1、江门市 2018年高考模拟考试数学（理科）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 是实数集， ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 , ,所以 ,选 .2. 为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ,所以所求式子 ,故选 .3. 已知命题 ： ， 则命题 的否定 为A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题,故选 .4. 已知向量 ， ，若 与 的夹角为 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , ,故选 .5. 某程序框图如图 1所
2、示，该程序运行后输出的A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断是, ,判断否,退出循环,输出 ,故选 .6. 若实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 ，则实数A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出可行域如下图所示,由于目标函数 ,要使目标函数存在最大值,则需 .由 ,解得 ,代入目标函数得,解得 .故选 .7. 若 ， 都是正整数，则 成立的充要条件是A. B. ， 至少有一个为 1 C. D. 且【答案】B【解析】 ,
3、当 时,不等式成立,故排除 三个选项,所以选 .8. 在 中，若 ， ，且 的面积 ，则 的边 的长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正弦定理得 ,由三角形面积公式得 , ,解得,由余弦定理得 .9. 6件产品中有 件合格品， 件次品。为找出 件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验出最后一件次品的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】次正正次,正次正次,正正次次,以上三种可能,概率为,故选 .10. 某几何体的三视图如图 2所示，则该几何体的体积A. B. C. D. 【答案】C【解析】原图为下图所示的几何体 ,所以体积为.选 .11. 已知函数 ，若
4、实数 满足 ，则实数 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【点睛】本小题主要考查指数与对数运算,考查函数的单调性和奇偶性的应用,考查了化归与转化的数学思想方法.要解出本题,首先要熟悉指数和对数的运算公式: ,和,然后要判断准确函数的奇偶性,最后根据奇偶性可以将原不等式进行转化,由此解得不等式的解集.12. 、 是抛物线 上关于直线 对称的两点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 , ,两式相减并化简得 ,由于直线与直线 对称,故斜率为 ,即 ,设 中点为 ,代入直线 解得 ,故 中点坐标为 ,由点斜式写出直线 方程为 ,化简得 ,代入抛物线方程,解得 ,由两点间距离公式求
5、得 .故选 .【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系,考查两点关于一条直线的对称点,考查两点间的距离公式和直线方程的形式.由于涉及两点关于一条直线对称,故可考虑点差法来解决,即设出 两点的坐标,代入抛物线方程,作差后化为斜率和中点,结合题目所给已知条件可求得中点的坐标.二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分13. 已知随机变量 ，且 ，则 _【答案】0.34【解析】 .14. 若 ， ，则 _【答案】【解析】 , ,解得 ,两式相除得 .15. 设 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则_【答案】92【解析】 ,故原式 .【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解,考查对数运算等式知识. 表示不超
6、过 的最大整数，这是一个很常见的新定义的条件,结合本题中的对数运算的性质可以得到,第一项到第九项是零,第 到第 项都是 ,最后一项是 ,由此可求得最后的值.16. 若 、 都是 之间的均匀随机数，则方程 有实根的概率为_【答案】【解析】方程有实数根,判别式为非负数,即 ,即,画出图象如下图所示,根据几何概型的知识可知,概率为 .【点睛】本小题主要考查一元二次方程有解的充要条件,考查了二元一次方程组线性规划的可行域的图象画法,考查了几何概型的计算公式.首先根据题目一元二次方程有解,判别式是非负数,利用平方差公式进行因式分解,将 看成 画出可行域,利用面积比求得概率.三、解答题：解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤17. 已知数列 的前 项和 （ 为正整数） （）求证： 为等差数列；（）求数列 的前 项和公式 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【试题分析】(I)利用 ,可求得 ,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得 的表达式,并利用错位相减求和法求其前 项和 .【试题解析】（） （方法一）当 时， 解得由 得，当 时，有 代入上式得 整理得，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列（方法二）当 时， 解得 ，设 ，则 ， 当 时，有 代入得整理得 所以 即 是以 为首项， 为公差的等差数列（）由（）得 ，依题意 上式两边同乘以 ，得 -得，所以18. 如图 3， 是一个直角
8、梯形， ， 为 边上一点， 、 相交于 ， ， ， 将 沿 折起，使平面 平面 ，连接、 ，得到如图 4所示的四棱锥 （）求证： 平面 ；（）求直线 与面 所成角的余弦值【答案】(1)见解析(2)【试题解析】（）在 中， ， ，所以 同理 ，从而 ，又因为 ，所以 是平行四边形，因为平面 平面 ，平面 平面 =AE， ，所以 平面 又 平面 ，所以，所以 （） （方法一）由（）可知，直线 OA、OB、OD 两两互相垂直，因此，以 O为原点，OA、OD、OB 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 (如图所示) 则 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则解得 ， ，取 所以直线 与面
9、所成角的余弦值为 （方法二）由（）可知，四边形 的面积 连接 ，则 的面积 ，三棱锥 的体积 的面积 设 到平面 的距离为 ，则 ， 直线 与面 所成角的正弦值为 ，余弦值为19. 某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。2017 年 12月随机抽取 500户销售石金钱龟幼苖的平均价格，得到如下不完整的频率分布统计表：（）完成统计表。（）为了向石金钱龟养殖户提供更好的幼苖销售参考，协会决定 2018年 1月份从第1，3，5 组中用分层抽样方法取出 7户出售幼龟价格跟踪调查，求第 1，3，5 组 1月份接受调查的户数。（）在（）的前提下，协
10、会决定从选出的 7个养殖户中随机抽取 3户总结销售经验为了鼓励养殖户支持调查工作，协会决定：发给第 1组被抽到的每户幸运奖奖金 210元，第 3组被抽到的每户幸运奖奖金 70元，第 5组被抽到的每户幸运奖奖金 140元记发出的幸运奖总奖金额为 元,求 的分布列和数学期望 【答案】(1)见解析(2) 第 1，3，5 组接受调查的户数分别为 1，4，2（3）见解析【解析】 【试题分析】(I)用 乘以频率得到频数,由此填写好表格.(II)利用分层抽样各层的比例计算得每组抽取的人数.(III) 的所有可能取值为 210,280,350,420,490.利用古典概型的计算公式计算出概率,并求出期望值.【
11、试题解析】（）（）按分层抽样，可得第 1组抽取的户数： ，第 3组抽取的户数： ，第 5组抽取的户数： .因此，第 1，3，5 组接受调查的户数分别为 1，4，2（）依题意， 的所有可能取值为 210，280，350，420，490，则所以 的分布列为：所以 的数学期望为：20. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点 不在 轴上，直线 、 的斜率之积 （）求动点 的轨迹方程；（）经过点 的两直线与动点 的轨迹分别相交于 、 两点。是否存在常数 ，使得任意满足 的直线 恒过线段 的中点？请说明理由【答案】(1) （ ）(2)见解析【解析】 【试题分析】(I) （ ）,将已知代入 化简的 的轨
12、迹方程.(2)猜想 时，直线 恒过线段 的中点.设出直线 的方程,代入椭圆方程求得点坐标,同理写出直线 的方程,代入椭圆方程得到 点的坐标.由此证得直线 恒过线段的中点.【试题解析】（）设 （ ） ，则 ， ， 由 得， ， 化简整理得，动点 的轨迹方程为 （ ）（）动点 的轨迹与 轴的两个交点为 、 ，猜想 时，直线 恒过线段 的中点记 ，则直线 ： ，解 得当 时， ，则直线 ： ，同理可得线段 的中点 是线段 的中点，所以直线 恒过线段 的中点.【点睛】本小题主要考查曲线方程的求法,考查直线和椭圆联立求得交点坐标等知识. 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些
13、关系直接译成含有动点坐标的 的方程即可. 如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程21. 已知函数 ， 是常数（）求曲线 在点 处的切线方程，并证明对任意 ，切线经过定点；（）当 时，设 ， 是 的两个正的零点，求证： 【答案】(1) 切线过定点 (2)见解析【解析】 【试题分析】(I)对函数求导,代入 求得斜率,利用点斜式写出切线方程并化简,由此求得直线过定点 .(II)当 时,利用二分法可判断函数在区间 内有零点 .利用导数可判断函数在区间 内,
14、 有唯一零点 ,再根据函数的单调性可证得 .【试题解析】（），所求切线方程为，即切线方程等价于 ，当 时，恒有 ，即切线过定点 。（）函数 的定义域为 ，曲线 在各定义域区间内是连续不断的曲线。时， ， ，所以 在区间 内有零点 。在区间 内， ， ， 单调递减。，若 且 ，则 ，所以 在区间 内有零点由 单调递减知， 在区间 内有唯一零点因为 ，所以 ， ，由 单调递减知， ，即 【点睛】本小题主要考查导数与切线方程,考查含有参数的直线过定点的问题,考查利用导数证明不等式. 利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用将不等式的证明、方程
15、根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线 的直角坐标方程是 （ 为参数） （）将曲线 的参数方程化为普通方程；（）求曲线 与曲线 交点的极坐标【答案】(1) (2) 与【解析】 【试题分析】(I)利用加减消元法消去参数 ,可求得曲线 的普通方程.(II)由(I)求得曲线 的极坐标方程,联立 的极坐标方程,可求得交点的极坐标.【试题解析】（）由曲线 的参数方程得 ， 两式对应相乘得曲线 的普通方程为 （） （方法一）将 ， 代入上述方程得由 得 ，代入得 ，解得 ， 。所以 ，
16、 或 ，所求交点的极坐标为 与 。（方法二）由 得 ，曲线 的直角坐标为解 得 或由 得 ， ， ， ，对应点的极坐标为 ；同理可得 对应点的极坐标为 ，所求交点的极坐标为 与 。23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， （）解不等式 ；（）若对 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围【答案】(1) (2)【解析】 【试题分析】(I)利用单个绝对值不等式的解法求解出不等式的解集.(2)先求得的值域,而 的值域是 值域的子集.对 分成 类,将函数 去绝对值,求出对应的值域,由此求得 的取值范围.【试题解析】（）依题意， ， ，（）函数 的值域为 ，设函数 的值域为 ，依题意，时， ，此时 ，不合题意时， ，此时 ，解 得时， ，此时 ，解 得综上所述，实数 的取值范围为
