1、1第 21 章 一元二次方程考试时间：120 分钟；满分：150 分学校:_姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分评卷人 得 分 一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1 （4 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）Axy+2=1 B Cx 2=0 Dax 2+bx+c=00921x2 （4 分）一元二次方程（x+3） （x3）=5x 的一次项系数是（ ）A5 B9 C0 D53 （4 分）已知一元二次方程 x2+kx3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）A2 B2 C4 D44 （4 分）方程 x29=0 的解是（ ）Ax=3 Bx=3 Cx=9 Dx
2、1=3，x 2=35 （4 分）一元二次方程 y2y =0 配方后可化为（ ）43A （y+ ） 2=1 B （y ） 2=1 C （y+ ） 2= D （y ） 2=11431436 （4 分）设 x1为一元二次方程 2x24x= 较小的根，则（ ）5A0x 11 B1x 10 C2x 11 D5x 1 297 （4 分）解方程 x2+2x+1=4 较适宜的方法是（ ）A实验法 B公式法 C因式分解法 D配方法8 （4 分）一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2为（ ）A2 B1 C2 D09 （4 分）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角
3、各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）2A10646x=32 B （102x） （62x）=32C （10x） （6x）=32 D1064x 2=3210 （4 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A2% B4.4% C20% D44%评卷人
4、得 分 二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n= 12 （5 分）对于实数 p，q，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如 min1，2=1，min2，3=3，若 min（x+1） 2，x 2=1，则 x= 13 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 14 （5 分）某商品的原价为 120 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含 m 的代数式表示） 评卷人 得 分 三
5、解答题（共 9 小题，满分 90 分）15 （8 分）解方程：2x 24x30=016 （8 分）已知 x=2 是关于 x 的方程 x2mx4m 2=0 的一个根，求 m（2m+1）的值17 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2（2m+3）x+m 2+3m+2=0（1）已知 x=2 是方程的一个根，求 m 的值；（2）以这个方程的两个实数根作为ABC 中 AB、AC（ABAC）的边长，当 BC= 时，ABC 是等53腰三角形，求此时 m 的值18 （8 分）阅读下列材料，解答问题（2x5） 2+（3x+7） 2=（5x+2） 2解：设 m=2x5，n=3x+7，则 m+n=5x+2则
6、原方程可化为 m2+n2=（m+n） 2所以 mn=0，即（2x5） （3x+7）=0解之得，x 1= ，x 2=537请利用上述方法解方程（4x5） 2+（3x2） 2=（x3） 219 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+1）x+2k2=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k 的取值范围20 （10 分）若关于 x 的一元二次方程 x2（2a+1）x+a 2=0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围21 （12 分）某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361
7、 万元假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本22 （12 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？23 （14 分）某市创建“绿色发展模范城市” ，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活
8、污水集中处理” （下称甲方案）和“沿江工厂转型升级” （下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工） ，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1）求 n 的值；4（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值 a
9、在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值52018 年九年级上学期 第 21 章 一元二次方程 单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2 次的整式方程，即可判断答案【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C、是一元二次方程，故本选项正确；D、当 a
10、b c 是常数，a0 时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有 3 个条件：整式方程，含有一个未知数，所含未知数的项的次数是 1 次2【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项【解答】解：化为一般式，得x25x9=0，一次项系数为5，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一
11、次项，c是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x=1 代入方程得关于 k 的一次方程 13+k=0，然后解一次方程即可【解答】解：把 x=1 代入方程得 1+k3=0，6解得 k=2故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解4【分析】先移项得到 x2=9，然后利用直接开平方法解方程【解答】解：x 2=9，x=3，所以 x1=3，x 2=3故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2=p 或（nx+m） 2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的
12、方法解一元二次方程5【分析】根据配方法即可求出答案【解答】解：y 2y =043y2y= 43y2y+ =11（y ） 2=1故选：B【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型6【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案【解答】解：2x 24x= ，458x216x5=0，7，x 1为一元二次方程 2x24x= 较小的根，45，5 6，21x 10故选：B【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小7【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可【解答】解：移项得：x
13、2+2x3=0，方程左边因式分解得：（x+3） （x1）=0，x+3=0 或 x1=0，解得：x 1=3，x 2=1，较适宜的方法是因式分解法，故选：C【点评】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键8【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解【解答】解：一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，x 1x2=0故选：D【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键ac89【分析】设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据长方形的面积公式结合纸
14、盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据题意得：（102x） （62x）=32故选：B【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增
15、长率为 x，根据题意得：2（1+x） 2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=2.2（不合题意，舍去） 答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入 x2+mx+2n=0 得到 4+2m+2n=0 得 n+m=2，然后利用整体代入的方法进行计算【解答】解：2（n0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 的一个根，4+2m+2n=0，n+
16、m=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一9元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根12【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到 x 的值【解答】解：当（x+1） 2x 2，即 x 时，方程为（x+1） 2=1，1开方得：x+1=1 或 x+1=1，解得：x=0（舍去）或 x=2；当（x+1） 2x 2，即 x 时，方程为 x2=1，1开方得：x=1 或 x=1（舍去） ，综上，x=1 或2，故答案为：1 或2【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平
17、方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键13【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，据此列出关于 m 的方程，解答即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有两个相等的实数根，=0，2 24m=0，m=1，故答案为：1【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得=0，此题难度不大14【分析】设每次降价的百分率都是 m，根据某商品的原价为 120 元，经过两次降价后的价格可用代数式表示出【解答】解：设每次降价的百分率都是 m，10该商品现在的价格是；120（1m） 2故
18、答案为：120（1m） 2【点评】本题考查理解题意的能力，知道原来的价格，知道降价的百分率，经过两次降价后可求出现在的价格，是个增长率问题三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：2x 24x30=0，x 22x15=0，（x5） （x+3）=0，x 1=5，x 2=3【点评】本题考查一元二次方程的解法因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题16【分析】根据 x=2 是关于 x 的方程 x2mx4m 2=0 的一个根，将 x=2 代入方程变形即可求得所求式子的值【解答】解：x=2 是关于 x 的方程 x2mx4m 2=
19、0 的一个根，2 22m4m 2=0，4=4m 2+2m，2=m（2m+1） ，m（2m+1）=2【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答17【分析】 （1）把 x=2 代入方程 x2（2m+3）x+m 2+3m+2=0 得到关于 m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到 x1=m+2，x 2=m+1，则 AC=m+2，AB=m+1然后讨论：当11AB=BC 时，有 m+1= ；当 AC=BC 时，有 m+2= ，再分别解关于 m 的一次方程即可55【解答】解：（1）x=2 是方程的一个根，42（2m+3）+m
20、 2+3m+2=0，m=0 或 m=1；（2）=（2m+3） 24（m2+3m+2）=1，=1；x= 13mx 1=m+2，x 2=m+1，AB、AC（ABAC）的长是这个方程的两个实数根，AC=m+2，AB=m+1BC= ，ABC 是等腰三角形，5当 AB=BC 时，有 m+1= ，5m= 1；当 AC=BC 时，有 m+2= ，m= 2，5综上所述，当 m= 1 或 m= 2 时，ABC 是等腰三角形5【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了等腰三角形的判定18【分析】设 m=4x5，n=3x2，则 mn=（4x5）（3x2）=
21、x3，代入后求出 mn=0，即可得出（4x5） （3x2）=0，求出即可【解答】解：（4x5） 2+（3x2） 2=（x3） 2，设 m=4x5，n=3x2，则 mn=（4x5）（3x2）=x3，原方程化为：m 2+n2=（mn） 2，整理得：mn=0，即（4x5） （3x2）=0，124x5=0，3x2=0，x1= ，x 2= 453【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x5） （3x2）=0 是解此题的关键19【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式0 恒成立，因此得证，（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于 0 且小于 1，列出关于 k 的不等式组
22、，解之即可【解答】 （1）证明：=b 24ac=（k+1） 24（2k2）=k 26k+9=（k3） 2，（k3） 20，即0，此方程总有两个实数根，（2）解：解得 x 1=k1，x 2=2，此方程有一个根大于 0 且小于 1，而 x21，0x 11，即 0k111k2，即 k 的取值范围为：1k2【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程总有两个实数根” ，（2）正确找出不等量关系列不等式组20【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2（2a+1）x+a 2=0
23、 有两个不相等的实数根，=（2a+1） 24a 2=4a+10，解得：a 4113【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键21【分析】 （1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产成本，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本（1下降率） ，即可得出结论【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1x） 2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去） 答：每个月生产成本的下降率为 5%（2）3
24、61（15%）=342.95（万元） 答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算22【分析】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售出 23=6 件，即平均每天销售数量为 20+6=26 件；（2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可【解答】解：（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+23=26 件故答案为 26；（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天
25、销售利润为 1200 元根据题意，得 （40x） （20+2x）=1200，整理，得 x230x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20要求每件盈利不少于 25 元，x 2=20 应舍去，解得：x=1014答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润是解题关键23【分析】 （1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的
26、工厂数量共 190 家得出等式求出答案；（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m） 2=190，解得：m 1= ，m 2= （舍去） ，7第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家） ，（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，则（30a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则 Q=20.5设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，解法一：（30a）+2a=39.5a=9.5x=20.5解法二： 5.3920ax15解得： 5.920ax【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解
