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类型【KS5U解析】广东省惠州市2018届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析.doc

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:3864609
  • 上传时间:2018-11-23
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    【KS5U解析】广东省惠州市2018届高三4月模拟考试数学文试题 Word版含解析.doc
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    1、惠州市 2018 届高三模拟考试文科数学全卷满分 150 分,时间 120 分钟一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ,则集合 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ,所以 ,应选答案 C。2. 已知复数 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数故选 B.3. 甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】甲,乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的

    2、运动服中选择 1 种有 9 种不同的结果,分别为(红,红) , (红,白) , (红,蓝) , (白,红) , (白,白) , (白,蓝) ,(蓝,红) , (蓝,白) , (蓝,蓝) 他们选择相同颜色运动服有 3 种不同的结果,即(红,红) , (白,白) , (蓝,蓝) ,故他们选择相同颜色运动服的概率为 ,故选 A点睛:古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.4. 如图 1, 九

    3、章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1 丈=10 尺), 现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺. A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图,已知 , , ,解得 , 折断后的竹干高为 4.55 尺故选 B.5. 执行图所示的程序框图,若输入的 ,则输出的 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】模拟执行程序,可得: , .第一次执行循环体后: ,满足循环条件, ;第二次执行循环体后: ,满足循环条件, ;第三次执行循环体后: ,不满足循环条件,输出故选 B.6

    4、. 将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再往上平移 1 个单位,所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 ,可得 的图象,再往上平移 个单位,得函数 的图象. 的单调区间与函数 相同令 ,解得: .当 时,该函数的单调增区间为 .故选 C.点睛:由 的图象,利用图象变换作函数 的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是 个单位;而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 个单位7. 设函数 ,若

    5、,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】法一:令 , ,不符合题意,排除 A,B;令 , ,不符合题意,排除 C.法二:当 时, ,即 ,解得 ;当 时, ,解得 . 的取值范围是 .故选 D. 8. 已知 为双曲线 的一个焦点,其关于双曲线 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设右焦点 关于渐近线 : 的对称点为 ,则 在 上 交 于 ,由点到直线距离公式可得 , 为直角三角形,三边分别为 ,由对称性知, ,故选 C.9. 某四面体的三视图如图 3 所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三

    6、角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知该几何体为棱锥 ,其中 平面 ABCD,此三棱锥的体积 .故选 A . 10. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得, ,则 ,即 ,故选 A.11. 在 中, ,点 为 边上一点,且 ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选 D. 12. 已知 是抛物线 的焦点, 为抛物线上的动点,且点 的坐标为 ,则 的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得,抛物线 的焦点 ,准线方程为 过点 作

    7、 垂直于准线, 为垂足,则由抛物线的定义可得 ,则, 为锐角当 最小时, 最小,则当 和抛物线相切时, 最小设切点 ,由 的导数为 ,则 的斜率为 . ,则 . ,故选 C点睛:本题主要考查抛物线的定义和几何性质,与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,这样可利用三角形相似,直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。13. 曲线 在 处的切线方程为_【答案】【解析】曲线 ,则 .曲线 在 处的切线的斜率为曲线 在 处的切线方程为故答案

    8、为 .14. 若变量 , 满足约束条件 ,则点 到点 的最小距离为_.【答案】【解析】由约束条件 作出可行域如图所示:点 到点 的最小距离为 到直线 的距离为 故答案为 .点睛:本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义;求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义常见的目标函数有:(1)截距型:形如 ,求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式: ,通过求直线的截距 的最值间接求出 的最值;(2)距离型:形如 ;(3)斜率型:形如 .15. 已知数列 对任意的 有 ,若 ,则 _.【答案】40

    9、36【解析】令 ,可得 ,则 . 为等差数列,首项和公差均为 2.故答案为 .【答案】4【解析】函数 是奇函数函数 的图象关于点 对称把函数 的图象向右平移 1 个单位可得函数 的图象,即函数 的图象关于点对称,则 .又 ,从而 ,即函数 的周期为 2,且图象关于直线 对称.画出函数 的图象如图所示:结合图象可得 区间 内有 8 个零点,且所有零点之和为 .故答案为 4.点睛:函数零点的求解与判断:(1)直接求零点:令 ,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线,且 ,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多

    10、少个零点;(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60 分。17. 已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边,且 .(1)求角 的大小;(2)若 ,且 的面积为 ,求 的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:由正弦定理将 边化角可得 ,推出,即可求出角 的大小;(2)由 的面积为 ,可得 ,再根据及余弦定理,即可解得 的值.

    11、试题解析:(1)由正弦定理得: ,即 . . (2)由: 可得 . 由余弦定理得: 18. 如图,直角 中, , , 分别是 边的中点,沿将 折起至 ,且 .(1)求四棱锥 的体积;(2)求证:平面 平面 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)由 分别是 边的中点,推出 平行且等于 的一半,则,即可证明 平面 ,从而可证平面 ,过 点作 于 ,可推出 平面 ,从而可求出四棱锥 的体积;(2)法一:设线段 的中点分别为 ,连接 ,则 ,即可推出 是平行四边形,再根据及 ,推出 是等边三角形,结合(1) ,可推出 ,从而可证平面 平面 ;法二:连接 ,易证 是边长为 2 等边三角

    12、形,根据 ,推出 ,从而推出 ,根据 ,可推出,可证 ,从而可证平面 平面 .试题解析:(1) 分别是 边的中点, 平行且等于 的一半, 依题意, . 于是有 平面 . 平面平面 过 点作 于 ,则 , 梯形 的面积四棱锥 的体积 (2) (法一)如图设线段 的中点分别为 ,连接 ,则 ,于是.又 是等边三角形.EQFC 由(1)知 .于是 . 又平面 平面 . (法二)连接 , 是边长为 2 等边三角形 , 又 又 ,又 ,平面 平面 . 19. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每 10

    13、0 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:日期4 月 1日4 月 7日4 月 15日4 月 21日4 月 30日温差 x/ 10 11 13 12 8发芽数 y/颗 23 25 30 26 16(1)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 ,求事件“ 均不小于 25”的概率;(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与 4 月份所选 5 天的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据 4 月 7 日,4 月 15 日与 4 月 21 日这三天的数据,求出 关于 的线性回归方程 ,并判定所得的线性回归方程是否可靠?参考公式: ,参考数据:【答案】(1) ;(2

    14、)见解析.【解析】试题分析:(1)用列举法列出所有的基本事件,分析可得“ m, n 均不小于 25”的情况个数,用古典概型公式,计算即可得答案;(2)根据所给的数据,先做出 , 的平均数,即做出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程,再根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的,则根据求得的结果和所给的数据进行比较,即可得到所求的方程是可靠的试题解析:(1)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16)

    15、,(26,16),共 10 个 设“ m, n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共 3 个,故由古典概型概率公式得 P(A) . (2) 由题意得 且. , 关于 的线性回归方程 , 且 当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, .所得到的线性回归方程是可靠的. 点睛:求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;(2)求系数 :公式有两种形式, ,根据题目具体情况灵活选用;(3)求 : ;(4)写出回归直线方程20. 已知抛物线 的焦点为 ,点 满足 .(1)求抛

    16、物线的方程;(2)过点 的直线 交抛物线于 两点,当 时,求直线 的方程.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)根据点 在抛物线上及 ,即可求得 得值,从而可求出抛物线的方程;(2)易知直线 斜率必存在,设 , , ,由,可得 ,联立直线与抛物线的方程,结合韦达定理,即可求出 ,从而可求出直线 的方程.试题解析:(1)由条件易知 在抛物线 上, , 故 ,即抛物线的方程为 ; (2)易知直线 斜率必存在,设 , , , , 联立 得 即 , 由 得 ,且 , , 由得 ,即直线 . 21. 已知函数 .(1)讨论函数 的单调性;(2)若对任意 ,都有 恒成立,求实数 的取值范围.

    17、【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析:(1)先求出函数 的导数,对 分类讨论,根据导数的正负即可得出函数 的单调性;(2)法一:对任意 ,都有 恒成立等价于在 上恒成立, 即 在 上恒成立,令,利用导数研究函数 的单调性,即可求得 ,从而可得实数的取值范围;法二:要使 恒成立,只需 ,对 进行 和 分类讨论,利用导数研究函数 的单调性,求出 ,即可实数 的取值范围.试题解析:(1)由题知: , 当 时, 在 时恒成立 在 上是增函数. 当 时, ,令 ,得 ;令 ,得 . 在 上为增函数,在 上为减函数. (2)法一:由题知: 在 上恒成立, 即 在 上恒成立. 令 ,所以 令 得

    18、 ;令 得 . 在 上单调递增,在 上单调递减. , . 法二:要使 恒成立,只需 , 当 时, 在 上单调递增. ,即 ,这与 矛盾,此时不成立. 当 时,(i)若 即 时, 在 上单调递增, ,即 ,这与 矛盾,此时不成立.(ii)若 即 时, 在 上单调递增,在 上单调递减 . 即 ,解得 .又 , (iii) 即 时, 在 递减,则 , 又 ; 综上所述可得: . 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若 恒成立,转化为 ;(3)若 恒成立,可构造新函数 ,转化

    19、为 .(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22. 选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数,且 ) ,以 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 (1)若曲线 与 只有一个公共点,求 的值;(2) , 为曲线 上的两点,且 ,求 的面积最大值【答案】(1)a=1;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)根据曲线 的参数方程可得曲线 是以 为圆心,以 为半径的圆,再将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程,根据曲线 与 只有一个公共点,由圆心到直线的距离等于半径,即可求得

    20、的值;(2)法一:由题意,曲线 的极坐标方程为设 的极角为 , 的极角为 ,即可表示出 ,根据积化和差公式及三角函数图象即可求得 的面积最大值;法二:根据曲线 是圆及,利用正弦定理可得 ,再根据余弦定理与基本不等式即可求得 的最大值,从而可得 的面积最大值.试题解析:(1)由题意可得曲线 是以 为圆心,以 为半径的圆; 直线 的直角坐标方程为 . 由直线 与圆 只有一个公共点,则可得 . (舍)或 (2)法一:由题意,曲线 的极坐标方程为 .设 的极角为 , 的极角为 ,则: 当 时, 取得最大值为 . 的面积最大值为 法二:曲线 是以 为圆心,以 为半径的圆,且 .由正弦定理得: ,即 .由

    21、余弦定理得: ,则:,当且仅当 时取等号 的面积最大值为 23. 选修 45:不等式选讲已知函数 (1)求不等式 的解集 ;(2)设 ,证明: 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析:(1)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求交集,最后求并集(2)利用分析法证明,先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明,再两边平方,因式分解转化为证明 ,最后根据条件确定 成立.试题解析:(1) , .当 时,不等式可化为 ,解得 , ;当 ,不等式可化为 ,解得 , 无解;当 时,不等式可化为 ,解得 , .综上所述, 或 .(2) ,要证 成立,只需证 ,即证 ,即证 ,即证 .由(1)知, 或 , , , 成立.综上所述,对于任意的 都有 成立 .点睛:(1)分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.

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