1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：本题利用复数的除法法则 进行求解.详解：.故选 D.点睛：复数的除法法则涉及的公式比较难记忆，搞清其实质（分子、分母同乘以分母的共轭复数）是解题的关键.2. 已知 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用“若 ，且 ，则 ”得到关于 的方程，再通过解方程求得 值.详解：由题意，得 ，解得 .故选 A
2、.点睛：涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若 且 ，则存在实数 ，使 成立；（2）若 ，且 ，则 .3. 已知 ，集合 ，集合 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先利用 得到 ，由此得到 值，再验证 是否成立进行取舍.详解：因为 ， ，且 ，所以 或 ，若 时， , （舍） ；若 时， , ；即 .故选 B.点睛：本题的易错点是由 得到 或 后，就直接得到错误答案（ 或 ） ，忘记验证 是否成立.4. 空气质量指数（简称： ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照大小分为六级： 为优， 为良， 为轻度污染， 为中度污染，为重
3、度污染， 为严重污染.下面记录了北京市 天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A. 在北京这 天的空气质量中，按平均数来考察，最后 天的空气质量优于最前面 天的空气质量 B. 在北京这 天的空气质量中，有 天达到污染程度C. 在北京这 天的空气质量中，12 月 29 日空气质量最好 D. 在北京这 天的空气质量中，达到空气质量优的天数有 天【答案】C【解析】分析：通过题目所提供的图表得出 22 个数据，研究在各区间上的数据个数，对选项逐一验证得到答案.详解：因为 ，所以在北京这 天的空气质量中，按平均数来考察，最后 天的空气质量优于最前面 天的空气质量，即选项 A 正确；不低于 1
4、00 的数据有 3 个： ，所以在北京这 天的空气质量中，有 天达到污染程度，即选项 B 正确；因为 12 月 29 日的 为 225，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项 C 错误；在 的数据有 6 个： ，即达到空气质量优的天数有 天，即选项 D 正确.故选 C.点睛：本题考查频率分布表的识别和应用，属于基础题，本题的技巧是判定选项 A 时，仅从各数据的大小关系上进行判定，避免了不必要的运算.5. 如图， 是以正方形的边 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的面积，再用几何概
5、型的概率公式进行求解.详解：连接 ，由圆的对称性得阴影部分的面积等于 的面积，易知 ，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为 .故选 D.点睛：本题的难点是求阴影部分的面积，本解法利用了圆和正方形的对称性，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积.6. 已知等比数列 的首项为 ，公比 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据 得到 值，再利用等比数列的通项公式进行求解.详解：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .故选 B.点睛：本题考查了等比数列的基本运算，在记忆等比数列的通项公式时，既要熟记，还要注意 的应用.7. 已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，且双曲线
6、的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即 ，又双曲线 的一个焦点坐标为 ，所以 ，即 ，即该双曲线的方程为 .故选 D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为 ，其两条渐近线相互垂直.8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先利用三视图得到
7、该组合体的结构特征，再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积，再求和即可.详解：由三视图可得该几何体是由圆柱的一半（沿轴截面截得，底面半径为 1，母线长为 3）和一个半径为 1 的半球组合而成（部分底面重合） ，则该几何体的表面积为.点睛：处理几何体的三视图和表面积、体积问题时，往往先由三视图判定几何体的结构特征，再利用相关公式进行求解.9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相宰相西萨班达依尔国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第 1 个小格里，赏给我1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一
8、小格加一倍请您把这样摆满棋盘上所有的 64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等比数列的前 64 项的和，再对照每个选项对应的程序框图进行验证.详解：由题意，得每个格子所放麦粒数目形成等比数列 ，且首项 ，公比 ，所设计程序框图的功能应是计算 ，经验证，得选项 B 符合
9、要求.故选 B.点睛：本题以数学文化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10. 已知三棱锥 的外接球的球心 恰好是线段 的中点，且，则三棱锥 的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据外接球的球心 恰好是线段 的中点和判定该三棱锥的形状，再利用三棱锥的体积公式进行求解.详解：因为三棱锥 的外接球的球心 恰好是线段 的中点，所以 为直角三角形，又 ，为等腰直角三角形，则 ，且 ， 平面 ，所以.故选 A.点睛：解决本题的技巧是：利用题意判定出 平面 ，巧妙地将三棱锥 的体积分割为两个共底面的三棱锥 的体积之和.11. 已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ，
10、，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先利用数列的递推公式和整体思想得到数列的通项公式，则判定哪些项为非正值，进而求出 的最小值.详解：因为 ，且 ，所以数列 是以 为首项、1 为公差的等差数列，则 ，即 ，令 ，得 ，又 ， ，则 的最小值为 .点睛：解决本题的难点是合理将求 的最小值问题转化为判定数列 的哪些项为非正值，只要把这些非正值相加即得 的最小值.12. 已知函数 ，则下面对函数 的描述正确的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. 【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，再求导，构造函数，通过导数的符号判定新构造函数的单调性，进而判定原函数的单调
11、性，再利用 和基本不等式进行求解.详解：因为 的定义域为 ，且 ，令 ，则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，又 ，所以 ，使 ，则 在 单调递减，在 上单调递增，即 ，又 ，所以 .故选 B.点睛：利用导数研究函数的单调性、极值、最值或不等式恒成立问题，基本思路是利用导数的符号变化判定函数的单调性，但有时要合理构造函数或二次求导，技巧性较强.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则的最大值是_【答案】【解析】分析：先利用三角函数的变换得到 的解析式，再利用诱导公式和余弦函数为偶函数进行
12、求解.详解：函数 的图象向左平移 个单位长度，得到，即 ，又 为偶函数，所以 ，即 ，又因为 ，所以的最大值为 .点睛：本题的易错点是：函数 的图象向左平移 个单位长度得到的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于自变量 而言，不要得到错误答案“”.14. 设 ， 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】【解析】分析：先画出不等式对应的平面区域和目标函数对应的直线，再通过平移直线观察目标函数直线在 轴上的截距 和 的变化情况，利用图象得到最优解，代点求解即可.详解：将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 （如图所示） ，当直线 向左上方平移时，直线在 轴上的截距 增大，即 减小，由图象，得当直
13、线 过点 时. 取得最大值，即 的最大值为 .点睛：本题考查简单的线性规划问题，解决此题的关键在于正确作出不等式表示的平面区域，通过平移目标函数对应直线找出最优解，但要在于目标函数对应直线与平面区域边界直线的倾斜程度.15. 设函数 在区间 上的最大值为 ，则 _【答案】4【解析】分析：因为 ，所以设函数 在区间 上单调递增，则通过进行求解 .详解：因为 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .点睛：本题考查对数函数的单调性和最值，属于基础题.16. 已知抛物线 与圆 相交于两点，且这两点间的距离为 ，则该抛物线的焦点到准线的距离为_【答案】【解析】分析：先判定 是两曲线的一个公共点，利用两点的距
14、离和点在圆上确定另一交点的坐标，再将点的坐标代入抛物线方程进行求解.详解：显然 是抛物线 与圆 的一个交点，设另一个交点为 ，因为 ，所以 ，联立 ，得 ，又 在抛物线 上，则 ，解得 ，即该抛物线的焦点到准线的距离为 .点睛：解决本题的技巧是：此题没有按常规思路（联立抛物线和圆的方程，求出交点坐标，再利用到原点的距离公式进行求解） ，而是先判定原点是其中一个交点，先利用距离公式得到另一点的轨迹，联立两圆方程求出交点坐标，避免了繁琐的运算.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
15、 .（1）若点 是线段 的中点， ，求 的值；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）先利用余弦定理求出 ，再利用等边三角形的性质求解；（2）先由正弦定理求出 ，利用边角关系确定角的大小，再利用两角和的正弦公式和三角形的面积公式进行求解.详解：（1）若点 是线段 的中点， ，设 ，则 ，又 ， ，在 中，由余弦定理得 ，解得 （负值舍去） ，则 ， .所以 为正三角形，则 .（2）在 中，由正弦定理 ，得 .又 ，所以 ，则 为锐角，所以 .则 ，所以 的面积 .点睛：已知三角形的两边和其中一边的对角时，往往利用正弦定理进行解三角形，但要注意解的个数，要利用“
16、大边对大角、小边对小角”进行判定.18. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为 （单位：元） ，在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：上一年度销售额/万元商品单价/元为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了 个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为 （单位：元） ，且以经销商在各段销售额的频率作为概率.（1）求 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额 （单位：万元） ，年销售额超过 的可以获得红包奖励，该工厂希望使 的经销商获得红包，估计 的值，并
17、说明理由.【答案】 （1） ；（2）年销售额标准为 万元时， 的经销商可以获得红包.【解析】分析：（1）先利用频率分布表得到每个变量对应的概率，再利用平均值的计算公式进行求解；（2）利用互斥事件的概率公式判定 所在区间.详解：（1）由题可知：商品单价/元频率 0.2 0.3 0.24 0.12 0.1 0.04的平均估计值为：.（2）因为后 组的频率之和为 ，而后 组的频率之和为 ，所以 .由 ，解得 .所以年销售额标准为 万元时， 的经销商可以获得红包.点睛：本题考查频率分布表、样本的数据特征，属于基础题，其关键是正确读图、试图和用图.19. 如图：在五面体 中，四边形 是正方形， ，（1）
18、证明： 为直角三角形；（2）已知四边形 是等腰梯形，且 ， ，求五面体 的体积.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】分析：（1）先利用线面垂直的判定定理字母线面垂直，进而得到线线垂直，再利用线线平行的性质进行证明；（2）将该几何体的体积转化为一个四棱锥和一个三棱锥的体积之和，再利用垂直关系确定几何体的高线，利用体积公式进行求解.详解：（1）证明：由已知得 ， ， 平面 ，且 ，所以 平面 .又 平面 ，所以 .又因为 ，所以 ，即 为直角三角形.（2）解：连结 ， ， .过 作 交 于 ，又因为 平面 ，所以 ，且 ，所以 平面 ，则 是四棱锥 的高.因为四边形 是底角为 的等腰梯形，
19、 ，所以 , ， .因为 平面 ， ，所以 平面 ，则 是三棱锥 的高.所以 .点睛：求不规则几何体的体积问题，往往是将该几何体分割成多个锥体或柱体的体积之和，或利用补体法转化为两个规则几何体的体积之差.20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 也为抛物线 的焦点.（1）若 ， 为椭圆 上两点，且线段 的中点为 ，求直线 的斜率；（2）若过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 ， 和 ， ，设线段 ，的长分别为 ， ，证明 是定值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出 ，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设
20、出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，故 .所以椭圆 .（1）设 ， ，则两式相减得 ，又 的中点为 ，所以 ， .所以 .显然，点 在椭圆内部，所以直线 的斜率为 .（2）椭圆右焦点 .当直线 的斜率不存在或者为 时， .当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 的方程为 ，设 ， ，联立方程得消去 并化简得 ，因为 ，所以 ， .所以 ，同理可得 .所以 为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏
21、解.21. 已知函数 .（1）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；（2）当 时，在区间 上至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义及点在直线上进行求解；（2）求导，通过讨论 与 0 的大小关系确定导数的符号变化，进而确定函数的单调性和极值，再利用极值的符号进行求解.详解：（1）因为 ，让你以 ，即 .又因为 ，所以切点坐标为 ，因为切点在直线 上，所以 ， .（2）因为 ，所以 .当 时， ，所以函数 在 上单调递增，令 ，此时 ，符合题意；当 时，令 ，则 ，则函数 在 上单调递减，在 上单
22、调递增.当 ，即 时，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，解得 .当 ，即 时，函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上的最小值为 ，解得 ，无解.综上， ，即实数 的取值范围是 .点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值，是高考中重要的题型，也是难度较难的题目，有时要构造函数（技巧性较强）或多次求导，但要注意“函数的定义域优先原则” ，即不要忘记求函数的定义域.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，圆 的标准方程为.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极
23、坐标系.（1）求直线 和圆 的极坐标方程；（2）若射线 与 的交点为 ，与圆 的交点为 ， ，且点 恰好为线段 的中点，求 的值.【答案】 （1）直线 的极坐标方程为 ，圆 的极坐标方程为；（2） .【解析】分析：（1）消参得到曲线的直角坐标方程，再利用互化公式 得到直线的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的互化公式 得到圆的极坐标方程；（2）设点的极坐标，利用几何意义进行求解.详解：（1）在直线 的参数方程中消去 ，可得， ，将 ， 代入以上方程中，所以，直线 的极坐标方程为 .同理，圆 的极坐标方程为 .（2）在极坐标系中，由已知可设 ， ， .联立 可得 ，所以 .因为点 恰好为
24、 的中点，所以 ，即 .把 代入 ，得 ，所以 .点睛：考查参数方程和极坐标方程，主要考查曲线的参数方程和直角坐标方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化问题，要牢记互化公式和消参方法23. 选修 4-5：不等式选讲已知 .（1）当 ， 时，求不等式 的解集；（2）当 ， 时， 的图象与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号转化为几个不等式组的解集的并集；（2）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，得到分段函数，利用数形结合思想和三角形的面积公式进行求解.详解：（1）当 ， 时， .不等式 等价于或或解得 或 ，即 .所以不等式 的解集是 .（2）由题设可得，所以函数 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， .所以三角形 的面积为 .由题设知， ，解得 .点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.
