在平行四边形 中，点 为 的中点， 与 的交点为 ，设 ，则向量 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,故选 C.5.已知抛物线 ，过点 的直线与 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设直线方程为 ,代入抛物线方程得 ,所以,由于 ,解得 ,故选 .6.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
3、）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 中， ，则阳马 的外接球的表面积是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以 为边,将图形补形为长方体,长方体外接球即阳马的外接球,长方体的对角线为球的直径,即 ,故球的表面积为 .选 B.7.若 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数分别在点 和点 处取得最大值 与最小值 ,故选 A.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的 是 10，则与输出结果 的值最接近的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, , , ,此时 不成立,输
4、出 .故选 B.9.在 中，点 为边 上一点，若 ， ， ， ，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,且 ,在 中,有余弦定理,有,解得 ,在 中,可得 .则.选 C.10.某市 1 路公交车每日清晨 6：30 于始发站 A 站发出首班车，随后每隔 10 分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从 A 站搭乘该公交车上班，甲在 6：35-6：55 内随机到达 A 站候车，乙在 6：50-7：05 内随机到达 A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系, 分别表示甲,乙二人到达 站的时刻,则坐标系中
5、每个点 可对应某日甲乙二人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲乙二人到达 站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为 .11.如图， 中， ，若其顶点 在 轴上运动，顶点 在 轴的非负半轴上运动.设顶点 的横坐标非负，纵坐标为 ，且直线 的倾斜角为 ，则函数的图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ,对应的图象应该是 A.【点睛】本小题主要考查平面几何中的动点轨迹问题,考查三角函数作图方法.三角函数作图可采用五点作图法: 先列表，令 ，求出对应的五个 的值和五个 值，再根
6、据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 的图像.12.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任意的，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）A. -1 B. C. D. 【答案】C【解析】函数 为偶函数,且当 时,函数为减函数, 时,函数为增函数.若对任意的 ，不等式 恒成立，则 ,即 ,所以.当 时, ,所以 ,解得 ,所以 .当 ,时,不等式成立,当 时, ,无解,故 , 的最大值为 .【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分
7、类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断, 则函数为偶函数,若则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 轴对称.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数 对应的点位于第三象限，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】依题意有 且 ,解得 .14.已知 ，则 _【答案】【解析】由 得 ,所以 .15.（山西省 2018 年高考考前适应性测试）过双曲线 的右焦点，且斜率为 2 的直线与 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是_【答案】 .由题意知 ,故 ,故 .【解析】由双曲线及其渐近线可知,
8、当且仅当 时,直线与双曲线的右支有两个不同的公共点,故,故 .【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查直线和双曲线交点个数和双曲线渐近线的关系. 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为 1，则该正方体的体积是_【答案】【解析】依题意可知,该正方体的一条对角线即为俯视方向(如图 1),距最高点最近的三个顶点构成的平面与俯视方向垂直(如图 2),由俯视图中正六边形的边长为 ,可知图 3 中 ,故图 2 中,正方体面对角
9、线长为 ,故棱长为 ,所以体积为 .【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,考查几何体的体积公式. 三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何 体在三 个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形三、解答题 ：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共
10、 60 分. 17.已知等比数列 中， .（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】【试题分析】(1)利用基本元的思想,将已知转化为 ,解方程求得 ,由此求得 .(2)化简 ,利用并项求和法求得其前 项和.【试题解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，因为 ，所以 ，因为 ，解得 ，所以 ；（2） ，设 ，则 ，.18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 10 元；重量超过 的包裹，除 收费 10 元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需再收 5 元.该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：公司对近 60
11、 天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？【答案】 （1） （2）15 元公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利【解析】【试题分析】(1)根据所给数据可知包裹件数在 之间的天数为
12、 ，由此计算出概率为.(2) 利用总费用除以 ,得到平均费用为 .分别计算出两种情况下公司平均每日利润的分布列及期望值,根据期望值可判断公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.【试题解析】（1）样本中包裹件数在 之间的天数为 48，频率 ，故可估计概率为 ，显然未来 3 天中，包裹件数在 之间的天数 服从二项分布，即 ，故所求概率为 ；（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元） ，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元.根据题意及（2），揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 （元） ，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员
13、，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为 （元） ；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为 （元）因 ，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.19.如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ， ，且平面 平面 .（1）求证： ；（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【试题分析】(1)连接 ,根据菱形的几何性质有 ,由面面垂直的性质定理可知平面 ,所以 , , ,所以 平面 ,所以 .(2) 设，过点 作 的平行线 ，以 为坐标原点建
14、立空间直角坐标系,通过计算平面和平面 的法向量来求二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连接 ，由四边形 为菱形可知 ，平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， ，又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ；（2）解：设 ，过点 作 的平行线 ，由（1）可知 两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 为平面 的一个法向量，同理可得 为平面 的一个法向量.则 ，又二面角 的平面角为钝角，则其余弦值为 .20.已知椭圆 ： 过点 ，且两个焦点的坐标分别为 ， .（1）求 的方程；（2）若 ， ， 为 上的三个不同的点， 为坐标原点，且
15、 ，求证：四边形的面积为定值.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】【试题分析】(1)通过椭圆的定义求得 ,而 ,由此求得 ,进而求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,代入 ,利用弦长公式求得 ,利用点到直线的距离公式求得原点到直线 的距离,由此求得四边形的面积.【试题解析】（1）由已知得 ， ，则 的方程为 ；（2）当直线 的斜率不为零时，可设 代入 得：，设 ，则 ，设 ，由 ，得，点 在椭圆 上， ，即 ， ，原点到直线 的距离为 .四边形 的面积： .当 的斜率为零时，四边形 的面积 ，四边形 的面积为定值 .【点睛】本小题主要考查利用椭圆
16、定义求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查一元二次方程根与系数关系.在求椭圆方程的过程中,首先注意到题目给定椭圆的焦点坐标,和椭圆上一点坐标,故采用椭圆的定义,即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和相等,并且和为 ,由此求得椭圆方程.21.已知函数 .（1）当 时，若函数 恰有一个零点，求 的取值范围；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) 或 (2) 【解析】【试题分析】(1)函数 的定义域为 ,当 时， ，所以,对 分类讨论,得到函数的单调区间,由此求得 的取值范围.(2) 令,利用 的导数,对 分类讨论函数的单调区间,利用最大值小于零,来求得 的取值范围.【试题解析】（
17、1）函数 的定义域为 ，当 时， ，所以 ，当 时， 时无零点，当 时， ，所以 在 上单调递增，取 ，则 ，因为 ，所以 ，此时函数 恰有一个零点，当 时，令 ，解得 ，当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时， ，所以 在 上单调递增.要使函数 有一个零点，则 即 ，综上所述，若函数 恰有一个零点，则 或 ；（2）令 ，根据题意，当 时， 恒成立，又 ，若 ，则 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且，所以不符题意.若 ，则 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且，所以不符题意.若 ，则 时，恒有 ，故 在 上是减函数，于是“ 对任意 ，都成立”的充要条件是 ，即 ，解得 ，故 .综上，
18、的取值范围是 .【点睛】本小题主要考查利用函数导数研究函数的单调性,最值,考查利用函数的导数求解不等式恒成问题.要通过求解不等式恒成立问题来求得参数的取值范围,可将不等式变形成一为零的形式,然后将另一边构造为函数,利用函数的导数求得这个函数的最值,根据最值的情况来求得参数的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ） ，将曲线经过伸缩变换： 得到曲线 .（1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 的极坐标方程；（2）若
19、直线 （ 为参数）与 相交于 两点，且 ，求 的值.【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析： 求得曲线 的普通方程，然后通过变换得到曲线 方程，在转化为极坐标方程在极坐标方程的基础上结合 求出结果解析：（1） 的普通方程为 ，把 ， 代入上述方程得， ， 的方程为 .令 ， ，所以 的极坐标方程为 .（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，由 得 ，由 得 .而 ， .而 ， 或 .23.选修 45：不等式选讲已知函数 .（）若 的最小值不小于 3，求 的最大值；（）若 的最小值为 3，求 的值.【答案】 （1） （2） 或-4.【解析】【试题分析】(1)由 ,求得 的取值范围和最大值 .(2)对 分成 和三类,去绝对值,将 变为分段函数,利用最小值为 求得 的值.【试题解析】（1）因为 ，所以 ，解得 ，即 ；（2） ，当 时， ，所以 不符合题意，当 时， ，即 ，所以 ，解得 ，当 时，同法可知 ，解得 ，综上， 或-4.
