1、博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 1页博 雅 闻 道 2018-2019 年 度 高 三 第 二 次 联 合 质 量 测 评理 科 数 学 试 题 答 案 解 析一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60分 。1.【 答 案 】 A/【 解 析 】 2 | 4 5 0A x x x = |-1 5x x ； 2 2B x x | 1 2A B x x ， 选 A.2.【 答 案 】 C/【 解 析 】 21 i 1 i 1 1i1 i 2i 2 2z （ ）1 1= i2 2 z ， 选 C.
2、3.【 答 案 】 B/【 解 析 】 p:方 程 2 2 1ax by 表 示 双 曲 线 ， 则 有 a， b 异 号 ， 0 0a b b a 或 者 ；q: 0b a ， p是 q的 必 要 不 充 分 条 件 ， 选 B.4./【 答 案 】 A/【 解 析 】 22 2 23 12( ) ( ) 48aa d a a d ， 已 知 数 列 各 项 为 正 数 ， 可 解 得 2 42ad ， 1 2a ，2 ( 1) 2 2na n n ， 选 A.5.【 答 案 】 C【 解 析 】 易 知 2 12xy x+= 为 奇 函 数 ， 当 0x 时 ， 2 2 2 21 1 1
3、1= = +2 4 4 4x xy x x x+ += ， 当 x时 ， 12y ，选 C.6.【 答 案 】 B/【 解 析 】 设 1| |PF x ， 根 据 椭 圆 定 义 ， 则 有 2| | 2PF a x ， 12| | | 2=PF xPF a x ， 单 调 递 增 ， 则 x 最 大 时 ，即 x a c 时 ， 12| | |PFPF 取 得 最 大 值 为 a ca c ， 已 知 12| | |PFPF 的 最 大 值 为 3， 则 有 3=a ca c ， 解 得 12ce a ，选 B.7.【 答 案 】 D./【 解 析 】 执 行 程 序 框 图 ： i=2,
4、 2=log 3S ;i=3， 2 3log 3 log 4 2S ;i=4, 2log 5S ;i=5, 2 5log 5 log 6S = 2log 6;i=6, 2 6log 6 log 7S 72log ;博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 2页i=7, 2 7 2log 7 log 8=log 8S ;i=8, 92 8 2log 8 log 9 logS ， 选 D.8.【 答 案 】 D/【 解 析 】 当 1x 时 ， 2log 1x ， 解 得 1 2x ；当 1x 时 ， 1 11 x ， 解 得 0x ； 选 D
5、.9.【 答 案 】 C【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 区 域 由 曲 线 2 2x y x y 围 成 ， 在第 一 象 限 时 ， 曲 线 为 2 2 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y x y x y ， 为圆 心 在 1 1( , )2 2 ,半 径 为 22 的 半 圆 ， 由 此 可 得 其 它 象 限 ， 故 区 域 是 由 四 个 半 径 为 22 的 圆 的 一 部 分 组 成 ， 如 图 所 示 ， 其 的 面 积 为2 ， 区 域 的 面 积 为 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 故 区 域 的 面 积 为 2， 所 以
6、 1 2 p ， 2 22 p ，所 以 1 2 1p p ， 故 选 C.10.【 答 案 】 B/【 解 析 】 （ 1） 一 名 男 记 者 参 加 “ 负 重 扛 机 ” 工 作 ， 将 剩 余 四 人 分 为 三 队 负 责 其 余 三 项 工 作 ， 方 案 数 有1 2 33 4 3 108C C A 种 ；（ 2） 两 名 男 记 者 参 加 “ 负 重 扛 机 ” 工 作 ， 剩 余 三 人 负 责 三 个 工 作 ， 此 时 方 案 数 有 2 33 3 18C A 种 ， 所 以 共 有 方 案 数 126种 ， 选 B.11.【 答 案 】 A/【 解 析 】 1201
7、9 sin 1 0x a x a 只 有 一 个 实 数 解 12019 - sin 1x a x a 只 有 一 个 实 数 解 ，令 1( ) 2019xf x ， ( ) sin 1g x a x a ， 原 条 件 等 价 于 ( ) ( )f x g x与 只 有 一 个 交 点 ； 易 知 ( )f x 在1x 处 取 得 最 小 值 1， ( )g x 关 于 (1, )a 中 心 对 称 ；当 0a 时 ， ( )g x 恒 小 于 等 于 0， ( )f x 与 ( )f x 无 交 点 ，当 0a 时 ， ( ), ( )f x g x 的 图 像 如 图 所 示 。由 图
8、 可 知 ， 当 1a 时 ， ( ) ( )f x g x与 只 有 一 个 交 点 ；当 1a 时 ， ( ) ( )f x g x与 没 有 交 点 ；当 1a 时 ， ( ) ( )f x g x与 有 两 个 交 点 ；故 选 A.博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 3页12.【 答 案 】 A/【 解 析 】 因 为 三 棱 柱 的 所 有 顶 点 都 在 球 面 上 ， 因 为 圆 内 接 平 行 四 边 形 均 为 矩 形 ， 所 以 其 为 直 三 棱 柱 。 因为 三 个 侧 面 截 球 的 圆 大 小 相 同 ，
9、 所 以 三 个 侧 面 全 等 ， 所 以 其 为 正 三 棱 柱 。 如 图 所 示 。 因 为 球 的 面 积 为 20 ，所 以 2 5R ， 设 底 面 三 角 形 边 长 为 a， 高 为 h， 有 2 23 ) ( ) 53 2ha （ ；32 6=h a； 可 解 得 2 3, 2a h ,所 以 三 棱 柱 体 积 为 6 3， 故 选 A.二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 。13.【 答 案 】 35/【 解 析 】 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 （ 如 图 示 阴 影 部 分 ） ，作 直 线 l0:
10、 2 3 =0x y ,将 直 线 l0向 右 平 行 移 动 ，设 l:z=2 3x y ,即 1(2 )3y x z ,当 直 线 l:z=2 3x y 过 点 A时 ,直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 大 ,此 时 z=2 3x y 最 小 ,联 立 方 程 32 =1, 3 15 ( , )2 =1, 1 5 55xx y Ax y y ,此 时 min 3 1 3z =2 3 =5 5 5 ,所 以 填 35.14.【 答 案 】 12/【 解 析 】 ： 2 221, 3 2 +6 9 43a b a b a a b b 11 6 1 cos , 6 4 6 cos , 3 c
11、os , 2b a b b a b b a b .15.【 答 案 】 43/【 解 析 】 sin( )6y x 向 右 平 移 个 单 位 得 到 sin( ) cos6y x x 所 以 有 2 ,6 2 k k Z ， 当 k=-1时 ， 可 取 得 最 小 值 43 。16.【 答 案 】 20183/【 解 析 】 当 12 2 1k kn ， 则 1 2 1 01 2 11 2 2 2 2 2k k k k kn b b b b 其 中 1 2 3 1, , , ,k kb b b k k 中 k 个数 都 为 0 或 1，博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数
12、试 题 答 案 解 析 共 10页 第 4页k 个 中 有 0个 为 0 时 ， 共 有 0kC 个 ， 即 有 0kC 个 na 的 值 为 0，k 个 中 有 1个 为 0 时 ， 共 有 1kC 个 ， 即 有 1kC 个 na 的 值 为 1，k 个 中 有 2个 为 0 时 ， 共 有 2kC 个 ， 即 有 2kC 个 na 的 值 为 2， k 个 中 有 1k 个 为 0 时 ， 共 有 1kkC 个 ， 即 有 1kkC 个 na 的 值 为 1k ，k 个 中 有 k 个 为 0 时 ， 共 有 kkC 个 ， 即 有 kkC 个 na 的 值 为 k ，所 以 1(2 )
13、 (2 1) (2 2) (2 1)k k k kf f f f 0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 2 + 2 2 2 2 (1 2) 3k k k k k kk k k k k kC C C C C C 所 以 2018 2018 2018 2019 2018(2 ) (2 1) (2 2) (2 -1) 3f f f f 三 、 解 答 题 ： 本 题 共 6小 题 ， 17-21题 ， 每 小 题 12分 ， 22题 10分 ， 共 70分 。17.【 答 案 】 （ 1） 1 2,2 2 （ 2） 2【 解 析 】 （ 1） 1 cos sin 1 2( ) sin( )2 2
14、 2 2 4x xf x x . （ 2分 ）由 题 意 0 A 则 3, 4 4 4A 2sin( ) ,14 2A .( )f A的 取 值 范 围 为 1 2,2 2 （ 6分 ）（ 2） 由 题 意 知 ： 2 sin( ) 02 4A ,4A k k z 4A k k z 又 A 为 锐 角 4A （ 8 分 ）由 余 弦 定 理 及 三 角 形 的 面 积 得 2 2 222 21 sin 22 4cos4 2a b cbc b c abc 解 得 2b （ 12分 ）博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 5页方 法 二 ：
15、 3 22sin sin( ) sin4 4 2C C 且 C A ， 2C ， ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 2b（ 12 分 ）18.（ 1） 证 明 ： 如 图 ，取 CF 的 中 点 H， 连 结 EH.H 是 CF 的 中 点 ， G是 CD的 中 点 , 1/ , .2GH FD GH FD (2分 )又 1/ , .2AE FD AE FD / , .AE GH AE GH 四 边 形 AGHE是 平 行 四 边 形 . / .AG EH又 .AG EFCB EH EFCB 平 面 ， 平 面/AG平 面 EFCB. （ 6 分 ）(2) ,BEFC AEF
16、D平 面 平 面 CF , ,EF AEFD EFCB EF平 面 平 面CF 平 面 .AEFD , .CF EF CF FD / , , .AE DF AE EF EF DF （ 8 分 ）如 图 ， 以 F为 原 点 ， 分 别 以 FE、 FD、 FC为 , ,x y z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 F xyz ,则 E(1,0,0),F(0,0,0),D(0,2,0),C(0,0,1),A(1,1,0),B(1,0,1),G(0,1,1)2 ,1( 1,0, ), (0, 1,0).2AG AE 设 平 面 AGE的 一 个 法 向 量 为 ( , , )x y zn
17、 ,则 1 0,20,AG x zAE y nn 令 2z ,得 1x , 0y (1,0,2)n= . （ 10分 ）又 (0, 1,1),AB = 2 2 2 2 2 21 0 0 ( 1) 2 1 10cos , .51 0 2 0 ( 1) 1AB n 直 线 AB与 平 面 AGE所 成 角 的 正 弦 值 为 105 （ 12分 ）19.【 答 案 】 五 局 三 胜 更 有 利 于 选 拔 出 实 力 最 强 的 选 手 。 （ 2 分 ）/【 解 析 】 甲 乙 两 人 对 决 ， 若 甲 更 强 ， 则 其 胜 率 12p 。 采 用 三 局 两 胜 制 时 ， 若 甲 最
18、终 获 胜 ， 其 胜 局 情 况是 ： “ 甲 甲 ” 或 “ 乙 甲 甲 ” 或 “ 甲 乙 甲 ” .而 这 三 种 结 局 互 不 相 容 ， 于 是 由 独 立 性 得 甲 最 终 获 胜 的 概 率 为 ： 2 21 2 1P p p p . （ 5 分 ）Hx yz博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 6页采 用 五 局 三 胜 制 ， 若 甲 最 终 获 胜 ， 至 少 需 比 赛 3 局 ， 且 最 后 一 局 必 须 是 甲 胜 ， 而 前 面甲 需 胜 二 局 ， 由 独 立 性 得 五 局 三 胜 制 下 甲 最
19、 终 获 胜 的 概 率 为 ： 22 23 3 32 3 41 1P p p p p p C C . （ 9 分 ）而 22 3 2 22 1 6 15 12 3 3 1 2 1P P p P p p p P p . （ 11 分 ）因 为 12p ， 所 以 2 1P P ， 即 五 局 三 胜 的 条 件 下 甲 最 终 获 胜 的 可 能 更 大 。 所 以 五 局 三 胜 制 更 能 选 拔 出最 强 的 选 手 。 （ 12分 ）20.【 解 析 】 解 ： (1) 法 1:抛 物 线 2: 4C x y 的 准 线 为 : 1l y ， 故 可 设 点 ( , 1)G a ，由
20、2 4x y ,得 214y x ,所 以 12y x .所 以 直 线 GA的 斜 率 为 112 x .因 为 点 1 1,A x y 和 2 2,B x y 在 抛 物 线 C上 , 所 以 21 114y x , 22 214y x .所 以 直 线 GA的 方 程 为 21 1 11 14 2y x x x x .因 为 点 , 1G a 在 直 线 GA上 ,所 以 21 1 11 11 4 2x x a x ,即 21 12 4 0x ax .同 理 , 22 22 4 0x ax . （ 3分 ）所 以 1 2,x x 是 方 程 2 2 4 0x ax 的 两 个 根 ， 所
21、 以 1 2 4x x .又 22 21 2 1 2 1 21 1 1 14 4 16y y x x x x ,所 以 1 2 1 2 3x x y y 为 定 值 . （ 5 分 ）法 2:设 过 点 , 1G a 且 与 抛 物 线 C相 切 的 切 线 方 程 为 1y k x a ,由 21 , 4 ,y k x ax y 消 去 y 得 2 4 4 4 0x kx ka ,由 216 4 4 4 0k ak , 化 简 得 2 1 0k ak ， 所 以 1 2 1k k .由 2 4x y ,得 214y x ,所 以 12y x （ 3分 ）所 以 直 线 GA的 斜 率 为 1
22、 112k x ,直 线 GB的 斜 率 为 2 212k x .所 以 1 21 14 x x , 即 1 2 4x x .又 22 21 2 1 2 1 21 1 1 14 4 16y y x x x x ,所 以 1 2 1 2 3x x y y 为 定 值 . （ 5 分 ）博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 7页(2)存 在 ， 由 （ 1） 知 2 212 21 4x x x x .不 妨 设 1 2x x ,则 1 22, 2,x x 即 A(-2,1),B(2,1).设 ( , ), ( , )M M N NM x y
23、 N x y .则 21 12 4 ,4 ,M Mx yx y 两 式 作 差 ， 可 得 1 1 1( )( ) 4( ),M M Mx x x x y y 所 以 直 线 AM 的 斜 率 为 1 24 4M MAM x x xk ， 同 理 可 得 2,4NAN xk 因 为 ,AM AN 所 以 22 1,4 4NMAM AN xxk k 整 理 得 2( ) 20 0,M N M Nx x x x （ 7 分 ）又 因 为 22 4 ,4 ,M MN Nx yx y 两 式 作 差 ， 可 得 ( )( ) 4( ),M N M N M Nx x x x y y 从 而 可 得 直
24、线 MN的 斜 率 为 ,4M NMN x xk 所 以 直 线 MN的 方 程 为 2 ( ),4 4M NM Mx xxy x x 化 简 可 得 4 ( ) ,M N M Ny x x x x x （ 9分 ）将 代 入 上 式 得 4 ( ) 2( ) 20,M N M Ny x x x x x 整 理 得 4( 5) ( )( 2)M Ny x x x 所 以 直 线 MN过 定 点 （ 2， 5） ， 即 P点 的 坐 标 为 （ 2， 5） . （ 10 分 ）同 理 ， 设 21 xx ,根 据 抛 物 线 对 称 性 质 可 得 直 线 MN 过 定 点 （ -2， 5） ，
25、 即 P 点 的 坐 标 为 （ -2， 5） （ 12分 ）21.【 解 析 】 （ 1） 由 题 意 知 ， 函 数 f x（ ） 的 定 义 域 为 （ 0， + ） ，lnf x x ax （ ） 令 ( ) 0f x lnln 0 xx ax a x .令 ln( ) xh x x .则 由 题 意 可 知 ： 直 线 x=a与 函 数 h x（ ） 的 图 像 有 两 个 不 同 的 交 点 . 2ln1)( x xxh ,令( ) 0h x 则 ex .( )h x 在 0（ ， e） 上 单 调 递 增 ， 在 e +（ ， ） 上 单 调 递 减 ， max 1(e) eh
26、x h （ ） ，又 因 为 0)1( h , )(xh 在 e,0 上 递 增 ,当 )(,0 xhx ;又 当 .0ln, xex 0ln xx ,又 )(xh 在 ,e 递 减 .当 ,x 0)( xh ,结 合 )(,ln xhxx 图 像 易 得 .博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 8页实 数 a 的 取 值 范 围 为 10 e（ ， ） （ 4分 ）（ 2） 当 2a 时 ， 2ln - 2f x x x x x （ ） .( 2) ( ) ( )k x g x f x 即 ： 2 22 2 2 ln 2k x x x
27、 x x x x （ ）ln2 2x x xx k x . （ 5分 ）令 ln 22x x xF x xx （ ） （ ） .则 24 2ln( ) ( 2)x xF x x . （ 6分 ）令 4 2ln ( 2)m x x x x （ ） .则 2( ) 1 0m x x .( )m x在 2+（ ， ） 上 单 调 递 增 . （ 8 分 ）28 4 2ln8 4 2lne 4 4 0m （ ） . 3(10)=6 2ln10 6 2ln 6 6 0m e . 函 数 ( )m x 在 （ 8， 10） 上 有 唯 一 零 点 0x ， 即 ： 0 04 2ln 0x x .02 x
28、x 时 ， ( ) 0m x .即 ( ) 0F x .当 0 xx 时 ， ( ) 0F x ， （ 10分 ）000 0 0min 0 0 4(1 )ln 2( ) 2 2 2xxx x x xF x x x 02xk 0 (8,10)x 0 (4,5)2x k 的 最 大 值 为 4 （ 12 分 ）22.【 解 析 】 （ ） 曲 线 1C 化 为 普 通 方 程 为 +3 0x y ， 是 一 条 直 线 ， （ 1分 ）对 于 曲 线 2C ： 由 cosx 及 2 2 2+x y 代 入 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 得 其 直 角 坐 标 方 程 为2 2 2 0x y
29、 x a ， 即 为 2 2( 1) 1x y a （ 2分 ）当 a1,曲 线 2C 不 存 在 （ 5 分 ）（ ） 由 （ ） 知 曲 线 1C 化 为 普 通 方 程 为 +3 0x y ，令 0, 3; 0, 3x y y x , 所 以 A(-3,0),B(0,-3) （ 6分 ）博 雅 闻 道 高 三 联 合 质 量 测 评 理 数 试 题 答 案 解 析 共 10页 第 9页又 由 题 可 知 a1,曲 线 2C ： 2 2( 1) 1x y a ，由 直 线 与 圆 相 切 可 知 1+3 = 12 a ，解 得 7a ， 此 时 2C ： 2 2( 1) 8x y ， （
30、8 分 ）所 以 max 1 1( ) 2 3 2 2 2 2 122 2PABS AB R ，所 以 PAB面 积 的 最 大 值 为 12 （ 10分 ）23.解 : (1)依 题 意 得 13 , 212, 1( ) 23 , 1x xx xf x x x ，于 是 得 1 1 1, 1, .2 2 3 23 2 2 2 xx x xx x 或 或解 得 23x ,或 0x .即 不 等 式 ( ) 2f x 的 解 集 为 2 | 0.3x x x 或 （ 5分 ）(2) ( ) ( ) ( ) | 1| | 1| (|2 1| |2 1|)g x f x f x x x x x |( 1) ( 1)| |(2 1) (2 1)| 4x x x x ，当 且 仅 当 ( 1)( 1) 0,(2 1)(2 1) 0,x xx x 即 1 1 , 2 2x 时 取 等 号 ，若 对 于 任 意 的 x R ,不 等 式 | 1| ( )k g x 恒 成 立 ， 则 min| 1| ( ) 4k g x ，所 以 4 1 4k ， 解 得 3 5k ， 即 实 数 k的 取 值 范 围 为 ( 3,5) （ 10分 ）
