1、广东省深圳市南山区 2018 届高三上学期入学摸底考试数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 且 ，则集合 可能是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，下列选项中只有选项 A 中的集合是集合的子集，故选 A.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交
2、、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.2. 已知命题 ，则命题 的否定是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 的否定为 ,所以命题 ： ， 的否定是,选 D.3. 若 满足约束条件 则 的最大值是( )A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】可行域如图,直线 过点 C(0,1)时 取最大值为 1,选 C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取
3、法、值域范围.4. 抛物线 上的一点 到 轴的距离与它到坐标原点 的距离之比为 1:2,则点 到的焦点的距离是 ( )A. B. C. D. 【答案】D5. 个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的 2 个白球和 3 个红球.游客向摊主付 2 元进行 1 次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出 2 个小球，若摸出的小球同色，则游客获得 3 元励；若异色则游客获得 1 元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】A【解析】游客摸出的 2 个小球同色的概率为 ，所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列
4、为 ，因此 6. 已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得圆柱底面半径为 ，选 D.7. 执行如图所示的程序框图，输出的 的值是( )A. B. 0 C. D. 【答案】C【解析】，选 C.8. 已知单位向量 满足 ，则 与 夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ， ，因此 ，选 D.9. 设 的内角 的对边分为 ， .若 是 的中点，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,选 B.第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确
5、定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.10. ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选 B.11. 若双曲线 的左支与圆 相交于 两点， 的右焦点为 ，且 为正三角形，则双曲线 的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 的左焦点为 由题意得，选 A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数 ，对于任意 且 .均存在唯一实数
6、，使得 ，且 .若关于 的方程 有 4 个不相等的实数根，则 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，作出函数 图像，由图知，选 C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若复数 在复平面内的对应点在虚轴上，则 _.【答案】1【解析】 14. 若函数 是奇函数函数，则使 成立的 的
7、取值范围是_.【答案】【解析】 时函数 不是奇函数，由 是奇函数得点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的值或解析式.15. 某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 1，则该多面体的体积是_.【答案】【解析】几何体为如图，两个三棱锥和一个正方体的组合体，所以16. 已知函数 的图象的一个最高点是 ，最低点的纵
8、坐标为 2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度可以得到的图象，则 _【答案】【解析】由题意得 因此 点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的前 项和为 .（1）求数列 的通项公式；（2）当 取得最小值时，求 的值.【答案】 （1） （2） 或 6.【解析】试题分析：（1）由 ， 得： ，故；（2）令 ，即 ，解得 ，所以当 取最小值时，或 6.试题解析：(1)因为 ，又 ，解得
9、 .所以数列 的公差 .所以 .(2)令 ，即 ，解得 .又 ，所以当 取最小值时， 或 6.18. 在多面体 中，四边形 与 均为正方形， 平面 ，平面 ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直判定定理由线线垂直得线面垂直： 平面，即得 平面 ， .再根据勾股定理计算可得 ，最后根据线面垂直判定定理得 平面 ；（2）利用空间向量求二面角大小：先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系得结论试题解析：解：(1)证明：由题意可
10、得 ， ， 平面 ， ， 平面 ，而 平面 ， .如图，连接 ， 平面 ， 平面 ， ，四边形 为直角梯形，设 ，则依题意 ， ， ， . ，又 ， ， 平面 ；(2)解：由(1)知 两两垂直，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则 ， ，取 ，得 .又 是平面 的一个法向量， ，二面角 的余弦值为 .19. 某班 20 名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.（1）完成频率分布直方图；（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改
11、组区间的中点值作代表） ；（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 ，并假设 ，且各自取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率 .【答案】 （1）见解析（2）78（3）0.79【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，频率分布直方图小长方体的高等于对应概率除以组距，计算数值并完成频率分布直方图；（2）根据组中值与对应概率乘积的和为平均数计算平均成绩（3）先根据平均数等于总分除以总人数得 ，再解不等式 得 ，最后根据古典概型概率计算公式求概率试题解析：解：（1）频率分布直方图如图：（2） ，即全班同学平均成绩可估计为 78 分.（3） ，故 .20. 已知椭圆 经过点 ， 的
12、四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆 的方程；（2）在椭圆 上是否存在相异两点 ，使其满足:直线 与直线 的斜率互为相反数；线段 的中点在 轴上，若存在，求出 的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2）3【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得 ，再根据 A 在椭圆上，列方程组，解得 ， （2）先设直线 的方程，并与椭圆方程联立解出 E 点横坐标；根据直线与直线 的斜率互为相反数，可推出 F 点横坐标，再根据线段 的中点在 轴上，解出直线 的斜率，最后根据几何性质得 的角平分线方程为 .试题解析：解：(1)由已知得 ，解得 ，椭圆 的方程 .(2)设直线
13、 的方程为 ，代入 ，得.(*)设 ， ，且 是方程(*)的根， ，用 代替上式中的 ，可得 ， 的中点在 轴上， ， ，解得 ，因此满足条件的点 ， 存在.由平面几何知识可知 的角平分线方程为 .所求弦长为 .21. 已知函数 .（1）讨论函数 在区间 上的单调性；（2）已知函数 ，若 ，且函数 在区间 内有零点，求的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求导数： ，再根据导函数符号是否变化分类讨论：当 时， ，当 时， ，当 时，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.（2）先求函数 导数，因为 ，结合（1）结论得： ，因此， ， ,由于 ，所以 恒成立，解 ，
14、得 的取值范围.试题解析：解：(1)由题得 ，所以 .当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时，令 ，得 ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；当 时，所以 在 上单调递减.(2) ，设 为 在区间 内的一个零点，则由 ，可知 在区间 上不单调，则 在区间 内存在零点 ，同理， 在区间 内存在零点 ，所以在区间 内至少有两个零点.由(1)知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点，不合题意.当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，不合
15、题意，所以 ，此时 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.因此， ， ，必有 ，.由 ，得 ， .又 ， ，解得 .点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .与 相交于 两点.（1）把 和 的方程化为直角坐标方程，
16、并求点 的直角坐标；（2）若 为 上的动点，求 的取值范围.【答案】 （1） , 或.（2）【解析】试题分析：（1）先根据 将 和 的极坐标方程化为直角坐标方程，再解方程组得点 的直角坐标（2）利用圆的参数方程化简为 ，再根据三角函数有界性求取值范围试题解析：解：（1） .解 得 或 .（2）设 ，不妨设 ，则，所以 的取值范围为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若对于任意的实数 都有 ，求 的取值范围 .【答案】 （1） 或 .（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）先转化不等式恒成立问题： ，再根据分段函数求最值方法求 ，即得 的取值范围.试题解析：解：（1）解不等式 ，即 ，等价于：或 或解得 ，或 ，或 .所以所求不等式的解集为 或 .（2）当 时， .又因为对于任意的实数 都有 ，所以 的取值范围是 .
