1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期高二期中考试数学试卷（理科）注意事项：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120分钟。2考生作答时，请将答案答在答题卡上。第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第 II 卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题 p：“x 0R， ”
2、，则p 为（ ）A “xR，2 xx+1” B “x0R， ”C “xR，2 xx+1” D “x0R， ”2椭圆 的长轴长、焦距分别为（ ）A2，1 B4，2 C ，1 D2 ，23下列说法正确的是（ ）A若向量 ，则存在唯一的实数 ，使得 B命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题是“若 x2=1，则 x1” C命题“ x0R ，使得 ”的否定是“ xR ，均有 x2+x+10” Da=5 且 b=5 是 a+b=0 的充要条件4已知 f（x）=x 5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算 x=2 时的值时，v 3的值为（ ）A15 B6 C2 D635执行如图所示的程序框图，若输入
3、 n=10，则输出的 S=（ ）- 2 -A B C D6下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线为 y=3x 的是（ ）A B C D7 “函数 在区间 上是增函数”是“ ”的（ ） 1)3()(2xaxf ),10aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件8数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数” ，图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不同的绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个向左边的绳子上打一个结，请根据图 2
4、 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A336 B510 C1326 D36039已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于- 3 -A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）ABCD10已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =111如图，在四棱锥 PABCD 中 PA底面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 为 CD 中
5、点，F 为PA 中点，且 PA=AB=2则点 P 到平面 BEF 的距离为（ ）A B C D12已知 F1，F 2分别为双曲线 的左焦点和右焦点，且)0,(12bayx，点 P 为双曲线 C 右支上一点，A 为PF 1F2的内心，若成立，则 的值为（ ）2121 FAFAPSSA B C D第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本答题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13抛物线 的准线方程为 xy8214用辗转相除法求 228 与 1995 的最大公约数为 .- 4 -15.在ABC 中，若ACB=90，BAC=60，AB=8，PC平面 ABC，PC=4，M 是 AB
6、 上一点，则 PM 的最小值为 16已知 m，n，s，tR +，m+n=2， ，其中 m、n 是常数，当 s+t 取最小值 时，m、n 对应的点（m，n）是双曲线 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 三、解答题：本答题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.命题 p：关于 x 的不等式 x2+2ax+40，对一切 xR 恒成立；命题 q：函数在（0，+）上是增函数，若 pq 为真，pq 为假求实数 a 的取值范axf)23(log)围18已知椭圆 C 的左右焦点分别为 ,椭圆上的点 P 到 的距离)03(),(21F21,F之和为 4（1）求椭圆 C
7、 的方程；（2）过椭圆的右焦点 F 作倾斜角为 的直线 与椭圆交于 A,B 两点，求弦 的长.45l |AB19如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，AB=AA 1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值- 5 -20.设抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，过 F 且斜率为 （k0）的直线 与 C 交于 A,B 两点,kl8|AB（1）求直线 方程；l（2）求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.21如图，四边形 ABCD 是正方形， , , , ,ABCDP平 面PE/4A
8、B2E为 的中点.FPD（1） ； A求 证 ：（2）求证： ；ECB平 面/（3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.P22如图，已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个顶点为 B（0，1） ，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 BM 与线 BN 的斜率之积为 ，证明：直线 过定l l点，并求BMN 的面积 S 的最大值- 6 -高二期中考试答案一选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B C A A C C B D C D B2、填空题13 X=-2 14 57 15 16 72012yx3、解答题17.解：若命题
9、p 为真命题，则=4a 2160，.2 分解得2a2；.3 分若命题 q 为真命题，则 32a1，.4 分解得 a1.5 分pq 为真，pq 为假p 与 q 一真一假6 分即.7 分，或.8 分解得 a2，或 1a2.9 分实数 a 的取值范围为（，21，2）10 分18.解：（1）由已知 3 分得 ，4 分所以椭圆的方程为342bca1,2ba5 分42yx（2）直线 的方程为 .6 分.设 ， 由 消去 y 得l3xy ),(),(21yxBA1432xy8 分由韦达定理得， 10 分08352x 58,32121.12 分584)53(12AB- 7 -19.解：如图，在正三棱柱 ABC
10、A 1B1C1中，设 AC，A 1C1的中点分别为 O，O 1，则，OBOC，OO 1OC，OO 1OB，故以 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz，.1 分AB=AA 1=2，A（0，1，0） ，B（ ，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，1，2） ，B 1（ ，0，2） ，C 1（0，1，2） （1）点 P 为 A1B1的中点 ，2 分 ， 4 分|cos |= = = 异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 ；.6 分（2）Q 为 BC 的中点Q（ ） ， ，8 分设平面 AQC1的一个法向量为 =（x，y，z） ，由 ，可取 =（ ，1，1） ，10 分设直线 CC1与平面
11、AQC1所成角的正弦值为 ，sin=|cos |= = ，直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 12 分20.解：（1）由题意得 F（1，0） ， l 的方程为 y=k（ x1） （ k0） .1 分设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） 由 2()4k得 2(4)0kx.2 分- 8 -.3 分214kx.4 分0162k所以 122()()ABF.5 分由题设知248k，解得 k=1（舍去） ， k=1因此 l 的方程为 y=x1.6 分（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2） ，.7 分所以 AB 的垂直平分线方程为()yx，即 5yx8 分设所求圆的圆心坐标为
12、（ x0， y0） ，则02205(1)(1)6.yx，10 分解得 032xy， 或 016.，.11 分因此所求圆的方程为 22(3)()16xy或 22()(6)14xy.12 分21. 解（1）以 A 为原点，AD,AB,AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A-xyz.A（0,0,0）B（0,4,0）C（4,4,0）D（4,0,0， ）P（0,0,4）E（0,4,2， ）F（2,0,2）.2 分. 3 分 所以 .)4,(),20(PF 08CAFPCA.4 分（2）取 的中点 M，连接 EM，.5 分. , , ,6P)2(M)2(E),4(BD分所以 所以
13、 7 分 , ,所以EBDB/ PC平 面PEC平 面.8 分C平 面/（3）因为 AD=AP，F 为 PD 的中点，所以 ,所以DAF故 是平面 PCD 的一个法向量9 分PDA平 面)2,0(A设平面 PCE 的一个法向量为 ， ，所以,zyxn )2,40(),4(PEC即 ，令 ，所以 10 分所0PEnC0241,2xy则 ,1n以 11 分，所求锐二面角的大小为 .12 分36,cosAF 6- 9 -所以22. 解：（1）由题意可知2 分解得 a=2，b=1，c= 3 分椭圆 C 的方程为： .4 分（2）证明：设 MN：y=kx+m，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 ，化为（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，.5 分=16（4k 2m 2+1）0，.6 分x 1+x2= ，x 1x2= .7 分k BMkBN= = x1x2+k（m1） （x 1+x2）+（m1） 2=0， +k（m1） +（m1） 2=0，化为 m2+2m3=0，解得 m=3 或 m=1（舍去） 即直线过定点（0，3）8 分|MN|= =9 分点 B 到直线 MN 的距离 d= S BMN = MNd= 10 分由 m=3，0，可知：k 220，令 =t0，k 2=t2+2，S= ，当且仅当 t= ，即 k= 时，S max= .12 分
