1、第九节 函数模型及其应用考纲传真 (教师用书独具)1. 了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(对应学生用书第 29 页)基础知识填充1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y kxb(k0) (2)反比例函数模型：y b(k，b 为常数且 k0)kx(3)二次函数模型：y ax bxc(a，b，c 为常数， a0)2 (4)指数函数模型：y ab c(a，b，c 为常数，b0，b1，a0)x (5)对数函数模型：y ml
2、og axn(m，n，a 为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型：y ax nb(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数性质 ya (a 1)x ylog ax(a1) y xn(n 0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 因 n 而异图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴 平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx 0 时，有 logaxx nax 3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化
3、为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：知识拓展 “对勾”函数形如 f(x)x (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：ax(1)该函数在(， 和 ，)上单调递增，在 ，0)和(0 ， a a a a上单调递减(2)当 x0 时，x 时取最小值 2 ，a a当 x0 时， x 时取最大值2 .a a基本能力自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y2 的函数值比 yx 的函数值大( )x 2 (2)幂函数增长比直线增长更快
4、( )(3)不存在 x0，使 ax0x log ax0.( )n0(4)f(x) x ，g(x )2 ，h(x)log 2x，当 x(4，)时，恒有 h(x)f(x)2 x g( x)( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为yalog 3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )A100 只 B200 只C300 只 D400 只B 由题意知 100alog 3(21)，a100，y 100log3(x1) ，当 x8时，y100log 3 9200.3某商品价格前两年每年递增 20%，后两年
5、每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A减少 7.84% B增加 7.84%C减少 9.5% D不增不减A 设某商品原来价格为 a，依题意得：a(10.2) (10.2) a 1.2 0.8 0.921 6a，2 2 2 2 (0.921 61) a0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.4若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为( )B 由题意 h205t(0t4)，其图象为 B5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该
6、市这两年生产总值的年平均增长率为_1 设年平均增长率为 x，则(1x) (1p)(1q)，1 p1 q2 x 1.1 p1 q(对应学生用书第 30 页)用函数图象刻画变化过程(1)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )(2)如图 291 所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有( )图 291A1 个 B2 个C3 个 D4 个(1
7、)A (2) C (1)前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选 A(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度 h和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来， 中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的增长速度是越来越慢的，正确；中的增长速度是先快后慢再快，正确；中的增长速度是先慢后快再慢，也正确，故正确选 C规律方法 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.2
8、验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.跟踪训练 设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( ) D y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B，故选 D应用所给函数模型解决实际问题(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的重量(k
9、g)与其运费(元)由如图 292 所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的重量最大为_ kg.图 292(2)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yae b t(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一(1)19 (2)16 (1)由图象可求得一次函数的解析式为 y30x570，令30x5700 ，解得 x19.(2)当 t0 时， ya，当 t8 时，yae 8b a，12e 8b ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yae b 12t a，e
10、 b t (e 8 b )3e 4b，则 t24，所以再经过 16 min.18 18 2 规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3利用该模型求解实际问题.易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.跟踪训练 (2017西城区二模 )某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)Error!已知某家庭 2017 年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费一月份 4 m3 4 元二月份 25 m3 14 元三月份 35 m3 19 元若四月份该家庭使用了 20
11、m3 的煤气，则其煤气费为 ( )A11.5 元 B11 元C10.5 元 D10 元A 根据题意可知 f(4)C4，f(25) C B (25A)14，f(35)C B(35A) 19，解得 A5，B ，C 4，所以 f(x)Error!所以 f(20)124 (205)11.5，故选 A12构建函数模型解决实际问题(2017山西孝义模考 )为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超出 1 元，租不出的自行车就
12、增加 3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元 )表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数 yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解 (1)当 x6 时，y50x115.令 50x115 0，解得 x 2.3.xN *， 3x 6，xN *.当 x6 时， y503( x6)x 115.令50 3(x6)x1150，有 3x 68x 1150.2 又 xN *， 6x 20(xN *)，故 yError!(
13、2)对于 y50x115(3x6，xN *)，显然当 x6 时，y max185.对于 y3x 68x1153 (6x 20，xN *)，2 (x 343)2 8113当 x11 时， ymax270.又270185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多规律方法 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法1构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.2构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.3构建 fxx a0 模型，常用基本不等式、导数等知识求解.ax易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.跟踪训练 (2016四川高考 )某公司为激
14、励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( 参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( )A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年B 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元由130(1 12%)n200，得 1.12n ，两边取常用对数，得 n 2013 lg 2 lg 1.3lg 1.12 ，n4，从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过0.30 0.110.05 195200 万元
