1、专题对点练 15 4.1 4.2 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)一、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( )A.5 B.7 C.9 D.112.九章算术是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺,截得本端 1 尺,重 4斤,截得末端 1 尺,重 2 斤,则金杖重( )A.18 斤 B.15 斤 C.13 斤 D.20 斤3.已知等差数列a n的公差为 2,若 a2,a4,a8
2、成等比数列,则a n的前 n 项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.(+1)2 (-1)24.公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S 8=16,则 S10 等于( )A.18 B.24 C.30 D.605.等比数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( )A. B.-C. D.-6.(2018 广东深圳耀华模拟)在数列a n中,a 1=1,an+1=2an-2n,则 a17=( )A.-15216 B.15217C.-16216 D.162177.设等差数列a n的前 n
3、 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )A.3 B.4 C.5 D. 68.在等比数列a n中,各项均为正数,S n 是其前 n 项和,且满足 2S3=8a1+3a2,a4=16,则 S4=( )A.9 B.15 C.18 D.309.在递减等差数列a n中, a 1a3= -4.若 a1=13,则数列 的前 n 项和的最大值为( )22 1+1A. B.241431143来源:学科网ZXXKC. D.2413 613二、填空题(共 3 小题,满分 15 分)10.已知等比数列a n,a2a4=a5,a4=8,则a n的前 4 项和 S4= . 11.设等比数
4、列a n的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6 成等差数列 ,且 a2+a5=4,则 a8 的值为 . 12.(2018 湖北重点高中协作体模拟 )定义“等积数列”, 在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列a n是等积数列且a1=2,公积为 10,则这个数列前 21 项和 S21 的值为 . 三、解答题(共 3 个题,满分分别为 13 分,13 分,14 分)13.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,都有 3an=2Sn+3 成立.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=log3an
5、,求数列b n的前 n 项和 Tn.14.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(nN *).(1)证明:数列a n+1为等比数列,并求数列 an的通项公式;(2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列 bn的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 2 010 的 n 的最小值.-22-115.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,2Sn=(n+1)an.在数列 bn中,b n= .2+1(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)求数列 的前 n 项和 Tn.12专题对点练 15 答案1.A 解析 由 a1+a3+a5=3,得 3a3=3,解得 a3=
6、1.故 S5= =5a3=5.5(1+5)22.B 解析 由题意可知,在等差数列 an中,a 1=4,a5=2,则 S5= =15,故金杖重 15 斤.(1+5)52 =(4+2)523.A 解析 a2,a4,a8 成等比数列, =a2a8,即( a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得 a1=2.24 Sn=na1+ d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选 A.(-1)24.C 解析 设等差数列a n的公差为 d0.由题意,得(a 1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即 2a1+3d=0. S8=16, 8a1+ d=16, 872联立 解得 a1=-,d=1.则 S
7、10=10 1=30.(-32)+10925.C 解析 设数列a n的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题意,因此 q1. 当 q1 时,S 3= =a1q+10a1, =q+10,整理得 q2=9.1(1-3)1- 1-31- a5=a1q4=9,即 81a1=9, a1=.6.A 解析 由题意可得 ,即 =-,据此可得,数列 是首项为 ,公差为- 的+12+1=212+12+12 2121=12等差数列,故 +(17-1) =- ,17217=12 ( -12) 152 a17=-15216.故选 A.7.C 解析 Sm
8、-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3. d=am+1-am=3-2=1. Sm=ma1+ 1=0,(-1)2 a1=- .又 =a1+m1=3, - +m=3.-12 +1 -12 m=5.故选 C.8.D 解析 设等比数列a n的公比为 q0, 2S3=8a1+3a2, 2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即 2a1q2=6a1+a1q,即 2q2-q-6=0,解得 q=2.又 a4=16,可得 a123=16,解得 a1=2.则 S4= =30.2(1-24)1-29.D 解析 设公差为 d,则 d0.1+1
9、= 1(15-2)(13-2)= ,12( 12-15- 12-13) 数列 的前 n 项和为 +1+1 12( 1-13 1-11+ 1-11 1-9,12-15- 12-13)=12( - 113- 12-13) 当 n=6 时,数列 的前 n 项和最大,最大值为 ,故选 D.1+1 12( - 113+1)=61310.15 解析 设等比数列a n的公比为 q, a2a4=a1qa4=a1a5=a5, a1=1.又 a4=8, q3=8, q=2.故 S4= =15.1(1-24)1-211.2 解析 等比数列a n的前 n 项和为 Sn,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+a5=4
10、,21(1-9)1- =1(1-3)1- +1(1-6)1- ,1+14=4, 解得 a1q=8,q3=-, a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8=2.12.72 解析 由数列a n是等积数列 ,且 a 1=2,公积为 10,根据等积数列的定义,得 a2=5,a3=2,由此可以知道数列a n的所有奇数项为 2,所有偶数项为 5.故这个数列前 21 项和 S21=710+2=72.13.解 (1)在 3an=2Sn+3 中,令 n=1,得 a1=3.当 n2 时,3a n=2Sn+3, 3an-1=2Sn-1+3, - 得 an=3an-1, 数列a n是以 3 为首项,3 为公比的等比数列
11、, an=3n.(2)由(1)得 bn=log3an=n,数列b n的前 n 项和 Tn=1+2+3+n= .(+1)214.(1)证明 当 n=1 时,2a 1=a1+1, a1=1. 2an=Sn+n,nN *, 2an-1=Sn-1+n-1,n2,两式相减,得 an=2an-1+1,n2,即 an+1=2(an-1+1),n2, 数列a n+1为以 2 为首项,2 为公比的等比数列, an+1=2n, an=2n-1,nN *.(2)解 bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)2n, Tn=32+522+(2n+1)2n, 2Tn=322+523+(2n+1)2n+1,两式相减可得
12、-T n=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1, Tn=(2n-1)2n+1+2, 2 010 可化为 2n+12 010.-22-1 210=1 024,211=2 048, 满足不等式 2 010 的 n 的最小值为 10.-22-115.解 (1)当 n2 时,由 2Sn=(n+1)an,得 2Sn-1=nan-1,两式相减得 2an=(n+1)an-nan-1,整理得 .-1= -1由 an= 1=n(n2) .-1-1-221= -1-1-2又当 n=1 时,a 1=1, an=n(nN *).由 bn= =2n+1, bn的通项公式为 bn=2n+1.2+1(2)由(1)得 .12=122+1=1(+1)=1 1+1 Tn= + =1- + =1- .(1-12)+(12-13) (1- 1+1) 12+1213 1 1+1 1+1= +1故数列 的前 n 项和 Tn= .12 +1
