1、福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学2017 届高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，本题选择 D 选项.2. 设 i 为虚数单位， 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A. -1 B. 1 C. -2 D. 2【答案】A3. 设 是等差数列 的前 n 项和， ，则 （ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 7【答案】C【解析】 ，.本题选择 C 选项.4. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试，其数学考
2、试成绩近似服从正态分布，即 ，试卷满分 分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于 90 分）的人数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为（ ）A. 400 B. 500 C. 600 D. 800【答案】A【解析】 ，.故选 A.5. 设点 是双曲线 的右焦点，点 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 ，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线的右焦点 F(c,0),到渐近线 ,即 bxay=0 的距离 ，点 F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 1:6， ，即 c=3b，则 ，即 ，则 ，则双曲线
3、的渐近线方程为 ，即 ，本题选择 B 选项.点睛：双曲线 的渐近线方程为 ，而双曲线 的渐近线方程为 (即 )，应注意其区别与联系.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，本题选择 C 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7. 函数 的大致图象如图，则函数 的图象可能是( )A. B.
4、C. D. 【答案】D【解析】由图象可知 00 时,f(x)0,f(x)递增，且 ，则 为偶函数,即有 ，则不等式 ,即为 ，即为，则 ,即 ,解得 ，即解集为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 在 ABC 中，角 的对边分别为 ，且 成等比数列， .（）求 的值；（）若 ，求 的值.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：()由题意结合正弦定理可得 ，切化弦可得；() 由 结合平面向量数量积的定义可得 ，结合余弦定理得，据此可得 .试题解析：（）因为 成等比数列，所以由正弦定理可得 所以 （）由 得 知由 得 所以 由余弦定理得得 即解得18. 如图，几何体 EF
5、 ABCD 中， CDEF 为边长为 2 的正方形， ABCD 为直角梯形，AB CD， AD DC， AD=2， AB=4， ADF=90（）求证： AC FB（）求二面角 E FB C 的大小【答案】 （）见解析；（） .【解析】试题分析：()由题意结合线面垂直的判定定理可证得 AC平面 FCB，据此有 AC FB()建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角 E FB C 的大小为 .试题解析：（）证明：由题意得， AD DC， AD DF，且 DC DF=D， AD平面 CDEF， AD FC，四边形 CDEF 为正方形 DC FC由 DC AD=D FC平面 ABCD， FC
6、AC又四边形 ABCD 为直角梯形，AB CD， AD DC， AD=2， AB=4 ， ，则有 AC2+BC2=AB2 AC BC由 BC FC=C， AC平面 FCB， AC FB（）解：由（I）知 AD， DC， DE 所在直线相互垂直，故以 D 为原点，以 的方向分别为 x， y， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz可得 D（0，0，0） ， F（0，2，2） ， B（2，4，0） ，E（0，0，2） ， C（0，2，0） ， A（2，0，0） ，由（）知平面 FCB 的法向量为 ， 设平面 EFB 的法向量为 则有 即令 则设二面角 E FB C 的大小为 ，有
7、图易知 为锐角所以二面角 E FB C 的大小为 点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设 m， n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续 5 天的售出和收益情况，如下表：售出水量 x（单位：箱） 7 6 6 5 6收益 y（单位：元） 165 142 148 125 150()
8、若 x 与 y 成线性相关，则某天售出 8 箱水时，预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级 201500 名，获二等奖学金 300 元；考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，不获得奖学金的概率均为 .在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额 X 的分布列及数学期望。附： ， 。【答案】 （）
9、186 元；（） （1） ；（2）分布列见解析，期望为 600.【解析】试题分析：()由题意可求得回归方程为 ，据此预测售出 8 箱水时，预计收益为 186 元；() (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是 ；(2) 由题意可得 X 的取值可能为 0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为 600. 试题解析：，当 时，即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元。() 设事件 A 为“学生甲获得奖学金” ，事件 B 为“学生甲获得一等奖学金” ，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 X 的取值可能为 0，300，500，60
10、0，800，1000， ， ， 即 的分布列为：（元）20. 已知点 ， 其中 是曲线 上的两点， ， 两点在 轴上的射影分别为点 ， ，且 . （I）当点 的坐标为 时，求直线 的斜率；（II）记 的面积为 ，梯形 的面积为 ，求证： .【答案】 （） ；（）见解析.【解析】试题分析：()由题意结合直线的斜率公式可得 ；()设直线 的方程为 .联立直线与抛物线的方程，可得 ，则 .据此即可证得题中的结论试题解析：（）因为 ，所以 代入 ，得到 又 ，所以 ，所以 代入 ，得到 所以 （）法一：设直线 的方程为 .则 由 , 得 ,所以所以 ,又 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ,所以 .法二
11、：设直线 的方程为 .由 , 得 ,所以,点 到直线 的距离为 , 所以 所以 又 ，所以因为 ，所以所以 21. 已知函数 （）当 时，求 的极值；（）当 时，讨论 的单调性；（）若对于任意的 都有 ，求实数 的取值范围【答案】 （）当 时， 取得极小值为 ，无极大值 ；（）当 时，在 和 上是减函数，在 上是增函数，当 时， 在 上是减函数，当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；（） 【解析】试题分析：() 当 时， ，定义域为 ， 据此可得当 时， 取得极小值为 ，无极大值() 当 时，函数的定义域为 ，且 分类讨论有：（1）当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；（2）当
12、 时， 在 上是减函数；（3）当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数() 由（）知，当 时， 在 上是减函数原问题等价于对任意 恒成立，分离参数有 对任意恒成立据此可得实数 的取值范围为 试题解析：（）当 时， ，定义域为 ，的导函数 当 时， ， 在 上是减函数；当 时， ， 在 上是增函数当 时， 取得极小值为 ，无极大值（）当 时， 的定义域为 ， 的导函数为由 得 ， ， （1）当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；（2）当 时， 在 上是减函数；（3）当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数（）由（）知，当 时， 在 上是减函数 对于任意的 都有 ， 对任意 恒成立
13、， 对任意 恒成立当 时， ， 实数 的取值范围为 请考生在第（22） （23） （24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-1：几何证明选讲如图所示，已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与 O 交于 B， C 两点，圆心O 在 PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点（I）证明： A， P， O， M 四点共圆；（II）求 OAM APM 的大小【答案】 （）见解析；（）90.【解析】试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得 OPAP 及 OMBC，从而得OPAOMA180. （2）根据四点共圆
14、得同弦所对角相等：OAMOPM，因此OPMAPM90，试题解析：（1）证明 连接 OP，OM，因为 AP 与O 相切于点 P，所以 OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC，于是OPAOMA180.由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A、P、O、M 四点共圆.（2）解 由（1）得 A、P、O、M 四点共圆，所以OAMOPM，由（1）得 OPAP，因为圆心 O 在PAC 的内部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.考点：四点共圆23. 选修 4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系 中，曲线 .直线 经过点 ，且倾斜角为 .以 为极点，
15、以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I）写出曲线 的极坐标方程与直线 的参数方程；（II）若直线 与曲线 相交于 两点，且 ，求实数 的值.【答案】 （） （ t 为参数） ；（） 或 或 .【解析】试题分析：（1）利用 ，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程，以及得到直线的参数方程；（2）设 两点对应的参数分别为 ，将直线的参数方程代入圆中，得到 的方程，即可得到 ，即可求解实数 的值试题解析：（1）曲线 的普通方程为： ，即 ，即 ，即曲线 的极坐标方程为直线 的参数方程为 （ 为参数）（2）设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，将直线的参数方程代入 中，得 ，所以由题意得 ，得 ， 或考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化；参数方程的应用24. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（I）当 时，求不等式 的解集；（II）若不等式 对任意实数 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（）根据绝对值不等式的性质可得，不等式 对任意实数 恒成立，等价于 ，解不等式即可求 的取值范围.试题解析：（）当 时， 即 ，当 时，得 ，所以 ；当 时，得 ，即 ，所以 ；当 时，得 成立，所以 .故不等式 的解集为 .（）因为 ，由题意得 ，则 ，解得 ，故 的取值范围是 .
