1、专题对点练 13 等差、等比数列与数列的通项及求和1.已知各项都为正数的数列a n满足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.2(1)求 a2,a3;(2)求a n的通项公式.2.(2018 北京,文 15)设 an是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求a n的通项公式;(2)求 + .1+2 3.(2018 全国 ,文 17)等比数列a n中,a 1=1,a5=4a3.(1)求a n的通项公式;(2)记 Sn为a n的前 n 项和,若 Sm=63,求 m.4.在等差数列a n中,a 2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列a n的通项公式;
2、(2)设数列a n+bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求b n的前 n 项和 Sn.5.(2018 天津,文 18)设 an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(n N*);bn是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Tn(nN *).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求 Sn和 Tn;(2)若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值.6.在等差数列a n中,a 7=8,a19=2a9.(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和 Sn.17.已知a n是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2
3、=6,a1a2=a3.(1)求数列a n的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 Sn.已知 S2n+1=bnbn+1,求数列 的前 n 项和 Tn.8.已知数列a n是等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列b n是公比大于 0 的等比数列,且 b1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7.(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)设 cn= ,求数列 cn的前 n 项和 Tn.(-1)-1专题对点练 13 答案1.解 (1)由题意得 a2=,a3=.(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0 得 2an+1(an+1)=an(an+1).2因为a n的
4、各项都为正数,所以 .+1=12故a n是首项为 1,公比为的等比数列,因此 an= .12-12.解 (1)设等差数列 an的公差为 d, a2+a3=5ln 2, 2a1+3d=5ln 2.又 a1=ln 2, d=ln 2. an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)由(1)知 an=nln 2. =enln 2= =2n, 2 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. +1+2 =2+22+2n=2n+1-2. + =2n+1-2.1+2 3.解 (1)设a n的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去),q=-2 或 q=2.故 an=(-2
5、)n-1 或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .由 Sm=63 得( -2)m=-188,此方程没有正整数解.1-(-2)3若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.4.解 (1)设等差数列 an的公差是 d.由已知(a 3+a8)-(a2+a7)=2d=-6,解得 d=-3, a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1, 数列a n的通项公式为 an=-3n+2.(2)由数列a n+bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an+bn=2n-1, bn=2n-1-an=3n-2+2n-1, Sn=
6、1+4+7+(3n-2)+(1+2+22+2n-1)= +2n-1.(3-1)25.解 (1)设等比数列 bn的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故 bn=2n-1.所以,T n= =2n-1.1-21-2设等差数列a n的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故 an=n.所以,S n= .(+1)2(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.2(1-2)1-2由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4
7、bn可得, +2n+1-n-2=n+2n+1,(+1)2整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以,n 的值为 4.6.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.因为 a7=8,所以 a1+6d=8.又 a19=2a9,所以 a1+18d=2(a1+8d),解得 a1=2,d=1,所以a n的通项公式为 an=n+1.(2)bn= ,1= 1(+1)=1 1+1所以 Sn= + .(1-12)+(12-13) (1- 1+1)= +17.解 (1)设a n的公比为 q,由题意知 a1(1+q)=6, q=a1q2,21又 an0,解得 a1=
8、2,q=2,所以 an=2n.(2)由题意知 S2n+1= =(2n+1)bn+1,(2+1)(1+2+1)2又 S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以 bn=2n+1.令 cn= ,则 cn= , 2+12因此 Tn=c1+c2+cn= + .32+522+723 2-12-1+2+12又 Tn= + ,两式相减得 Tn= ,322+523+724 2-12 +2+12+1 32+(12+122+ 12-1)2+12+1所以 Tn=5- .2+528.解 (1)设数列 an的公差为 d,数列b n的公比为 q,q0, b1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7, a1=-1,
9、-1+2d-2q=-1,3(-1)+3d-22q2=7,解得 d=2,q=2. an=-1+2(n-1)=2n-3,bn=2n.(2)cn= ,(-1)-1 =(-1)-1(2-3)2 Tn= + ,-12 122+323524 (-1)-2(2-5)2-1 +(-1)-1(2-3)2Tn=- + ,122123+324 (-1)-2(2-5)2 +(-1)-1(2-3)2+1 Tn=- +(-1)n-1 =-1212+122123 12-1+(-1)-1(2-3)2+1,12+-121-( -12)-11-( -12) +(-1)-1(2-3)2+1 Tn=- .59+29(-12)-1+(-1)-1(2-3)32
