1、山东省潍坊市 2018 届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由集合 和 ，利用集合的交集的运算，即可得到结果.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中根据题意正确求解集合 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数满足 ，则 （ ）A. B. 3 C. 5 D. 25【答案】C【解析】分析：由题意，根据复数的运算，求得 ，进而求解 .详解：由题意 ，则 ，所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了
2、复数的运算及复数模的求解，其中根据复数的运算，求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 在直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意角 的终边经过点 ，即点 ，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角 的终边经过点 ，即点 ，则 ，由三角函数的定义和诱导公式得 ，故选 C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线 的离心率为（ ）A. 2 B. C. D
3、. 【答案】D【解析】分析：由双曲线 的一条渐近线 与直线 垂直，求得 ，再利用离心率的定义，即可求解曲线的离心率.详解：由题意，直线 的斜率为 ，又由双曲线 的一条渐近线 与直线 垂直，所以 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 ，故选 D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程( 不等式)，即可得 (的取值范围)5. 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表
4、示的平面区域，设 ，化为 ，则 表示直线在 轴上的截距，结合图象可知，经过点 时，目标函数取得最大值，联立方程组，求得点 的坐标，代入即可求解.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设 ，化为 ，则 表示直线在 轴上的截距，结合图象可知，当直线 经过点 时，目标函数取得最大值，又由 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 ，故选 B.点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义，着重考查数形结合思想方法的应用，以及推理与运算能力.6. 已知 是空间中
5、两条不同的直线， 是两个不同的平面，有以下结论： .其中正确结论的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：根据直线与平面的位置关系的判定定理和性质定理，即可作出判定得到结论.详解：由题意，对于中，若 ，则两平面可能是平行的，所以不正确；对于 中，若 ，只有当 与 相交时，才能得到 ，所以不正确；对于 中，若 ，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得 ，所以是正确的；对于 中，若 ，所以是不正确的，综上可知，正确命题的个数只有一个，故选 B.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证
6、明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直7. 直线 ，则“ 或 ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由两条直线平行，求解 ，在根据充要条件的判定方法，即可得到结论.详解：由题意，当直线 时，满足 ，解得 ，所以“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B.点睛：本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定，其中正确求解两条直线平行式，实数 的值是解答的关键，着重考
7、查了推理与论证能力，试题属于基础题.8. 已知 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据幂函数 在 为单调递增函数，得出 ，在根据对数函数的性质得 ，即可得到结论.详解：由幂函数性质，可知幂函数 在 为单调递增函数，所以 ，即 ，又由对数函数的性质可知 ，所以 ，即 ，故选 A.点睛：本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟练运用幂函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9. 三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角
8、形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求出 ，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，利用面积比，即可求解概率.详解：由题意 ，且 ，解得 ，不妨设三角形内的斜边的边长为 5，则较小边直角边的边长为 ，较长直角边的边长为 ，所以小正方形的边长为 1，所以打正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，所以满足条件的概率为 ，故选 D.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解问题，其中解答中利用三角函数的基本关系式，求得大、小正
9、方形的边长，得到大、小正方形的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）A. 45 B. 55 C. 66 D. 78【答案】D【解析】分析：根据程序框图的运算功能可知，该程序框图是计算 的正整数的和，即可求解结果.详解：执行如图所示的程序框图，根据程序框图的运算功能可知，该程序框图是计算 的正整数的和，因为 ，所以执行程序框图，输出的结果为 ，故选 B.点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的输出问题，其中正确把握循环结构的程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11. 一个几何体的三视图如图所示，其中
10、正视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意画出图形，可知该几何体是侧棱 底面 的三棱锥，由已知求其外接球的半径，即可求解外接球的表面积.详解：根据几何体的三视图可知，该几何体的侧棱 底面 的三棱锥，如图所示，为边长为 的正三角形，取 的三等分点 ，则 为 的外心，作 平面 ，为直角三角形，外心 是 的中点，则 平面 ，则 为三棱锥 的外接球的球心，则 ， ,所以外接球的表面积为 ，故选 C.点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的外接球的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体
11、的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.12. 已知函数 ，若 有两个极值点 ，记过点 ，的直线的斜率为 ，若 ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：当 时，函数 的导数为 ，不妨设 ，则有，所以 可得 ，由直线的斜率公式 的表达式，可得，令 ，得 ，得，即可得到 ，详解：当 时，函数 的导数为 ，由函数 由两个极值点得 ，又 为奇函数，不妨设 ，则有 ，所以 可得 ，由直线的斜率公式可得 ，又 ，所以
12、，得所以 在 上单调递增，又由 ，由 ，得 ，所以 ，故选 A.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值( 极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 定积分 _.【答案】【解析】分析：根据定积分，找到被积分函数的原函数，即可求解.详解：由 .点睛：本题主要考查了定积分的计算
13、问题，其中解答中找到被积分函数的原函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 若 ，则 _.【答案】【解析】分析：由 ，得展开式的每一项的系数为 ，代入 ，即可求解.详解：由题意 ，得展开式的每一项的系数为 ，所以又由 ，且 ，所以 .点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中对二项展开式的灵活变形和恰当的赋值，以及熟练掌握二项式系数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上第一象限内一点，满足 ，已知 为抛物线准线上任一点，当 取得最小值时， 的外接圆半径为_.【答案】【解析】分析：根据抛物线的定义可知 ，解
14、得 ，得 ，作抛物线的焦点 ，关于抛物线准线 的对称点得 ，连接 交抛物线的准线于点 ，使得 取得最小值，此时点 的坐标为 ，在 中，分别应用正、余弦定理，即可求解结果.详解：由抛物线 的方程可知 ，设 ，又由 ，根据抛物线的定义可知 ，解得 ，代入抛物线的方程，可得 ，即 ，作抛物线的焦点 ，关于抛物线准线 的对称点得 ，连接 交抛物线的准线 于点 ，此时能使得 取得最小值，此时点 的坐标为 ，在 中， ，由余弦定理得 ，则 ，由正弦定理得 ，所以 ，即三角形外接圆的半径为 .点睛：本题主要考查了抛物线标准方程及其定义的应用，以及正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中根据抛物线的定义和直
15、线的对称性，得到点 的坐标是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16. 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，若点 是 外一点， ，则平面四边形 面积的最大值是_.【答案】【解析】分析：由 ，化为 ，又 ，可得 为等边三角形，设三角形的边长为，则 ，利用余弦定理和两角和差的正弦公式，及函数的单调性即可求解.详解：由 ，化为 ，所以 ，所以 , ，所以 ，又 ，可得 为等边三角形，设 的边长为，则 ，则 ，当 时， 取得最大值 .点睛：本题主要考查了解三角形性的综合应用，其中解答中涉及到两角和差的正弦公式、三角函数图象与性质，
16、余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由题意得 ，化简递推得 ，可得数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得 ，得 ，利用裂项分组求和，即可求解数列的和.详解：（1）由已知 1， ， 成等差数列得 当 时， ，
17、 ，当 时， 得 ， ，数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， .（2）由 得 ，.点睛：本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中根据题设条件，正确求解数列 的通项公式和恰当的选择求和的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18. 如图所示五面体 ，四边形 是等腰三角形， ， ， ，.（1）求证：平面 平面 ；（2）若四边形 为正方形，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）根据题意和图形的性质，证得 平面 ，即可利用面面垂直的判定定理，证得平面 平面 .（2）由（1）得 两两垂直，以点 为坐标原点
18、，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.详解：（1） 是等腰梯形， ， ，又 ， ， ， ，又 平面 平面 ，平面 平面 .（2）由（1）知 ，平面 平面 ,平面 平面 ，四边形为正方形， ， 平面 ， 两两垂直以点 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图则 ， ，设 是平面 的一个法向量，则 ， ，是平面 的一个法向量， ，二面角 的余弦值为 .点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互
19、转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 新能源汽车的春天来了！2018 年 3 月 5 日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 （万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法
20、求 关于的线性回归方程 ，并预测 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018 年 6 月 12 日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（i）求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 的样本方差 及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到 0.1）；（i
21、i）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取 3 人，记被抽取 3 人中对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的人数为，求的分布列及数学期望 .参考公式及数据：回归方程 ，其中 ， ； .【答案】 （1） ，2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆；（2）（i）见解析， （ii）见解析【解析】分析：（1）利用平均数的公式求得 ，再利用最小二乘法，求得 ，进而得到回归方程，作出预测；（2）（i）根据题意，利用公式即可求解这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 的平均值 ，样本方差 及中位数的估计值.（ii）根据给定
22、的频数表可知，得到的所有可能取值为 求解相应的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望.详解：（1）易知 ，则 关于的线性回归方程为 ，当 时， ，即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆.（2）（i）根据题意，这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 的平均值 ，样本方差 及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为 .（ii）根据给定的频数表可知，任意抽取 1 名拟购买新能源汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的概率为 ，由题意可知 ，的所有可能取值为 0,1,2,3， ， ，的分布列为：所以20. 已知 为圆 ： 上一动点，过点
23、作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ，连接延长至点 ，使得 ，记点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程； （2）直线 与圆 相切，且与曲线 交于 两点，直线 平行于且与曲线 相切于点（ 位于两侧） ， ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）设 ，根据中点公式得 ， ，代入圆的方程，即可得到曲线 的方程；（2）由 与圆 相切，求得 ，又由两条平行线之间的距离公式得 ，利用面积比，求得 ，用直线 与椭圆联立方程组， ，联立方程组，即可求解 的值.详解：（1）设 ，则 且 ，由 为矩形， ， ，即 ， ， .（2）设 ，与圆 相切， ，得 与距离 ， 或 ，又 位于两侧， ，联立
24、消去 整理得 ，由 得 由得 .点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知函数 ， .（1）讨论函数 极值点的个数；（2）若对 ，不等式 成立.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：当 时，不等式 成立.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解
25、析】试题分析：（1）先求函数导数，转化为研究二次函数 实根分布：当，导函数不变号，无极值；当 ，分 时，两个正根，有两个极值点； 时，两个负根，无极值点（2）不等式恒成立问题利用变量分离转化为对应函数最值问题： ，再利用导数研究函数 单调性，并得最小值 ，即得实数的取值范围；由转化证明 ，利用导数研究函数单调性，可得试题解析： 解：由题意得 ，令 ，（1）当 ，即 时， 对 恒成立，即 对 恒成立，此时 没有极值点；（2）当 ，即 或 ， 时，设方程 两个不同实根为 ，不妨设 ，则 ， ，故 ，或 时， ；在 时 ，故 是函数 的两个极值点. 时，设方程 两个不同实根为 ，则 ， ，故 ， ，
26、时， ；故函数 没有极值点.综上，当 时，函数 有两个极值点；当 时，函数 没有极值点.（2） ， 在 单调递减，在 单调递增，所以 只需证明 易得 在 单调递减，在单调递增， ，得证.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，将曲线 绕极点逆时针旋转 后得到曲线 .（1
27、）求曲线 的极坐标方程；（2）直线的参数方程为 （为参数） ，直线与曲线 相交于 两点，已知 ，若 ，求的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）设 上任意一点的极坐标为 ，则 在 上，代入化简，即可得到曲线 的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入 的直角坐标方程，求解 ，得到 和 ，得到关于的方程，即可求解的值.详解：（1）设 上任意一点的极坐标为 ，则 在 上， ，化简得 的极坐标方程： .（2） 的直角坐标方程为 ，将直线的参数方程代入 的直角坐标方程得 ，化简得 ， ， ， ， ， ，满足 ， .点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其
28、中解答中正确理解直线参数方程中参数的几何意义及应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.23. 已知函数 ，不等式 的解集 .（1）求 ；（2）设 ，证明： .【答案】 （1） 或 ；（2）见解析【解析】分析：（1）将 代入不等式整理得 ，分类讨论去掉绝对值，即可求解不等式的解集 ；（2）由题意 ，再利用分析法，作出证明即可.详解：（1） 或 ；（2）见解析将（1）将 代入不等式整理得当 ，不等式转化为 ，解得 ，所以此时 ，当 时，不等式转化为 ，解得 ，所以此时 ，当 时，不等式转化为 ，解得 ，所以此时 ，综上 或 .（2）证明：因为 ，所以要证 ，只需证即证 ，即证即证即证因为 ，所以 ，所以 成立，所以原不等式成立.点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解以及分析证明不等式，对于绝对值不等式的求解，分类讨论去掉绝对值号是求解的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
